高等數(shù)學(xué) 向量代數(shù)與空間解析幾何復(fù)習(xí)

1、第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何5.1向量既有大小又有方向的量表示：或（幾何表示）向量的大小稱為向量的模，記作、|a|、1 方向余弦： r（x，y，z）,| r |=2 單位向量 模為1的向量。3 模4 向量加法（減法）5 a·b| a |·| b |cosaba·b0（a·bb·a）6 叉積、外積|ab| =| a | b |sin= a/bab0.( ab= - ba) 7 數(shù)乘：例1 ，與夾角為，求。解 例2 設(shè)，求。解 根據(jù)向量的運算法則例3 設(shè)向量，為實數(shù)，試證：當(dāng)模x最小時，向量x必須垂直于向量b。解 由，得，于是由此可知，當(dāng)時，模最

2、小，因而故所以，當(dāng)模x最小時，向量x必須垂直于向量b。8 向量的投影Prjb|b|為向量b在向量a上的投影。a·b| a |Prjb5.2空間平面與直線5.2.1 空間平面點法式方程：與定點連線和非零向量n（a，b，c）垂直的點的集合。平面的一般方程：，n（A，B，C）截距式方程：三點式方程 例1 求過，點的平面方程解（1）點法式n。則平面方程為，即。解（2）設(shè)平面方程為，代入得。代入，得解之得代入方程消去A，得方程為例2 一平面通過點，它在正軸，正軸上的截距相等，問此平面在三坐標(biāo)面上截距為何值時，它與三個坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積最小？并寫出此平面方程。解 依題意設(shè)所求平面的截距式

3、方程為，由于點在此平面上，故有，解之。四面體之體積，令得。例3 求過點，和三點的平面方程。解 由三點式方程故所求方程為，即5.2.2 空間直線方向向量：平行于一已知直線的任一向量稱為直線的方向向量。易知直線上的任一向量都平行于直線的方向向量.若設(shè)已知向量為，則直線的對稱式方程為一般式方程：參數(shù)式方程：例1 求過點點，且與直線平行的直線方程解 將直線寫成，以為參數(shù)，則，故直線方程為例2 求過點且平行于平面，又與直線相交的直線方程。解 設(shè)Q為兩直線的交點，則,即，（1）又Q在L上：（2）令（2）=t 解得x, y, z代入(1)解得，在反代入（2）得Q的坐標(biāo)為，得直線為5.3點、平面、直線的位置關(guān)

4、系1 點到平面的距離點到平面Ax+By+Cz+D=0得距離公式為：d =例1 求平面和平面的交角平分面方程。平分面上的點到兩面之間距離相等，故整理得：或例2 求平行于平面且與球面相切的平面方程。解 由于所求平面與平行，故可設(shè)其為。因為與球面相切，所以球心到的距離，解之，故所求平面方程為和2 點到直線的距離點到直線L的距離為 例3 求點到直線的距離。解 ，于是所求距離 3. 兩平面之間的夾角平面和平面的夾角,cos、互相垂直相當(dāng)于0；、互相平行或重合相當(dāng)于.4兩直線的夾角兩直線的法線向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角.直線和的夾角cos=(5)兩直線、互相垂直相當(dāng)于0；兩直線、互相平行或重

5、合相當(dāng)于5. 直線與平面的夾角直線s=(m，n，p)，平面n（A，B，C）夾角為sin直線垂直于平相當(dāng)于；直線平行于或直線在平面上相當(dāng)于Am+Bn+Cp=0.6平面束過直線L的平面束方程為例1 求直線在平面上的投影直線的方程。解 直線的方程即為，故過的平面束方程為即因為此平面與平面垂直，故有解得，于是與垂直的平面方程為即，從而所求投影直線方程為5.4其它（旋轉(zhuǎn)曲面方程）繞誰轉(zhuǎn)誰不變，令一個用另兩個變量的平方和的平方根代入故繞軸旋轉(zhuǎn)，得為旋轉(zhuǎn)曲面方程。例1 繞x軸轉(zhuǎn)得，繞z軸轉(zhuǎn)得。例2 曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)曲面方程。解 繞z軸旋轉(zhuǎn)時，代入上式得例3 求 繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程。解 承上題：，令，則例4 求直線在平面上的投影直線的方程，并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程。解 將直