高中數(shù)學橢圓題型歸納

1、高中數(shù)學橢圓題型歸納一橢圓標準方程及定義1已知橢圓+=1上一點P到橢圓一個焦點距離為3，則點P到另一個焦點距離為（）A2B3C5D72、已知橢圓標準方程為，并且焦距為6，則實數(shù)m值為3求滿足下列條件橢圓標準方程（1）焦點分別為（0，2），（0，2），經(jīng)過點（4，） （2）經(jīng)過兩點（2，），（）4求滿足下列條件橢圓方程：（1）長軸在x軸上，長軸長等于12，離心率等于；（2）橢圓經(jīng)過點（6，0）和（0，8）；（3）橢圓一個焦點到長軸兩端點距離分別為10和45設F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1左，右焦點，P為橢圓上任一點，點M坐標為（6，4），則|PM|+|PF1|最大值為二、離心率1、已知F1、F2是橢

2、圓兩個焦點，P是橢圓上一點，F(xiàn)1PF2=90°，則橢圓離心率取值范圍是2設F1、F2是橢圓E：+=1（ab0）左右焦點，P是直線x=a上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30°等腰三角形，則橢圓E離心率為（）ABCD3已知點F1、F2是雙曲線C：=1（a0，b0）左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|3|PF2|，則雙曲線C離心率取值范圍為（）A（1，+）B，+）C（1，D（1，三、焦點三角形1、已知橢圓+=1左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上一點，且F1PF2=60°求PF1F2周長求PF1F2面積2已知點（0，）

3、是中心在原點，長軸在x軸上橢圓一個頂點，離心率為，橢圓左右焦點分別為F1和F2（1）求橢圓方程；（2）點M在橢圓上，求MF1F2面積最大值；（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使=0，若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由四、弦長問題1、已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m（1）當直線與橢圓有公共點時，求實數(shù)m取值范圍（2）求被橢圓截得最長弦長度2、設F1，F(xiàn)2分別是橢圓左、右焦點，過F1斜率為1直線與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列（1）求E離心率；（2）設點P（0，1）滿足|PA|=|PB|，求E方程五、中點弦問題1、 已知橢圓+=1弦AB中點M坐標

4、為（2，1），求直線AB方程，并求AB長六、定值、定點問題1、已知橢圓C：9x2+y2=m2（m0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB中點為M（1）證明：直線OM斜率與l斜率乘積為定值；（2）若l過點（，m），延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l斜率；若不能，說明理由七、對稱問題1已知橢圓方程為，試確定m范圍，使得橢圓上有不同兩點關于直線y=4x+m對稱高中數(shù)學橢圓題型歸納參考答案與試題解析一選擇題（共3小題）1（2016春馬山縣期末）已知橢圓+=1上一點P到橢圓一個焦點距離為3，則點P到另一個焦點距離為（）A2B3C5D7

5、【分析】先根據(jù)條件求出a=5；再根據(jù)橢圓定義得到關于所求距離d等式即可得到結論【解答】解：設所求距離為d，由題得：a=5根據(jù)橢圓定義得：2a=3+dd=2a3=7故選D【點評】本題主要考查橢圓定義在解決涉及到圓錐曲線上點與焦點之間關系問題中，圓錐曲線定義往往是解題突破口2（2015秋友誼縣校級期末）設F1、F2是橢圓E：+=1（ab0）左右焦點，P是直線x=a上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30°等腰三角形，則橢圓E離心率為（）ABCD 【分析】利用F2PF1是底角為30°等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根據(jù)P為直線x=a上一點，可建立方程，由此可求橢圓離心率【解答】解

6、：F2PF1是底角為30°等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P為直線x=a上一點2（ac）=2ce=故選：B【點評】本題考查橢圓幾何性質，解題關鍵是確定幾何量之間關系，屬于基礎題3（2016衡水模擬）已知點F1、F2是雙曲線C：=1（a0，b0）左、右焦點，O為坐標原點，點P在雙曲線C右支上，且滿足|F1F2|=2|OP|，|PF1|3|PF2|，則雙曲線C離心率取值范圍為（）A（1，+）B，+）C（1，D（1，【分析】由直角三角形判定定理可得PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，運用雙曲線定義，可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，再由勾股定

7、理，即可得到ca，運用離心率公式，即可得到所求范圍【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由雙曲線定義可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|3|PF2|，可得|PF2|a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化為（|PF2|+a）2=2c2a2，即有2c2a24a2，可得ca，由e=可得1e，故選：C【點評】本題考查雙曲線離心率范圍，注意運用雙曲線定義和直角三角形性質，考查運算能力，屬于中檔題二填空題（共3小題）4已知橢圓標準方程為，并且焦距為6，則實數(shù)m值為4或【分

8、析】由題設條件，分橢圓焦點在x軸上和橢圓焦點在y軸上兩種情況進行討論，結合橢圓中a2b2=c2進行求解【解答】解：橢圓標準方程為，橢圓焦距為2c=6，c=3，當橢圓焦點在x軸上時，25m2=9，解得m=4；當橢圓焦點在y軸上時，m225=9，解得m=綜上所述，m取值是4或故答案為：4或【點評】本題考查橢圓簡單性質，是基礎題解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想合理運用5（2016漳州一模）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1左，右焦點，P為橢圓上任一點，點M坐標為（6，4），則|PM|+|PF1|最大值為15【分析】由橢圓定義可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|2a+|MF2|，由

9、此可得結論【解答】解：由題意F2（3，0），|MF2|=5，由橢圓定義可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|PF2|=10+|PM|PF2|10+|MF2|=15，當且僅當P，F(xiàn)2，M三點共線時取等號，故答案為：15【點評】本題考查橢圓定義，考查學生分析解決問題能力，屬于基礎題6已知F1、F2是橢圓兩個焦點，P是橢圓上一點，F(xiàn)1PF2=90°，則橢圓離心率取值范圍是【分析】根據(jù)題意，點P即在已知橢圓上，又在以F1F2為直徑圓上因此以F1F2為直徑圓與橢圓有公式點，所以該圓半徑c大于或等于短半軸b長度，由此建立關于a、c不等式，即可求得橢圓離心率取值范圍【解答】解P點滿足F1PF2

10、=90°，點P在以F1F2為直徑圓上又P是橢圓上一點，以F1F2為直徑圓與橢圓有公共點，F(xiàn)1、F2是橢圓焦點以F1F2為直徑圓半徑r滿足：r=cb，兩邊平方，得c2b2即c2a2c22c2a2兩邊都除以a2，得2e21，e，結合0e1，e1，即橢圓離心率取值范圍是，1）故答案為：，1）【點評】本題在已知橢圓上一點對兩個焦點張角等于90度情況下，求橢圓離心率，著重考查了橢圓基本概念和解不等式基本知識，屬于中檔題三解答題（共9小題）7（2013秋瓊海校級月考）已知橢圓+=1左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上一點，且F1PF2=60°求PF1F2周長求PF1F2面積【分析】

11、根據(jù)橢圓方程求得c，利用PF1F2周長L=2a+2c，即可得出結論；設出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2值，最后利用三角形面積公式求解【解答】解：a=5，b=3，c=4PF1F2周長L=2a+2c=18；設|PF1|=t1，|PF2|=t2，則由橢圓定義可得：t1+t2=10在F1PF2中F1PF2=60°，t12+t222t1t2cos60°=28，可得t1t2=12，=3【點評】解決此類問題關鍵是熟練掌握橢圓標準方程、橢圓定義，熟練利用解三角形一個知識求解問題8（2015秋揭陽月考）已知點（0，）是中心在原點，長軸在x軸上橢圓一個頂點，離心

12、率為，橢圓左右焦點分別為F1和F2（1）求橢圓方程；（2）點M在橢圓上，求MF1F2面積最大值；（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使=0，若存在，請求出點P坐標；若不存在，請說明理由【分析】（1）由題意設出橢圓標準方程，根據(jù)頂點坐標和離心率得b=，根據(jù)a2=b2+c2求出a值，即求出橢圓標準方程；（2）根據(jù)（1）求出橢圓標準方程，求出點M縱坐標范圍，即求出三角形面積最大值；（3）先假設存在點P滿足條件，根據(jù)向量數(shù)量積得，根據(jù)橢圓焦距和橢圓定義列出兩個方程，求出S值，結合（2）中三角形面積最大值，判斷出是否存在點P【解答】解：（1）由題意設橢圓標準方程為+=1，由已知得，b=（2分）則e2=1=

13、，解得a2=6（4分）所求橢圓方程為+=1（5分）（2）令M（x1，y1），則S=|F1F2|y1|=2|y1|=|y1|（7分）點M在橢圓上，y1，故|y1|最大值為，（8分）當y1=±時，S最大值為（9分）（3）假設存在一點P，使=0，（10分）PF1F2為直角三角形，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 （11分）又|PF1|+|PF2|=2a=2（12分）2，得2|PF1|PF2|=20，|PF1|PF2|=5，（13分）即S=5，由（1）得S最大值為，故矛盾，不存在一點P，使=0（14分）【點評】本題考查了橢圓方程求法以及橢圓性質、向量數(shù)量積幾何意義，利用a、b、

14、c、e幾何意義和a2=b2+c2求出a和b值，根據(jù)橢圓上點坐標范圍求出相應三角形面積最值，即根據(jù)此范圍判斷點P是否存在，此題綜合性強，涉及知識多，考查了分析問題和解決問題能力9（2015秋葫蘆島校級月考）求滿足下列條件橢圓標準方程（1）焦點分別為（0，2），（0，2），經(jīng)過點（4，） （2）經(jīng)過兩點（2，），（）【分析】（1）設出橢圓標準方程，代入點坐標，結合c=2，即可求得橢圓標準方程；（2）設出橢圓標準方程，代入點坐標，即可求得橢圓標準方程【解答】解：（1）依題意，設所求橢圓方程為=1（ab0）因為點（4，3），在橢圓上，又c=2，得 ，解得a=6，b=4（10分）故所求橢圓方程是=1；（

15、2）設橢圓方程為mx2+ny2=1，則經(jīng)過兩點（2，），（），n=，橢圓方程為=1【點評】本題考查橢圓標準方程，考查學生計算能力，屬于基礎題10（2012秋西安期末）求滿足下列條件橢圓方程：（1）長軸在x軸上，長軸長等于12，離心率等于；（2）橢圓經(jīng)過點（6，0）和（0，8）；（3）橢圓一個焦點到長軸兩端點距離分別為10和4【分析】（1）設橢圓方程為+=1（ab0），運用離心率公式和a，b，c關系，解得a，b，即可得到橢圓方程；（2）設橢圓方程為mx2+ny2=1，（m，n0），由題意代入點（6，0）和（0，8），解方程即可得到橢圓方程；（3）討論橢圓焦點位置，由題意可得ac=4，a+c=10

16、，解方程可得a，c，再由a，b，c關系解得b，即可得到橢圓方程【解答】解：（1）設橢圓方程為+=1（ab0），由題意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b=2，即有橢圓方程為+=1；（2）設橢圓方程為mx2+ny2=1，（m，n0），由題意代入點（6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有橢圓方程為+=1；（3）當焦點在x軸上時，可設橢圓方程為+=1（ab0），由題意可得ac=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b=2，即有橢圓方程為+=1；同理，當焦點在y軸上時，可得橢圓方程為+=1即有橢圓方程為+=1或+=1【點評】本題考查橢圓方程和

17、性質，主要考查橢圓方程求法，注意運用橢圓方程正確設法，以及橢圓性質運用，屬于基礎題11（2010寧夏）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓左、右焦點，過F1斜率為1直線與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列（1）求E離心率；（2）設點P（0，1）滿足|PA|=|PB|，求E方程【分析】（I）根據(jù)橢圓定義可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，進而根據(jù)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)表示出|AB|，進而可知直線l方程，設A（x1，y1），B（x2，y2），代入直線和橢圓方程，聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x1+x2和x1x2進而根據(jù)，求得a和b關系，進而求得a和c關系，

18、離心率可得（II）設AB中點為N（x0，y0），根據(jù)（1）則可分別表示出x0和y0，根據(jù)|PA|=|PB|，推知直線PN斜率，根據(jù)求得c，進而求得a和b，橢圓方程可得【解答】解：（I）由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l方程為y=x+c，其中設A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B兩點坐標滿足方程組化簡（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0則因為直線AB斜率為1，|AB|=|x1x2|=，得，故a2=2b2所以E離心率（II）設AB中點為N（x0，y0），由（I）知，由|PA|=|PB|，得kPN=1，即得c=3，

19、從而故橢圓E方程為【點評】本題主要考查圓錐曲線中橢圓性質以及直線與橢圓位置關系，涉及等差數(shù)列知識，考查利用方程思想解決幾何問題能力及運算能力12（2014春廣水市校級月考）已知橢圓+=1弦AB中點M坐標為（2，1），求直線AB方程，并求AB長【分析】首先，根據(jù)橢圓對稱軸，得到該直線斜率存在，設其方程為y1=k（x2），然后聯(lián)立方程組，利用一元二次方程根與系數(shù)關系，并且借助于中點坐標公式，確定斜率k值，然后，利用兩點間距離公式或弦長公式，求解AB長【解答】解：當直線AB斜率不存在時，不成立，故直線AB斜率存在，設其方程為y1=k（x2），聯(lián)立方程組，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k（12

20、k）x+4（12k）216=0，x1+x2=，2k（2k1）=1+4k2，k=，直線AB方程：x+2y4=0將k=代人（1+4k2）x2+8k（12k）x+4（12k）216=0，得x24x=0，解得x=0，x=4，A（0，），B（4，），|AB|=AB長2【點評】本題屬于中檔題，重點考查了橢圓簡單幾何性質、直線與橢圓位置關系、弦長公式、兩點間距離公式等知識，屬于高考熱點和重點問題13（2015新課標）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB中點為M（1）證明：直線OM斜率與l斜率乘積為定值；（2）若l過點（，m），延長線段OM

21、與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l斜率；若不能，說明理由【分析】（1）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出對應直線斜率即可得到結論（2）四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程關系即可得到結論【解答】解：（1）設直線l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），將y=kx+b代入9x2+y2=m2（m0），得（k2+9）x2+2kbx+b2m2=0，則判別式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，則x1+x2=，則xM=，yM=kxM+b=，于是直線OM斜率kOM=，即kOMk=9，直線

22、OM斜率與l斜率乘積為定值（2）四邊形OAPB能為平行四邊形直線l過點（，m），由判別式=4k2b24（k2+9）（b2m2）0，即k2m29b29m2，b=mm，k2m29（mm）29m2，即k2k26k，則k0，l不過原點且與C有兩個交點充要條件是k0，k3，由（1）知OM方程為y=x，設P橫坐標為xP，由得，即xP=，將點（，m）坐標代入l方程得b=，即l方程為y=kx+，將y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2×，解得k1=4或k2=4+，ki0，ki3，i=1，2，當l斜率為4或4+時，四邊形OAPB能為平行四邊形【點評】本題主要考查直線和圓錐曲線相交問題，聯(lián)立方程組轉化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間關系是解決本題關鍵綜合性較強，難度較大14（2013秋阜城縣校級月考）已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m（1）當直線與橢圓有公共點時，求實數(shù)m取值范圍（2）求被橢圓截得最長弦長度【分析】（1）當直線與橢圓有公共點時，直線方程與橢圓方程構成方程組有解，等價于消掉y后得到x二次方程有解，故0，解出即可；（2）設所截弦兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韋達定理可把弦長|AB|表示為關