隨機過程試題及答案

1、一填空題（每空2分，共20分）1設隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，則X的特征函數(shù)為。2設隨機過程 其中為正常數(shù)，和是相互獨立的隨機變量，且和服從在區(qū)間上的均勻分布，則的數(shù)學期望為。3強度為的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變量，且服從均值為的同一指數(shù)分布。4設是與泊松過程對應的一個等待時間序列，則服從分布。5袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的t對應隨機變量，則 這個隨機過程的狀態(tài)空間。 6設馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，步轉(zhuǎn)移矩陣，二者之間的關(guān)系為。7設為馬氏鏈，狀態(tài)空間，初始概率，絕對概率，步轉(zhuǎn)移概率，三者之間的關(guān)系為。8在馬氏鏈中，記 ，若，稱狀

2、態(tài)為非常返的。9非周期的正常返狀態(tài)稱為遍歷態(tài)。10狀態(tài)常返的充要條件為。二證明題（每題6分，共24分）1.設為三個隨機事件，證明條件概率的乘法公式：。證明：左邊=右邊 2.設X(t),t³0是獨立增量過程, 且X(0)=0, 證明X(t),t³0是一個馬爾科夫過程。證明：當時，=，又因為=，故= 3.設為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為，則對任意整數(shù)和，步轉(zhuǎn)移概率 ，稱此式為切普曼科爾莫哥洛夫方程，證明并說明其意義。證明：= =，其意義為步轉(zhuǎn)移概率可以用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示。 4.設是強度為的泊松過程，是一列獨立同分布隨機變量，且與獨立，令，證明：若，則。證明：由條件期望的性質(zhì)，

3、而=，所以。 三計算題（每題10分，共50分）1.拋擲一枚硬幣的試驗，定義一隨機過程： ,，設，求（1）的樣本函數(shù)集合；（2）一維分布函數(shù)。解：（1）樣本函數(shù)集合為； （2）當時， 故；同理2.設顧客以每分鐘2人的速率到達，顧客流為泊松流，求在2分鐘內(nèi)到達的顧客不超過3人的概率。解：設是顧客到達數(shù)的泊松過程，故，則 3.設明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。設，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由題設條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，于是，四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，從而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為。4.一質(zhì)點在1,2,3三個點上作隨機游動，1和3是兩個反射壁，當質(zhì)點處于2時，下一時刻處于1,2,3是等可能的。寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷此鏈是否具有遍歷性，若有，求出極限分布。解：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，5.設有四個狀態(tài)的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 （）畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；（）對狀態(tài)進行分類；（）對狀態(tài)空間進行分解。解：（1）圖略； （2）均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集，它是吸收態(tài)，記；0，1兩個狀態(tài)互通，且它們不能到達其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一個閉集，記，且它們都是正常返非周期狀態(tài)；由于狀態(tài)2可達中的狀態(tài)，而中的狀態(tài)不可能達到它，故狀態(tài)2為