擴(kuò)展Dicke模型的量子相變

1、3擴(kuò)展Dicke模型的熱力學(xué)極限性質(zhì)13.1正常相23.2超輻射相43.3相變討論83.4系統(tǒng)量子糾纏和量子關(guān)聯(lián)133擴(kuò)展Dicke模型的熱力學(xué)極限性質(zhì) 早在1954年Dicke23提出了N個(gè)兩能級(jí)原子的集體相干輻射率超過(guò)單獨(dú)的N個(gè)原子自發(fā)的輻射率，原子集體屬于一種相干的輻射。把N個(gè)自發(fā)輻射的原子放在光學(xué)腔場(chǎng)里，所有原子和一個(gè)共同的輻射場(chǎng)發(fā)生作用，因此不能簡(jiǎn)單看成每個(gè)原子是獨(dú)立的自發(fā)輻射態(tài)。由于原子之間的距離比輻射波長(zhǎng)小很多，但是比粒子物質(zhì)波長(zhǎng)大許多，這樣原子之間相互作用可以忽略，但是可以形成相干自發(fā)輻射波。他說(shuō)，該系統(tǒng)中的這些相關(guān)多個(gè)原子態(tài)展示的非同尋常的大輻射率叫“超輻射態(tài)”(super-

2、radiance)。超輻射態(tài)是指原子集體激發(fā)的密度與N2成比例，而不是N，原子是相干輻射的。這樣，由N個(gè)兩能級(jí)原子和單模玻色場(chǎng)相互作用的系統(tǒng)叫做Dicke模型。這是凝聚態(tài)物理和量子光學(xué)關(guān)聯(lián)的一個(gè)重要物理模型，比如在研究量子點(diǎn)中的超輻射行為641，玻色一愛(ài)因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光學(xué)腔場(chǎng)模擬強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的行為66，量子電動(dòng)腔場(chǎng)QED等系統(tǒng)中有廣泛的應(yīng)用。Dicke模型中原子看成是由N個(gè)相同但可區(qū)別的兩能級(jí)原子形成的集體系統(tǒng)，并且每個(gè)原子的上下能級(jí)差為。Dicke哈密頓量描述玻色場(chǎng)與N個(gè)原子的相互作用如同在一個(gè)理想腔場(chǎng)里的偶極子作用。這里，多個(gè)兩能級(jí)原子看成是由N個(gè)相同但可區(qū)別的集體系統(tǒng)，并

3、且每個(gè)原子的上下能級(jí)差為。其中，第i個(gè)原子可以描述成一個(gè)自旋的算符，遵從對(duì)易關(guān)系我們考慮單模波色場(chǎng)的情況，這些兩能級(jí)原子與頻率為的單模玻色場(chǎng)發(fā)生作用，耦合強(qiáng)度為，擴(kuò)展的Dicke模型哈密頓量可以寫成 （3-1）這里 ，是波色產(chǎn)生和湮滅算符，為原子-原子相互作用項(xiàng)，這里為Ising耦合。原子-波色場(chǎng)相互作用項(xiàng)出現(xiàn)的因?yàn)槭且驗(yàn)榕紭O子耦合強(qiáng)度最初與成比例，是強(qiáng)場(chǎng)體積。強(qiáng)場(chǎng)里原子密度,因此耦合強(qiáng)度正比于，帶入相互作用項(xiàng)我們得到因子。利用原子算符的集體算符形式，,這些算符遵從一般的角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系希爾伯特空間可以按照Dicke態(tài)展開(kāi)，Dicke態(tài)是和的本征態(tài)：。上升和下降算符作用在這些態(tài)上得到：。是Dic

4、ke態(tài)的“共同量子數(shù)”，當(dāng)N確定后，取值為，我們選擇的最大值。個(gè)兩能級(jí)原子系統(tǒng)可以看成是一個(gè)能級(jí)的系統(tǒng)，總的贗自選矢量長(zhǎng)度。利用集體算符，上面的哈密頓量可以表示為 （3-2）熱力學(xué)極限下，原子個(gè)數(shù)無(wú)窮，也就是說(shuō)角動(dòng)量，零溫下，擴(kuò)展Dicke模型在耦合強(qiáng)度會(huì)發(fā)生量子相變。為了描述這種相變，把哈密頓量分成兩個(gè)有效哈密頓量，一個(gè)描述正常相的系統(tǒng)，另一個(gè)描述對(duì)稱性破缺的超輻射相。首先角動(dòng)量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示，并且玻色算符滿足對(duì)易關(guān)系。將上述變化帶入哈密頓量（3-2），可以得到兩類玻色子的哈密頓量 （3-3）3.1正常相通過(guò)對(duì)哈密頓量（3-3）中含的項(xiàng)做簡(jiǎn)單的近

5、似處理：因?yàn)?，所以令。我們得到系統(tǒng)正常相的有效的哈密頓量 （3-4）為了將這個(gè)含有雙線性的玻色算符的哈密頓量對(duì)角化，引入以下兩個(gè)具有玻色模式的位置和動(dòng)量算符： 令，用上面的位置動(dòng)量算符去表示正常相的哈密頓量（3-4）： （3-5）用下面的方法變化位置算符，即將平面旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到另一個(gè)平面上，可以將上面的哈密頓量對(duì)角化：， ， （3-6）這里旋轉(zhuǎn)角度滿足條件：對(duì)于共振態(tài)，這時(shí)和。這樣的變化消除了哈密頓量中的相互作用項(xiàng)，得到兩種退耦合諧振子的形式 （3-7）現(xiàn)在引進(jìn)兩個(gè)新的玻色算符去量子化哈密頓量 （3-8）故對(duì)角形式的哈密頓量為 （3-9）這里使得哈密頓量對(duì)角化的玻色算符是玻色算符的線性組合。至

6、此，我們就得到了正常相的兩支獨(dú)立震蕩模式的能量表： （3-10）如果激發(fā)態(tài)能量是實(shí)數(shù)，那么必須滿足條件，等價(jià)于。因此可以看到哈密頓量?jī)H在有效，即正常相。在正常相，系統(tǒng)的基態(tài)能量是： （3-11）這里忽略了高階項(xiàng)，而上面的激發(fā)態(tài)能量是忽略了，也就是說(shuō)在基態(tài)上面的激發(fā)態(tài)譜在是準(zhǔn)連續(xù)的。3.2超輻射相為了描述超輻射相，考慮到場(chǎng)與原子系綜都有宏觀占據(jù)數(shù)，采用Holstein-Primakoff變換去轉(zhuǎn)換哈密頓量（3-3），假設(shè)兩類玻色子算符做如下變化嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，我們做上面的變換，其實(shí)就意味著平移參量和是，也就是說(shuō)在時(shí)，他們滿足非零宏觀場(chǎng)。將上面的平移算符帶入H-P變換的式子中，可以得到 （3-12）其中

7、根式為，并且。在熱力學(xué)極限下將根式按照冪級(jí)數(shù)綻開(kāi)至，則將式子（3-12）代入哈密頓量（3-3），這樣我們得到了含有的雙線性項(xiàng)的哈密頓量 （3-13）現(xiàn)在用平移算符將波色算符的線性項(xiàng)消除掉，所以 （3-14）平庸解是滿足正常相哈密頓量的解，這里對(duì)超輻射相有意義的解是 （3-15）這里，而且令。利用這些參量，獲得了有效哈密頓量 （3-16）為了促進(jìn)這個(gè)雙線性哈密頓量的對(duì)角化，我們引進(jìn)如下定義的位置-動(dòng)量算符： （3-17）這樣超輻射相的有效哈密頓量變?yōu)椋?（3-18）雖然（3-17）式的位置-動(dòng)量算符表達(dá)式與（3-6）定義的有所不同，但是這里的對(duì)角化過(guò)程與之前正常相的過(guò)程是類似的，也就是將平面旋轉(zhuǎn)

8、一個(gè)角度到另一個(gè)平面上，使得上面的有效哈密頓量對(duì)角化， （3-19）這里旋轉(zhuǎn)角度滿足條件：為 （3-20）現(xiàn)在為了量子化哈密頓量，引進(jìn)兩個(gè)新的玻色算符： （3-21）故對(duì)角形式的哈密頓量為 （3-22）這里使得哈密頓量對(duì)角化的玻色算符是玻色算符的線性組合。至此，我們就得到了超輻射相的兩支獨(dú)立震蕩模式的能量表： （3-23）如果激發(fā)態(tài)能量是實(shí)數(shù)，那么必須滿足條件 （3-24）化簡(jiǎn)（3-24）可以得到 （3-25）現(xiàn)在討論超輻射相下的臨界值，所以我們得到了如下的圖象圖3.1通過(guò)上面的圖象3.1，我們可以知道當(dāng)為我們的超輻射相。對(duì)于超輻射相，系統(tǒng)的基態(tài)能量是： （3-26）從基態(tài)能量出發(fā)，臨界點(diǎn)也可

9、以通過(guò)下面的方程組獲得：可以解得：，與式子（3.15）一致。這樣我們得到了一個(gè)二階相變點(diǎn)。3.3相變討論熱力學(xué)極限下，系統(tǒng)用兩個(gè)有效哈密頓量描述成兩相，并給出激發(fā)態(tài)能量。在圖3.2中我們給出了激發(fā)態(tài)能量關(guān)于原子相互作用和耦合強(qiáng)度的變化圖象，依據(jù)無(wú)耦合激發(fā)態(tài)的性質(zhì)，上下兩支分別對(duì)應(yīng)“原子”與“聲子”分支。從圖3.2可以看到，耦合強(qiáng)度接近于臨界點(diǎn)時(shí)，聲子模式的那一支激發(fā)態(tài)能量接近于0，即當(dāng)時(shí)，,表明存在量子相變。而接近于。 圖3.2：激發(fā)態(tài)能量關(guān)于原子相互作用和耦合強(qiáng)度的變化圖象， 是正常相的激發(fā)態(tài)能量，是超輻射相的激發(fā)態(tài)能量。在原子相互作用取不同的值時(shí)，基態(tài)能量及其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于耦合強(qiáng)度

10、的變化如圖3.3，從左到右，原子相互作用從1逐漸減小到-5。能量及其一階導(dǎo)在連續(xù)，而其二階導(dǎo)數(shù)在的非連續(xù)性表現(xiàn)了二級(jí)相變現(xiàn)象。需要特別說(shuō)明的是，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕R界耦合強(qiáng)度，這時(shí)能量二階導(dǎo)還是連續(xù)的。（這里相變點(diǎn)；這里避開(kāi)了區(qū)域里的特殊情況。并且當(dāng)時(shí)，因?yàn)槔脽o(wú)法解出實(shí)數(shù)相變點(diǎn)，所以沒(méi)有去畫(huà)出這種情況下的圖象。但是如果利用相變點(diǎn)的話就可以畫(huà)出時(shí)的圖象）。圖3.3：基態(tài)能量（藍(lán)色線）及其一階導(dǎo)數(shù)（棕色線），二階導(dǎo)數(shù)（黃色線）關(guān)于耦合強(qiáng)度的變化圖象，這里原子相互作用從1逐漸減小到-5?；蛘邎D3.3為了簡(jiǎn)單看出，也可以采用下面圖3.31的圖象，這里三條線分別對(duì)應(yīng)。圖3.31在熱力學(xué)極限下，平均玻色子數(shù)隨耦

11、合強(qiáng)度和原子相互作用變化的三維圖象，以及在原子相互作用取不同的值時(shí)，角動(dòng)量隨耦合強(qiáng)度變化的圖象我們?cè)趫D3.4中也給出來(lái)了，從左到右，原子相互作用從1逐漸減小到-5。從圖3.4我們可以看到，在臨界點(diǎn)處，角動(dòng)量從突然增大到，平均玻色子數(shù)從0突然增大到，出現(xiàn)相變現(xiàn)象。經(jīng)過(guò)相變點(diǎn)之后，可以得到下面可觀測(cè)量的解析結(jié)果表格3.1是基態(tài)能量，平均玻色子數(shù)，角動(dòng)量的熱力學(xué)極限解析分析結(jié)果。不管是從圖3.4還是表格3.1，都可以看出平均玻色子數(shù)隨的增大是發(fā)散的，而角動(dòng)量隨的增大是收斂的，且收斂于0。 圖3.4：平均玻色子數(shù)隨耦合強(qiáng)度和原子相互作用變化的三維圖象；原子相互作用取不同的值時(shí)（從1逐漸減小到-5），角

12、動(dòng)量隨耦合強(qiáng)度變化的圖象。或者圖3.4為了簡(jiǎn)單看出，也可以采用下面圖3.41的圖象，這里三條線分別對(duì)應(yīng)。圖3.413.4系統(tǒng)量子糾纏和量子關(guān)聯(lián)我們知道，量子糾纏和量子相變有緊密關(guān)系，糾纏可以來(lái)探測(cè)量子相變【87】。對(duì)于多體系統(tǒng)，量子態(tài)的糾纏是不容易表征的，Dicke多原子集體模型中，所有自旋完全一樣，concurrence更合適來(lái)表征兩體糾纏，不依賴所選擇的兩個(gè)自旋。因此我們將討論多原子與玻色場(chǎng)多體系統(tǒng)中任意兩個(gè)原子的量子糾纏-concurrence。量子糾纏就是子系統(tǒng)之間的某種量子關(guān)聯(lián)，它會(huì)影響強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的物理性質(zhì)，尤其是量子相變。量子相變發(fā)生在零溫時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)處于基態(tài)，是一個(gè)純態(tài)，其子系統(tǒng)

13、之間的關(guān)聯(lián)與量子糾纏有很大的關(guān)系。量子糾纏是一種奇特的純量子現(xiàn)象，反映了量子理論的本質(zhì)一相干性，空間非局域性，廣泛應(yīng)用于量子通信和量子計(jì)算中。從實(shí)驗(yàn)觀測(cè)角度來(lái)說(shuō)，量子糾纏是測(cè)量中體現(xiàn)的關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)具有相干性，是量子關(guān)聯(lián)，不是經(jīng)典關(guān)聯(lián)。由于Dicke模型的N個(gè)自旋的對(duì)稱性，所以任意兩個(gè)自旋的約化密度矩陣在基矢空間中總是可以表示成以下的X形式： （3-28）其中矩陣元的具體表達(dá)式為：這里，。，對(duì)于。對(duì)于兩自旋X形式的密度矩陣，量子關(guān)聯(lián)QD是可以被解析求解的。按照陳慶虎的文章中的計(jì)算，我們可以推導(dǎo)出（3-28）式中約化密度矩陣的矩陣元： （3-29）按照陳慶虎文章中推導(dǎo)出的量子關(guān)聯(lián)QD和經(jīng)典糾纏C

14、的表達(dá)式這里為了表述簡(jiǎn)單，我們將含有的根式重寫為：。對(duì)于我們的擴(kuò)展的Dicke模型，在圖3.5中我們給出了量子關(guān)聯(lián)QD和經(jīng)典糾纏C,以及QD的一介導(dǎo)和C的一介導(dǎo)關(guān)于原子相互作用和耦合強(qiáng)度的三維變化圖象： 圖3.5：量子關(guān)聯(lián)QD和經(jīng)典糾纏C,以及QD的一介導(dǎo)和C的一介導(dǎo)關(guān)于原子相互作用和耦合強(qiáng)度的三維變化圖象?；蛘甙凑?，時(shí)，為正常相的猜想，可以得到下面圖3.51圖3.51N個(gè)自旋的體系中，對(duì)自旋以外的其他自旋自由度求跡，可以得到第和自旋的約化密度矩陣。定義自旋-翻轉(zhuǎn)密度矩陣，那么自旋的concurrence定義為 （3-27）是的本征值，并且。如果，則自旋是糾纏的。對(duì)于N個(gè)自旋對(duì)稱態(tài)的系統(tǒng)，和與自旋的選擇無(wú)關(guān)，以下忽略角標(biāo)。將集體算符帶入上面糾纏