隨機(jī)過(guò)程試題及答案

1、一填空題（每空2分，共20分）1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，則X的特征函數(shù)為。2設(shè)隨機(jī)過(guò)程 其中為正常數(shù)，和是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且和服從在區(qū)間上的均勻分布，則的數(shù)學(xué)期望為。3強(qiáng)度為的泊松過(guò)程的點(diǎn)間間距是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從均值為的同一指數(shù)分布。4設(shè)是與泊松過(guò)程對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則服從分布。5袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對(duì)每一個(gè)確定的t對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量，則 這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間。 6設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，步轉(zhuǎn)移矩陣，二者之間的關(guān)系為。7設(shè)為馬氏鏈，狀態(tài)空間，初始概率，絕對(duì)概率，步轉(zhuǎn)移概率，三者之間的關(guān)系為。8在馬氏鏈中，記 ，若，稱狀

2、態(tài)為非常返的。9非周期的正常返狀態(tài)稱為遍歷態(tài)。10狀態(tài)常返的充要條件為。二證明題（每題6分，共24分）1.設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，證明條件概率的乘法公式：。證明：左邊=右邊 2.設(shè)X(t),t³0是獨(dú)立增量過(guò)程, 且X(0)=0, 證明X(t),t³0是一個(gè)馬爾科夫過(guò)程。證明：當(dāng)時(shí)，=，又因?yàn)?，故= 3.設(shè)為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為，則對(duì)任意整數(shù)和，步轉(zhuǎn)移概率 ，稱此式為切普曼科爾莫哥洛夫方程，證明并說(shuō)明其意義。證明：= =，其意義為步轉(zhuǎn)移概率可以用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來(lái)表示。 4.設(shè)是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與獨(dú)立，令，證明：若，則。證明：由條件期望的性質(zhì)，

3、而=，所以。 三計(jì)算題（每題10分，共50分）1.拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義一隨機(jī)過(guò)程： ,，設(shè)，求（1）的樣本函數(shù)集合；（2）一維分布函數(shù)。解：（1）樣本函數(shù)集合為； （2）當(dāng)時(shí)， 故；同理2.設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求在2分鐘內(nèi)到達(dá)的顧客不超過(guò)3人的概率。解：設(shè)是顧客到達(dá)數(shù)的泊松過(guò)程，故，則 3.設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過(guò)去的天氣無(wú)關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無(wú)雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無(wú)雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，于是，四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，從而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為。4.一質(zhì)點(diǎn)在1,2,3三個(gè)點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)，1和3是兩個(gè)反射壁，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處于2時(shí)，下一時(shí)刻處于1,2,3是等可能的。寫(xiě)出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷此鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性，若有，求出極限分布。解：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，5.設(shè)有四個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 （）畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；（）對(duì)狀態(tài)進(jìn)行分類；（）對(duì)狀態(tài)空間進(jìn)行分解。解：（1）圖略； （2）均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個(gè)閉集，它是吸收態(tài)，記；0，1兩個(gè)狀態(tài)互通，且它們不能到達(dá)其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一個(gè)閉集，記，且它們都是正常返非周期狀態(tài)；由于狀態(tài)2可達(dá)中的狀態(tài)，而中的狀態(tài)不可能達(dá)到它，故狀態(tài)2為