量子力學(xué)期末考試試題整理

1、量子力學(xué)期末考試試題整理一、 填空1. 波爾磁子：2. 回轉(zhuǎn)磁比率：3. 薛定諤方程表達(dá)式：4. 算符對(duì)易的定義:5. 在量子力學(xué)中，如果在散射過程中兩粒子之間只有動(dòng)能交換，粒子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并無改變，則這種散射稱為彈性散射。如果在散射過程中粒子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有所改變，則稱為非彈性散射。6. 散射粒子的方向與入射粒子的方向間的夾角，稱為散射角。7. 我們稱質(zhì)量、電荷、自旋、同位旋以及其他所有內(nèi)稟固有屬性完全相同的例子為全同粒子。全通粒子的不可區(qū)分性，在量子力學(xué)中稱為全同性原理。8. 全同粒子的不可區(qū)分性：在兩個(gè)波重疊在一起的區(qū)域，無法區(qū)分那個(gè)是第一個(gè)粒子的波，哪個(gè)是第二個(gè)例子的波。也就是說，無法區(qū)

2、分哪一個(gè)是第一個(gè)粒子，哪個(gè)是第二個(gè)粒子，因此，全同離子在量子力學(xué)中是不可區(qū)分的。9. 自旋為奇數(shù)倍的粒子稱為費(fèi)米子。在量子力學(xué)中，由費(fèi)米子組成的體系稱為費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)。自旋為整數(shù)倍的粒子稱為波色子。在量子力學(xué)中，由波色子組成的體系稱為波色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)。10. 克萊因-戈?duì)柕欠匠蹋?1. 狄拉克方程：12. 被填滿的負(fù)態(tài)稱為費(fèi)米海。如果空穴的能量為，質(zhì)量為，電荷為，這種空穴稱為正電子。13. 波函數(shù)的量子化稱為二次量子化。14. 概率流守恒定律：，概率流的定義：15. 光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明（1）存在臨界頻率：當(dāng)入射光的頻率時(shí)，無論光強(qiáng)度多大，都無光電子逸出，只有在時(shí)，即使光強(qiáng)度較弱，但只要光照

3、到金屬面上，幾乎在s的極短時(shí)間內(nèi)，就能觀測(cè)到光電子。（2）出射的光電子的能量只與入射光的頻率有關(guān)，而與入射光的強(qiáng)度無關(guān)。（3）入射光的強(qiáng)度只影響光電流的強(qiáng)度，即只影響單位時(shí)間內(nèi)由單位面積上逸出的光電子數(shù)目。16. 厄米共軛算符定義，厄米算符的定義：。17. 力學(xué)量有確定值的條件是,不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件。18. 維里定理：19. 普朗克公式：20. 矢量的內(nèi)積表示為：21. 奇宇稱:,偶宇稱:22.態(tài)的疊加原理：如果是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性疊加所得出的波函數(shù)也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)：，當(dāng)體系處在態(tài)時(shí)，出現(xiàn)的概率是，出現(xiàn)的概率是，以此類推，n可以是有限的，也可以是無限的。這個(gè)原理稱為態(tài)

4、疊加原理。23. 我們把粒子只能束縛在空間的有限區(qū)域，在無窮遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。二計(jì)算1.設(shè)粒子在半壁無限高，半壁諧振子勢(shì)中運(yùn)動(dòng)，求該粒子的能譜。解：本題是在半?yún)^(qū)中的一維諧振子，它的薛定諤方程式 在的半?yún)^(qū)內(nèi)與普通諧振子的相同，在負(fù)半?yún)^(qū)中。一般諧振子的函數(shù)（x）滿足薛氏方程式： （1）作自變量變換 （）并將波函數(shù)變換：得u的微分方程： （2）但 （3）設(shè)（2）的解是級(jí)數(shù)： （4）將（4）代入（2）知道，指標(biāo)s的值是s=1或s=0。 此外又得到相同的二個(gè)未定系數(shù)之間的關(guān)系有二種： s=0時(shí)， （5） s=1時(shí)， （6）為了使波函數(shù)（x）滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，級(jí)數(shù)（4）必需中斷。此外由于本題情形

5、中應(yīng)滿足邊界條件（波函數(shù)連續(xù)性），x=0時(shí)（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的遞推式是（6），因此如果級(jí)數(shù)（4）中斷，而（4）的最高冪是n=2m，在（4）式中取s=1，則在（6）式中取n為最高冪時(shí)： 由（3）得 (7)式中的m=0,1,2,3,4,（7）式即我們需求的粒子的能級(jí)。本題的波函數(shù)是 但 是歸一化常數(shù)，是奇階數(shù)厄米多項(xiàng)式。4.證明先設(shè)然后對(duì)它求對(duì)的各階導(dǎo)數(shù)，并注意算符與是對(duì)易的，與也對(duì)易，于是有：= = =可循此類推，假定n階導(dǎo)數(shù)是： （含有n個(gè)，一個(gè) （3）將此式再求導(dǎo)一次： = = （含有n+1個(gè)，一個(gè)） （4）但n=1適用，而根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，n=2,3,都適用，故

6、（3）是普遍規(guī)律。 ，當(dāng)是一個(gè)任意參數(shù)時(shí)將在附近展成泰勒級(jí)數(shù)： （4）另一方面，在等式 中令，得 再在（4）式中也令得 命題得證。3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:證明: 時(shí), 時(shí), 設(shè)時(shí),等式成立,即有則當(dāng)時(shí),有且4.一維諧振子處在狀態(tài)，求：（1） 勢(shì)能的平均值；（2） 動(dòng)量的概率分別函數(shù)；（3） 動(dòng)能的平均值。 解：（1） 所以所以勢(shì)能平均值（2）將波函數(shù)從坐標(biāo)表象變到動(dòng)量表象有而所以（4） 動(dòng)能平均值5.一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解：無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S方程 在各區(qū)域的具體形式為 ： ： ：由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必須 即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。 方程(2)可變?yōu)?令，