高數(shù)2導(dǎo)數(shù)與微分

1、第二講：導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)：對(duì)于函數(shù)：如果極限存在，則稱在處可導(dǎo)，記其極限值為注：有正負(fù)！如果極限存在，則稱在處具有左導(dǎo)數(shù)，記為；如果極限存在，則稱在處具有右導(dǎo)數(shù)，記為。如果函數(shù)在一段連續(xù)區(qū)間D上的每個(gè)點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在D上可導(dǎo)（對(duì)于閉區(qū)間端點(diǎn)，只要對(duì)應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在即可）由可導(dǎo)的定義可以退出：可導(dǎo)必定連續(xù)！例：1、討論函數(shù)在其定義域上的可導(dǎo)性2、設(shè)則在=0處可導(dǎo)(A)存在 (B) 存在(C)存在 (D)存在3、設(shè)函數(shù),則在內(nèi)(A)處處可導(dǎo) (B)恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)(C)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (D)至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)4、設(shè)，試確定的值，使該函數(shù)在處可導(dǎo)5、若存在，則 。6、（思考）設(shè)函數(shù)在上有界且可導(dǎo),則

2、(A)當(dāng)時(shí),必有 (B)當(dāng)存在時(shí),必有(C) 當(dāng)時(shí),必有 (D) 當(dāng)存在時(shí),必有.小結(jié)論：奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)；周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)依然是周期函數(shù)微分：對(duì)于函數(shù)：如果存在一個(gè)只與有關(guān)而與無關(guān)的數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有：則稱在處可微，稱為在處的微分，記為：定理：（導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系）若在處可微，則：，故微分運(yùn)算也常記為：由該定理可知：可微 可導(dǎo)例：設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且,為自變量在處的增量,與分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分,若,則(A)(B)(C)(D)基本求導(dǎo)公式：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：設(shè)，都可導(dǎo)，則（1） （2） （是常數(shù)）（3） （4） 例：求導(dǎo)反函數(shù)求導(dǎo)法則若函數(shù)在某

3、區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)、單調(diào)且，則它的本義反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或復(fù)合求導(dǎo)公式（鏈?zhǔn)椒▌t）：設(shè)，而且及都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或由該定理可以推出定理：一階微分具有形式不變性(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)，(13)(14)(15)(16)隱函數(shù)的求導(dǎo)與求微分例： 參數(shù)函數(shù)的微分公式：對(duì)于參數(shù)函數(shù)，其中嚴(yán)格單調(diào)，若、均可微同時(shí)，則該參數(shù)函數(shù)可微且：例：已知，求：高階導(dǎo)數(shù)與高階微分若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，即，此時(shí)稱在點(diǎn)二階可導(dǎo)。如果在區(qū)間I上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo)，則得到一個(gè)定義在I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，記作，或記作，。注意區(qū)分

4、符號(hào)與：，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一般仍舊是的函數(shù)。如果對(duì)它再求導(dǎo)數(shù)，如果導(dǎo)數(shù)存在的話，稱之為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記為，或。函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，記為，或。相應(yīng)地，在的階導(dǎo)數(shù)記為： ，。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為高階導(dǎo)數(shù)。例：函數(shù)在處幾階可導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1 。2.萊布尼茲公式： 其中，。注 將Leibniz公式與二項(xiàng)式展開作一比較可見：。（這里 ），在形式上二者有相似之處。例：求次多項(xiàng)式的各階導(dǎo)數(shù).常用的高階導(dǎo)數(shù)：； ；（4），特別的，當(dāng)時(shí)，有.參數(shù)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)設(shè)，均二階可導(dǎo)，且，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)： ， .這里一定要注意，在求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，是中間變量，而符號(hào)表示對(duì)求二次導(dǎo)數(shù)，因此. 反函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)、單調(diào)且，則它的本義反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也二階可導(dǎo)，且例：1、（隱函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)）已知 求.2、設(shè)，其中二階可導(dǎo)，且，則= 。3、（參數(shù)函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)）求方程