軸對稱圖形及性質及應用

1、軸對稱圖形的性質及應用如果把一個圖形沿著某一條直線對折過來，在直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，能夠重合的點互為對稱點軸對稱圖形具有以下的性質：（1）軸對稱圖形的兩部分是全等的；（2）對稱軸是連結兩個對稱點的線段的垂直平分線在幾何證題、解題時，如果是軸對稱圖形，則經常要添設對稱軸以便充分利用軸對稱圖形的性質譬如，等腰三角形經常添設頂角平分線；矩形和等腰梯形問題經常添設對邊中點連線和兩底中點連線；正方形，菱形問題經常添設對角線等等另外，如果遇到的圖形不是軸對稱圖形，則常選擇某直線為對稱軸，補添為軸對稱圖形，或將軸一側的圖形通過翻折反射到另一側，以實現(xiàn)條件

2、的相對集中例1已知直線外有一定點 ，試在上求兩點，使（定長），且最短分析：當把點沿方向平移至（如圖1），使，那么問題就轉化為在上求一點，使為最短作法：過作，使，作關于的對稱點，連結交于B在上作，點，為所求之兩點證：在上另任取，連PA，則，又為平行四邊形， ，PAPB例2如圖2，ABC中，為A外角平分線上一點，求證：PBPCABAC分析：由于角平分線是角的對稱軸，作AC關于AP的軸對稱圖形AD，連結DP，CP，則DPCP，BDABAC這樣，把 ABAC，AC，PB，PC集中到BDP中，從而由PBPDBD，可得PBPCABAC證：（略）點評：通過變?yōu)檩S對稱圖形后，起到相對集中條件的作用，又有將折線

3、化直的作用（如ABAC化直為BD）例3等腰梯形的對角線互相垂直，且它的中位線等于，求此梯形的高解：如圖3設等腰梯形ADBC，ABDC，對角線AC與BD相交于O，且ACBD，中位線EFm.過AD，BC的中點M，N作直線，由等腰梯形ABCD關于直線MN成軸對稱圖形，O點在MN上，且OAOD，OBOC，AMDM，BNCN又 ACBD，故AOD和BOC均為等腰直角三角形2OMAD，2ONBCADBC2EF2m，2OM2ON2mOMON，即梯形高MN例4凸四邊形EFGH的四個頂點分別在邊長為的正方形ABCD的四條邊上求證：EFGH的周長不小于證：如圖4，連結AA2，EE3正方形ABCD和正方形A1BCD

4、1關于BC對稱；EFGH和E1FG1H1關于BC對稱；A1BCD1和A2B1CD1關于 CD1對稱；E1FG1H1和 E2F1G1H2關于CD1對稱；A2B1CD1和A2B2C1D1關于A2D1對稱，E2F1G1H2和E3F2G2H2關于A2D1對稱，又例5如果一個四邊形關于它的兩組對邊中點的兩條連線成軸對稱，則此四邊形為矩形已知：如圖5四邊形ABCD中，M，F(xiàn)，N，E分別為各邊的中點，且MN，EF為它的對稱軸求證：ABCD是矩形分析：欲證ABCD是矩形，首先證明它是平行四邊形，再證明它有一個直角即可證：四邊形ABCD關于EF成軸對稱，DCEF，ABEF， ABDC同理ADBCABCD是平行四

5、邊形DCAB又，DEAF，ADEF為平行四邊形ADEF，而DEEF，DEAD，DABCD是矩形軸對稱應用舉例山東徐傳軍生活中很多圖形的形狀都有一個共同的特性軸對稱在日常生活中利用軸對稱的性質能解決很多問題，下面舉例說明一、確定方向例1如圖1，四邊形ABCD是長方形的彈子球臺面，有黑白兩球分別位于E、F兩點的位置，試問，怎樣撞擊黑球E，才能使黑球先碰撞臺邊DC，反彈后再擊中白球F ？解：作E點關于直線CD的對稱點E，連接FE，與CD的交點P即為撞擊點，點P即為所求例2如圖2，甲車從A處沿公路L向右行駛，乙車從B處出發(fā)，乙車行駛的速度與甲車行駛的速度相同，乙車要在最短的時間追上甲車，請問乙車行駛的

6、方向？解：作AB的垂直平分線EF，交直線L于點C，乙車沿著BC方向行駛即可二、確定點的位置找最小值例3如圖3，ABCD，ACCD，在AC上找一點,使得BE+DE最小解：作點B關于AC的對稱點B,連接DB，交AC于點E，點E就是要找的點例4如圖4，點A是總郵局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小解：作點A關于L1和L2的對稱點B、C連接BC，交L1于點D，交L2于點E點D、E就是要找的點三、與其他學科結合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工時，太守在廟門右邊寫了一副上聯(lián)“萬瓦千磚百匠造成十佛寺”，望有人對出下聯(lián)，且表達恰如其分，你能對出下聯(lián)來嗎?對聯(lián)中有數(shù)字萬

7、、千、百、十，幾個月過去了，無人能對，有個文人李生路過，感覺廟前沒有下聯(lián)不像話，十分感慨一連幾天在廟前苦思冥想，未能對出下聯(lián)，有次在廟前散步，望見一條大船由遠而來，船夫正使勁的搖櫓，這時李生突發(fā)靈感，對出了下聯(lián)“一舟二櫓四人搖過八仙橋”太守再次路過此廟時，看到下聯(lián)，連連稱贊“妙妙妙”這副對聯(lián)數(shù)字對數(shù)字，事物對事物，對稱美如此的和諧可見，對稱美在文學方面也有生動深刻的體現(xiàn)生活中的軸對稱無處不在,只要你善于觀察,將會發(fā)現(xiàn)其間所蘊涵的豐富的文化價值和對稱美給人帶來的回味無窮的享受用軸對稱解實際問題山東 于秀坤在我們實際生活中，許多問題設計到軸對稱的應用，下面介紹幾例.例1要在河岸所在直線l上修一水泵

8、站，分別向河岸同側的A、B兩村送水，請你設計水泵站應修在何處，所用管道最短？分析：設水泵站修在C點，此題的實質是求折線AC+BC的最短長度，可作出A點關于直線l的對稱點A，如圖1，根據(jù)對稱性，AC+BC=AC+BC，所以連結BA交直線l于點C，點C便是水泵站的位置，因為此時折線長AC+CB化成線段AB的長，根據(jù)兩點之間線段最短的道理便可確定點C是水泵的位置 圖1 圖2例2如圖2，角形鐵架MON小于60°，A、D是OM、ON上的點，為實際應用的需要，須在OM和ON上各找點B、C，使AB+BC+CD最小，問應如何找？分析：學習了軸對稱，可以利用對稱性化折為直的道理，分別作出點A、點D關于

9、ON、OM的對稱點A、D，連結AD與ON、OM交于B、C，則點B、C便是所求的點例3如圖3，EFGH是一個長方形的彈子球臺面，有黑白兩球分別位于A、B兩點的位置（1）試問：怎樣撞擊黑球A，使黑球A先碰撞臺邊EF反彈后再撞擊白球B？（2）怎樣撞擊黑球A，使黑球先碰撞臺邊GH反彈后再擊臺邊EF，最后擊白球B？ 圖3分析：利用軸對稱的性質，分別作出B點關于EF的對稱點，A點關于HG的對稱點，問題得解解：（1）作點B關于EF的對稱點B，連結AB交EF于C點，則沿AC撞擊A，球A必沿BC反彈擊中白球B（如圖4）圖4 圖5（2）如圖5，作法類似（1）例4如圖5，小河邊有兩個村莊，要在河對岸建一自來水廠向A

10、村與B村供水，要符合條件：（1）若要使廠部到A、B的距離相等，則應選在哪兒？（2）若要使廠部到A村、B村的水管最省料，應建在什么地方？ 圖5 圖6 圖7解：（1）如圖6，取線段AB的中點G，過中點G作AB的垂線,交EF于P，則P到A、B的距離相等（2）如圖7，作點A關于河岸EF的對稱點A，連結AB交EF于P，則P到A、B的距離和最短用軸對稱知識解決打臺球一題山東于秀坤題目：小強和小勇利用課本上學過的知識來進行臺球比賽（1）小強把白球放在如圖1所示的位置，想通過擊打白球撞擊黑球，使黑球撞AC邊后反彈進F洞；想想看小強這樣擊打，黑球能進F洞嗎？請畫圖的方法驗證你的判斷，并說明理由 圖1（2）小勇想

11、通過擊打白球撞擊黑球，使黑球至多撞臺球桌邊一次后進A洞，請你猜想小勇有幾種方案？并分別在下面的臺球桌上畫出示意圖，解釋你的理由分析：本題是一道操作型探究題，主要根據(jù)軸對稱的知識的有關進行探究第(1)題可以通過擊打AC邊使球反彈進F洞第(2)題有多種方法擊球入洞需要對每一桿的角度進行適當?shù)墓浪?，實質上等同于幾何角度的計算，二者有著密切的關系要想至多撞臺球桌邊一次擊黑球于F洞方案可以有以下情況：(1)不擊臺球桌邊，直接用白球撞擊黑球;(2)通過白球擊CF邊反彈再撞擊黑球進A洞；(3)用白球撞擊DF邊反彈撞擊黑球進F洞要想準確撞擊黑球，必須找準擊球的方向角度，準確估算擊球的方向在數(shù)學上，可以借助軸對

12、稱的知識來解決問題解: (1)如圖2，將白球與黑球視為兩點，過這兩點畫直線交臺球桌邊AC于M，過點M作法線MNAC，在MN右側FMN=PMN，由于射線MF過F洞，知黑球經過一次反彈后必進入F洞 圖2（2）方案1：如圖3，視白球、黑球為兩點P，G，使A、G、P在同一直線上方案2：如圖4，延長AC到H點，使AC=CH，連接GH交FC于點K，根據(jù)軸對稱的知識可知，用白球沿GK方向撞擊邊CF反彈后可進行A洞方案3：如圖5，延長AD到M點，使MD=AD，連結GM交DF于N，根據(jù)軸對稱知識可知，沿GN方向用白球撞擊黑球經反彈后可進入A洞 圖3 圖4 圖5最 短 線 路 問 題河北 歐陽慶紅 吳立穩(wěn)同學們，

13、對于最短線路問題你一定很陌生吧?運動著的車、船、飛機，包括人們每天走路都要遇到這樣的問題古今中外的任何旅行者總希望尋求最佳的旅行路線，盡量走近道，少走冤枉路我們把這類求近道的問題統(tǒng)稱最短線路問題另外，從某種意義上說，一筆畫問題也屬于這類問題，這類問題在生產、科研、生活中應用廣泛請同學們看下面幾個生活中的最短線路問題一、兩點一線問題例1 如圖1，某同學打臺球時想繞過黑球，通過擊黑球A，使主球A撞擊桌邊MN后反彈，來擊中白球B請在圖中標明，黑球撞在MN上哪一點才能達到目的？(以球心A、B來代表兩球)?MNP圖1BA分析：要撞擊黑球A，使黑球A先撞擊臺邊MN上的P點后反彈擊中白球B，需APN=BPM

14、，如圖2，可作點A關于MN的對稱點A，連結AB交MN于點P，則P點即為所求作的點作法:（圖2）：作點A關于MN的對稱點A；連結AB，交MN于P則經AP撞擊臺邊MN，必沿P B反彈擊中白球B點P就是所要求的點BBAMNAP圖2說明：本題黑球A，白球B在MN的同側，直接確定撞擊點的位置不容易，但若A、B在MN的異側，擊球路線就容易確定了本題可利用軸對稱的特征將A點轉化到MN的另一側，設為A，連接AB即可確定撞擊點二、一點兩線問題 小島小島觀測點圖3例2 在一條大的河流中有一形如三角形的小島（如圖3），岸與小島有一橋相連現(xiàn)準備在小島的三邊上各設立一個水質取樣點水利部門在岸邊設立了一個觀測站，每天有專

15、人從觀測站步行去三個取樣點取樣，然后帶回去化驗請問，三個取樣點應分別設在什么位置，才能使得每天取樣所用時間最短(假設速度一定)? 分析：此題要求時間最短，而速度一定，所以可轉化為求最短路程如圖4，小橋DE為必走之路，所以容易得到D為BC邊上的取樣點關鍵是確定另外兩邊上的取樣點，這是線段之和最小的問題，我們的想法是將三條線段拼起來，關于線段最短，我們有“兩點之間，線段最短”，利用對稱便可使問題得到解決 NFBCADEGM圖4解析：如圖4，作點D關于AB的對稱點F；點D關于AC的對稱點G， 連接FG，交AB于M，交AC于ND、M、N即所求三個取樣點（請同學們試著證一證）三、同類變式例3 某班舉行文

16、藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了糖果，BO桌面上擺滿了桔子，坐在C處的學生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，請你幫他設一條行走路線，使其所走的總路程最短？分析：此題是軸對稱的特殊應用，需分兩種情況討論： AOB小于90°；AOB等于90°。 ABOC圖7AOBCDEFG圖6OBC圖5A解析：如圖6，AOB小于90°1作點C關于AO的對稱點D，作點C關于BO的對稱點E；2連接DE交AO于F，交BO于G；則小亮的行走路線為C F G C如圖7，AOB等于90°，此時從點C沿直線走到O處，再直線返回C處四、拓展引申例4 如圖8所

17、示，甲、乙兩個單位分別位于一條封閉街道兩旁，現(xiàn)準備合作修建一座過街天橋問：橋建在何處才能使甲到乙的路線最短？（橋必須與街道垂直）甲B橋A乙封閉街道圖8分析：此題的關鍵是要想辦法把中間的一段“橋”去掉，然后連結甲、乙之間線段，其中要用到軸對稱的性質解析：（1）作封閉街道中線（即過街道的中點，平行于街道的直線）a，（2） 作B關于a的對稱點B；（3）連結AB，作線段AB的垂直平分線a；（4）設a交街道靠近A點的一側于P點；（5）過點P作垂直于街道的天橋PQPQ即為所求（如圖9）說明： 你能應用軸對稱知識:證明所選的點P于點Q構成的是最短路線嗎？aaBAQPB圖9軸對稱在建筑布局中的應用山東孫新東同

18、學們都知道四合院吧，四合院在我國是一種比較有特色的建筑形式，這種建筑的布局是以南北縱軸對稱布置和封閉獨立的院落為基本特征的其實，不止是四合院，建筑上的很多布局問題都要用到軸對稱的知識下面舉幾個例子： 圖1例1如圖1，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準備在其中建一涼亭供人們小憩，使涼亭中心到三條馬路的距離相等，試確定涼亭的中心位置分析：由于涼亭中心到三條馬路的距離相等，則涼亭的中心應在三條馬路所圍成的三角形的三條內角平分線的交點處 解：畫出三角形三內角平分線，它們的交點即為涼亭的中心ABl圖3CABl圖2例2如圖2，在鐵路的同側有，兩個工廠，要在鐵路邊建一個貨場，貨場應建在什么地方，才能

19、使，兩廠到貨場的距離之和最短分析：不妨假設，在的異端，根據(jù)“兩點之間線段最短”的結論，只要連接，和的交點就是所要確定的點，而本題，兩個工廠在的同側，所以很容易想到把“同側”轉化為“異側”解：（1）找點關于的對稱點（2）連結，交于，則點就是要在路邊建的貨場的最合適的地點（見圖3）ABC圖4例3 如圖4，是兩條公路，在兩條公路夾角的內部有一油庫，現(xiàn)在想在兩條公路上建兩個加油站，為使運油的油罐車從油庫出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫的路程最短，問兩加油站應如何選址分析：上述問題可化為：在銳角內部有一個點,試作一個三角形,以為一個頂點, 另外兩個頂點分別在,上，且使其周長最小解：如圖4，取關于，的對稱點，連結，交，于，則，兩點即為所求數(shù)學是基礎學科，也是應用學科在用中學，在學中用，只有這樣，才能學好數(shù)學，才能提高自己的數(shù)學水平