高中數(shù)學(xué)向量法解立體幾何總結(jié)

1、向量法解立體幾何1、直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量直線(xiàn)的方向向量： 若A、B是直線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)，則為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量；與平行的任意非零向量也是直線(xiàn)的方向向量.平面的法向量： 若向量所在直線(xiàn)垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量. 平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）： 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系設(shè)平面的法向量為求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量的坐標(biāo)根據(jù)法向量定義建立方程組.解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量. 2、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系線(xiàn)線(xiàn)平行。設(shè)直線(xiàn)的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.線(xiàn)面平行。設(shè)直線(xiàn)的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明，即.面面平

2、行。若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線(xiàn)線(xiàn)垂直。設(shè)直線(xiàn)的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.線(xiàn)面垂直（法一）設(shè)直線(xiàn)的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明，即.（法二）設(shè)直線(xiàn)的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若面面垂直。 若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.4、利用向量求空間角求異面直線(xiàn)所成的角已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則求直線(xiàn)和平面所成的角求法：設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：求二面角二面角的平面

3、角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線(xiàn)，則為二面角的平面角.OABOABl如圖：求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則， 即；如果是鈍角，則， 即.5、利用法向量求空間距離點(diǎn)Q到直線(xiàn)距離 若Q為直線(xiàn)外的一點(diǎn),在直線(xiàn)上，為直線(xiàn)的方向向量，=，則點(diǎn)Q到直線(xiàn)距離為 點(diǎn)A到平面的距離若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對(duì)值. 即直線(xiàn)與平面之間的距離 當(dāng)一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行時(shí)，直線(xiàn)上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線(xiàn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。 即兩平行平面之間的距離 利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離