大一高數(shù)數(shù)學(xué)習(xí)題測(cè)答案

1、第一章 極限一、1、解：因的定義域不同，故此兩函數(shù)不是同一函數(shù)；2、解：因，故此兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，于是此兩函數(shù)不是同一函數(shù)；3、解：因，故兩函數(shù)是同一函數(shù)。二、求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，必須滿足，故函數(shù)的定義域?yàn)槿?、設(shè)，求。解：四、求下列數(shù)列的極限：1、；解：當(dāng)時(shí)，數(shù)列總在與之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，不能無(wú)限趣近于一個(gè)確定的常數(shù)，故數(shù)列當(dāng)時(shí)極限不存在。2、；解：3、；解：4、；解：5、；解：6、。解：五、設(shè)，判斷當(dāng)時(shí)極限是否存在？解：，故當(dāng)時(shí)極限不存在。六、求下列函數(shù)的極限：1、；解：2、；解：3、；解：6、；解：7、；解：8、；解：9、；解：因，而為有界函數(shù)，故=010、；解：11、；解：

2、12、；解：13、；解：14、；解：15、。解：七、求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指明間斷點(diǎn)的類型：1、；解：因函數(shù)為初等函數(shù)，故函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，從而函數(shù)的間斷點(diǎn)為。又因，故為函數(shù)的第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)，為第一類可去間斷點(diǎn)。2、 ；解：因，故不存在。從而此函數(shù)的間斷點(diǎn)為且為第一類跳躍間斷點(diǎn)。3、；解：因不存在，故此函數(shù)的間斷點(diǎn)為，且為第二類間斷點(diǎn)。4、 。解：因，故此函數(shù)的間斷點(diǎn)為，且為第一類跳躍間斷點(diǎn)。八、當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。解：因函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，故函數(shù)在連續(xù)，從而，于是九、證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一根。證明：設(shè)，顯然函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，因，故由零點(diǎn)定理知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，所以

3、即為方程的一根，從而方程在區(qū)間內(nèi)至少有一根。第二章 導(dǎo) 數(shù)一、證明函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)。證明：，故，即函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)。二、曲線上哪一點(diǎn)處的切線與直線平行？解：因，設(shè)曲線上點(diǎn)處的切線與直線平行，而平行則斜率相等，故，從而，將代人得，所以曲線上點(diǎn)處的切線與直線平行三、討論函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性。解：因，而，故函數(shù)在連續(xù)，又因故函數(shù)在不可導(dǎo)。四、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1、在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；解：，故2、；解：3、；解：因，故4、；解：5、；解：6、；解：7、 ；解：8、解：9、；解：10、；解： 11、 ；解：因，故12、。解：五、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：1、；解：，2、；解：，3、 。解：，六、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1、由方

4、程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；解：對(duì)方程兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得 2、；解：兩邊取對(duì)數(shù)，得，再對(duì)上式兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得3、 ；解：兩邊取對(duì)數(shù)，得，再對(duì)上式兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得，所以。4、 ， ；解：兩邊取對(duì)數(shù)，得，再對(duì)上式兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得5、由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；解：對(duì)方程兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得，故6、由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；解：對(duì)方程兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得，故7、由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；解：對(duì)方程兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得七、求下列由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1、 ；解：2、，求當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)。解：，故八、求下列函數(shù)的微分。1、；解：，故2、；解：，故3、 。解：，故第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用自測(cè)題答案一、填空

5、題（本題共6小題，把答案填在題中的橫線上）。、。、。、。、。 6、。二、用洛必達(dá)法則求下列極限。1、 2、解：原式= 解：原式= =3、 4、解：原式= 解：原式=三、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。1、 解： 在區(qū)間內(nèi)單增；在內(nèi)單減。 2、解：在區(qū)間內(nèi)單增；在內(nèi)單減。四、處有極大值。解：，由題意得：五、證明題； 1、當(dāng)時(shí)，證：令, 則當(dāng)時(shí),單增。又2、證明：當(dāng)。證：令, 則當(dāng)時(shí),單增。當(dāng) 六、求函數(shù)的漸進(jìn)線=為水平漸近線。=是垂直漸近線。七、某商行能以5%的年利率借得貸款，然后它又將此貸款給顧客，若它能貸出的款額與它貸出的年利率的平方成反比，問(wèn)年利率為多少時(shí)貸出能使商行獲利最大？ 解：令為年利率，則貸

6、出款額為，獲利為： 令 則 答：年利率為時(shí)貸出能使商行獲利最大。第四章 不定積分自測(cè)題答案一、填空題（本題共9小題，把答案填在題中的橫線上）。1、。2、；。3、。4、。5、無(wú)限多；常數(shù)。6、 。7、。8、。9、 。二、計(jì)算題 1、用基本積分公式計(jì)算下列積分 （1） 解：原式= （2）解：原式=（3） 解：原式= （4） 解：原式=2、用第一類換元積分法計(jì)算下列積分（1） 解：原式= （2） 解：原式=（3） 解：原式= （4）解：原式= （5） 解：原式= （6）解：原式=（7） 解：原式= （8） 解：原式=3、用第二類換元積分法計(jì)算下列積分（1） 解：令 原式= （2） 解：令，則原式=（

7、3） 解：令 原式= （4） 解：令原式= （5） 解：令原式= 4、用分部積分法計(jì)算下列積分 （1） 解：原式= （2）解：原式=（3） 解：原式= （4）解：原式= （5） 解：原式= （6）解：原式= 第五章 定積分一、 利用定積分的性質(zhì)證明下列不等式：1. 2. 1解：令，則，在0,1上，故單調(diào)遞增，所以 ，于是據(jù)定積分性質(zhì)有2解：因?yàn)椋?二、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 2. 1解：2解： 三、 求下列極限1. 2. 1 解： 2解：四、 計(jì)算下列定積分1. 2 2. 3. 4. 5. 6. 1解： 3.解：令 原式=4.解：令 5解：令 6. 五、已知，求在區(qū)間0,3上的最大值，最小

8、值。解：因?yàn)椋瑒t在0,1上遞減，在1,3遞增。有且僅有一個(gè)極小值，則為最小值。故為最小值。又因?yàn)楣首畲笾禐榱?若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)；若是連續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)，證明是奇函數(shù)。證明：令,則 若為奇函數(shù)，則故所以是偶函數(shù)。若為偶函數(shù)，則因而 故是奇函數(shù)。七、 判斷下列廣義積分的收斂性，若收斂，求其值。 1. 2. 1解：原式=故該廣義積分收斂2解：原式=故該廣義積分收斂八、求拋物線及其在（0，-3）和（3,0）處的切線所圍成的圖形面積。解：因?yàn)椋?所以兩切線分別是，即兩切線的交點(diǎn)為又，所以曲線是凸的，則切線在曲線之上，則面積為九、 求由所圍得圖形的面積。解：十、 求由所圍得圖形分別

9、繞軸和 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積解：繞軸： 繞軸： 第六章 多元函數(shù)微積分一、求下列極限，若不存在說(shuō)明理由 1 2. 1解： 2解：令，則由于其極限值隨k的變化而不同，因此該極限不存在。二、 求的解： ， ，三、 求下列函數(shù)的全微分 1. 2. 1解： 2解：， 四、計(jì)算下列近似值 1. 2.設(shè)有一無(wú)蓋圓柱形容器，容器的壁與底的厚度均為0.1cm，內(nèi)高為20cm，內(nèi)半徑為4cm，求容器外殼體積的近似值。1解：設(shè)，由得 故取得 2解：設(shè) 當(dāng) 時(shí)五、已知，求解：，而， 所以 故 六、設(shè)而解：=七、 設(shè)解： 八、設(shè)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求下列復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)1. 2. 1解：設(shè)，則2. 設(shè)，則九、設(shè)

10、，證明證明：令 則 故十、設(shè)解：令 ， ， 十一、計(jì)算下列二重積分1. ，其中是由兩條拋物線所圍成的區(qū)域。解：2. ，其中是由圓軸所圍成的區(qū)域。解十二、改變下列二次積分的順序1. 2. 3. 4. 1解：相應(yīng)積分區(qū)域?yàn)椋?，?2解：相應(yīng)積分區(qū)域?yàn)椋海珼也可表示為 故=3.解：相應(yīng)積分區(qū)域?yàn)椋?，D也可表示為故=4. 解：相應(yīng)積分區(qū)域?yàn)椋?，D也可表示為 故=第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù)一、 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性1 23 41解：因?yàn)?，而收斂，由比較判別法知收斂。2解：因?yàn)?，所以?jí)數(shù)收斂。3解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故級(jí)數(shù)發(fā)散。4解：解：，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。二、 判別下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂，條件收斂，還是發(fā)散？1 2 1解：由，知

11、級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。2解：，由，知收斂故絕對(duì)收斂。三、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域1 2 1、解：因?yàn)椋詢缂?jí)數(shù)的收斂半徑為1，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂所求收斂域?yàn)?1,1)2、解：所以收斂半徑為當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)收斂所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤Ｋ摹?利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，求下列級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。1 解：由于=故有=2 解： 故有 五、證明下列級(jí)數(shù)收斂，并求其和。證明： =，故級(jí)數(shù)收斂，且六、若級(jí)數(shù)與都發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)的收斂性如何？若其中一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，那么級(jí)數(shù)收斂性又如何？解：若級(jí)數(shù)分別為（發(fā)散）（發(fā)散）則級(jí)數(shù)顯然收斂。但如果另外有級(jí)數(shù)，則顯然發(fā)散。即兩個(gè)發(fā)散的級(jí)

12、數(shù)相加減所得級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。若其中一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，設(shè)收斂，發(fā)散，則肯定發(fā)散。否則收斂，應(yīng)該收斂，與假設(shè)矛盾。同理，若收斂，則應(yīng)該收斂，與假設(shè)矛盾。七、級(jí)數(shù)與均收斂，且（），證明級(jí)數(shù)收斂。證明：因?yàn)椋ǎ?，則由題設(shè)知，收斂，根據(jù)比較判別法，級(jí)數(shù)收斂。而=收斂。八 判斷題。1 發(fā)散，不一定有 （正確 ）2 若，則級(jí)數(shù)收斂 （ 錯(cuò)誤 ）3 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)發(fā)散 （ 正確 ）4若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂 （ 錯(cuò)誤 ）5 若級(jí)數(shù)的部分和滿足，則該級(jí)數(shù)發(fā)散 （ 錯(cuò)誤 ）第八章 微分方程 一. 試說(shuō)出下列各微分方程的階數(shù): (1)x(y¢)2-2yy¢+x=0; 解 一階.

13、(2)x2y¢-xy¢+y=0; 解 一階. (3)xy¢¢¢+2y¢+x2y=0; 解 三階. (4)(7x-6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一階. (5); 解 二階. (6). 解 一階.二、求下列微分方程的通解1 2 3 4 1 解： 將變量分離，得到 兩邊積分，即得 因而，通解為 這里的是任意的常數(shù).此外，方程還有解.2 解： 這是齊次方程，以代入，則原方程變?yōu)?即 （1） 分離變量，即有 兩邊積分，得到 這里的是任意的常數(shù)，整理后，得到 ( 2 ) 此外，方程（1）還有解,即. 如果（2）中允許，則就包含在(2)中，

14、這就是說(shuō)，方程( 1 )的通解為（2）。代回原來(lái)的變量，得到原方程的通解為 3 解： 將方程改寫(xiě)為 這是齊次方程，以代入，則原方程變?yōu)?（1） 分離變量，得到 兩邊積分，得到（1）的通解 即 (2)這里的是任意常數(shù).此外，（1）還有解注意，此解不包括在通解（2）中.代回原來(lái)的變量，即得原方程的通解 及解.原方程的通解還可表為 它定義于整個(gè)負(fù)半軸上.4 .解 原方程改寫(xiě)為 （1） 把看作未知函數(shù)，看作自變量，這樣，對(duì)于及來(lái)說(shuō)，方程（1）就是一個(gè)線性方程了.先求齊次線性方程 的通解為 令,于是 代入（1），得到 從而，原方程的通解為 這里是任意的常數(shù),另外也是方程的解.三、求下列微分方程的特解1.

15、,求滿足初始條件：的特解.解：對(duì)原方程進(jìn)行變量分離得兩邊同時(shí)積分得， 即 （這里）把代入得故滿足初始條件的特解為2求滿足初始條件：的特解.解：對(duì)原方程進(jìn)行變量分離得：兩邊同時(shí)積分得 即 顯然是原方程的解時(shí)，代入上式得故特解是 四 證明曲線上任意一點(diǎn)的切線的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。證：設(shè)為所求曲線上的任意一點(diǎn)，則因此， 即為所求。五 驗(yàn)證下列所給函數(shù)是所給微分方程的解。1 ，解：因?yàn)?所以是的解。2 ，解 因?yàn)橛煽傻?，?所以是的解六、一曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線的斜率為,求這曲線的方程。解：設(shè)所求曲線為由題意知，其中時(shí)，。，即，求得 所求曲線方程為七、試證: 1一階線性微分方程的任兩解之差必為相應(yīng)的線性齊次微分方程之解；2 若是的非零解，而是的解，則的通解可表為，其中為任意常數(shù).3 方程任一解的常數(shù)倍或兩解之和