福建省福州市2019屆高三質(zhì)檢數(shù)學(xué)(文)試題

1、2019年福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（文科）試卷解析第I卷選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 項(xiàng)是符合題目要求的.1 .已知集合 A=x x±1，B=xx2 x2 <0)，則 AlJ B= 0 .A.xx±lB.x1Wx<2 C. x-1<xEl D. x x >-12 .設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足(3+i) z =3 i ,則 | z |=().A.1B. 1C. 2D. 223 .為弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，某中學(xué)學(xué)生會(huì)對(duì)本校高一年級(jí)1000名學(xué)生課余時(shí)間參加傳統(tǒng)文化活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取 50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)

2、據(jù)分組整理后，列表如下:參加場(chǎng)數(shù)01234567參加人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比8%10%20%26%18%12%4%2%估計(jì)該校高一學(xué)生參加傳統(tǒng)文化活動(dòng)情況正確的是（）.A.參加活動(dòng)次數(shù)是3場(chǎng)的學(xué)生約為360人B.參加活動(dòng)次數(shù)是2場(chǎng)或4場(chǎng)的學(xué)生約為480人C.參加活動(dòng)次數(shù)不高于 2場(chǎng)的學(xué)生約為280人D.參加活動(dòng)次數(shù)不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為360人4.2 x已知雙曲線C: a2yr=1（a A0,b>0）,直線y=b與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為 b5.O為坐標(biāo)原點(diǎn).若A. -2已知數(shù)列an中,1A.-2OMN為直角三角形，則 C的離心率為（）.B.3C. 2D. 5a3=2 ,a7=1 .若數(shù)列

3、2為等差數(shù)列，則 ana9= ().5B.44C.5D.,二 1 一已知 sin(6 ) =一 ,且 631J0，2），貝U cos(-)=36.62第1頁共23頁A. 0C.1D. -J7.已知函數(shù)f （x尸xsinx, f'（x）為f （x）的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù) f'（x）的部分圖象大致為（）.八ABD8.在邊長為3的等邊MBC中，點(diǎn)M滿足BM2 3C.B.6的長為2 .在圓。內(nèi)，將線段MN繞N點(diǎn)2的圓O的一條弦,且MN9.如圖，線段MNc 15D.2則 CM CA=(是半徑為= 2MA ,10.11.aT2按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn)M移動(dòng)到圓O上的新位置，繼續(xù)將線段 NM繞M點(diǎn)按

4、逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn)N移動(dòng)到圓O上的新位置，依此繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) 點(diǎn)M的軌跡所圍成的區(qū)域是圖中陰影部分.若在圓。內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分內(nèi)的概率為（）.A. 4 二-6,3d 3.33.33<3B. 1 -C.二D.已知函數(shù)f x =1 x(一)x+4.xW0.r ,2 ，當(dāng) xw Im,m + 1時(shí)，不等式 f (2mx)< f (x+m)恒x3 -x +5,x >0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A. -二，-4B. -二，-2).C. -2,2D. I. ,0已知Fi,F2為橢圓2七十 y2 =1的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，K點(diǎn)是AF1PF24內(nèi)切圓的圓心，

5、過F1作F1M _LPK于M , O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則 OM 的取值范圍為（）.A .0,1B. 0, , 2C. 03D. 0,2.312.如圖，棱長為1正方體ABCD -A1B1C1D1的木塊，平面a過點(diǎn)D且平行于平面ACD1 ,則木塊在平面口內(nèi)的正投影面積是（）B.3TC2 D. 1第25頁共23頁本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題 4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置.x 2y _ 013 .若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x-yE0,則z =3x-y的最小值等于 .x -2y

6、 2 .03214 .已知長萬體 ABCD ABiCiDi的外接球體積為 一 n ,且AA1玨 =2 ,則直線 AC與平面BB1GC3所成的角為.15 .將函數(shù)f(x) =asinx+bcosx (a,bw R, a #0 )的圖象向左平移 個(gè)單位長度，得到一個(gè)偶函數(shù)圖 6象，則b=.a16 .已知數(shù)列aj的前n項(xiàng)和為Sn, ai =1 ,且Sn =心口 -1 (九為常數(shù)).若數(shù)列bn滿足2anbn = -n +9n -20 ,且b0書4 ,則滿足條件的n的取值集合為 .三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .(本小題滿分12分)在 RtMBC 中，/C=90°

7、,點(diǎn) D,E 分別在邊 AB, BC 上，CD =5,CE =3,且 AECD 的面積為 3/6.(1)求邊DE長；(2)若 AD =3 ,求 sin A 的值.18 .(本小題滿分12分)峰谷電是目前在城市居民當(dāng)中開展的一種電價(jià)類別.它是將一天24小時(shí)劃分成兩個(gè)時(shí)間段，把 8:00-22: 00共14小時(shí)稱為峰段，執(zhí)行峰電價(jià)，即電價(jià)上調(diào)；22: 00一次日8: 00共10個(gè)小時(shí)稱為谷段，執(zhí)行谷電價(jià)，即電價(jià)下調(diào).為了進(jìn)一步了解民眾對(duì)峰谷電價(jià)的使用情況，從某市一小區(qū)隨機(jī)抽取了 50戶住戶進(jìn)行夏季用電情況調(diào)查，各戶月平均用電量以100,300) , 300,500) , 500,700),700,

8、900), 9001100) , 11001300 (單位：度)分組的頻率分布直方圖如下：若將小區(qū)月平均用電量不低于700度的住戶稱為 大用戶”，月平均用電量低于700度的住戶稱為般用戶其中，使用峰谷電價(jià)的戶數(shù)如下表：月平均用電量(度)|100(300)300,500)500,700)700,900)9004100)11100,13 叫使用峰谷電價(jià)的戶數(shù)3913721(1)估計(jì)所抽取的 50戶的月均用電量的眾數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2) ( i )將般用戶”和 大用戶”的戶數(shù)填入下面2黑2的列聯(lián)表：一般用戶大用戶使用峰谷電價(jià)的用戶不使用峰谷電價(jià)的用戶(ii)根據(jù)

9、(i)中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為 用電量的高低”與 使用峰谷電價(jià)”有關(guān)?2附：心n(ad bc),a b (c d)(a c)(b d)2P(K2 之k )0.0250.0100.001k5.0246.63510.82819.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐 E ABCD ,平面 ABCD _L平面ABE ,四邊形 ABCD為矩形， AD=6 , AB =5 ,BE=3, F為CE上的點(diǎn)，且 BF_L平面ACE. (1)求證：AE_LBE;(2)設(shè)M在線段DE上，且滿足EM =2MD，試在線段AB上確定一點(diǎn)N ,使得MN/平面BCE ,并求MN的長.20.(本小題滿分12分)已知拋物

10、線C1： x2= 2py (p>0)和圓 C2： (x+1)2+y2=2 ,傾斜角為45的直線li過Ci的焦點(diǎn)且與C2相切.(1)求p的值;12交y軸于點(diǎn)B ,設(shè)(2 )點(diǎn)M在C1的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn) A在C1上，C1在A點(diǎn)處的切線T TMN = MA十MB,求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) = aln x - x(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;a 1 .(2)當(dāng)e <a <2正時(shí)，關(guān)于 x的萬程f(ax) = 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解刈，溝，求證:axx1 x2 ： 4x1x2.(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選

11、一題作答.如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分22.選彳4 -4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為xt2(t為參數(shù),aw R ).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為 4 4 4cos e ,射線e = 1( p至0)與曲線c交于O,P兩點(diǎn)，直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn).(1)求直線l的普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)AB =OP時(shí)，求a的值.23.選彳4 -5 :不等式選講(10分)已知不等式2x+1 +2x1 <4的解集為M .(1)求集合M ;(2)設(shè)實(shí)數(shù) aWM ,b貴 M ,證明：|ab +1 <

12、|a +|b .2019年福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(文科)試卷參考答案第I卷二、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的.1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.A 8.D 9.B 10.B 11.C 12.A13 .已知集合 A=x x>l,B=xx2 - x- 2<0),則 AlJ B=().A.xx 之 1B.xl£x<2 C. x_1<XElD.xXAl【簡(jiǎn)解】B =x|(x2 Xx+1 )<0 = x1 <x<2,所以 AljB=x|x A1,故選 D.14

13、.設(shè)復(fù)數(shù) z滿足(3+i) z =3 i ,則 |z|=().A.1B. 1C. 2D. 22【簡(jiǎn)解一】因?yàn)閦=3z!=(3-1 X3i ) = 86，所以z =1,故選B.3+i3+i 3-i 10【簡(jiǎn)解二】因?yàn)?3+i)z=3i,所以 |(3+i)z = (3+i)|z 二 3i| ,所以 z=1,故選 B.15.為弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，某中學(xué)學(xué)生會(huì)對(duì)本校高一年級(jí) 1000名學(xué)生課余時(shí)間參加傳統(tǒng)文化活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取 50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：參加場(chǎng)數(shù)01234567參加人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比8%10%20%26%18%12%4%2%估計(jì)該校高一學(xué)生參加傳統(tǒng)文化活動(dòng)

14、情況正確的是().A.參加活動(dòng)次數(shù)是3場(chǎng)的學(xué)生約為360人B.參加活動(dòng)次數(shù)是2場(chǎng)或4場(chǎng)的學(xué)生約為480人C.參加活動(dòng)次數(shù)不高于 2場(chǎng)的學(xué)生約為280人D.參加活動(dòng)次數(shù)不低于 4場(chǎng)的學(xué)生約為360人【簡(jiǎn)解】估計(jì)該校高一學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)不低于4場(chǎng)的學(xué)生約為：1000(0.18 +0.12+0.04+0,02)=360 人，故選 D.22x y16 .已知雙曲線C:=，2=1(a A0,b >0),直線y=b與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N,a b。為坐標(biāo)原點(diǎn).若AOMN為直角三角形，則 C的離心率為()C. 2【簡(jiǎn)解】依題意得：因?yàn)锳OMN為直角三角形，所以雙曲線 C的漸近線為y=

15、7;x,即C是等軸雙曲線，所以C的離心率e = J2,故選a .a9= ().1、17 .已知數(shù)列an中，a3=2 , a7=1 ,右數(shù)列.為等差數(shù)列，則 an1A. 25B.一44C.一5D.【簡(jiǎn)解】依題意得:_1a3=2,a7=1 ,因?yàn)閿?shù)列一為等差數(shù)歹U,an所以d aa3 7-31-1 27 -311115,所以一=+(9-7 /_ = 一8a9a78 4所以一， .二 118.已知 sin(日一)=一62，且日 w (0,),貝U cos(8-)=23A. 01B.一2C.1D.,I _ TT【簡(jiǎn)解一】由sin -一1o, - I,2日=；，代入 cos：!cos= cos0 =1

16、,故選 C.【簡(jiǎn)解二】由sin ,二-=1 , 62cosi :- 62所以 cos 二-cos F,3 k兀I _ 兀I 兀I _ 兀I 兀-=cos8 cos-+sin 8- sin-=1,故選 C.66.66667t19.已知函數(shù)f (x )=xsinx, f'(x)為f (x )的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù) f'(x)的部分圖象大致為().【簡(jiǎn)解】依題意得：(x) =sinx +xcosx為奇函數(shù)，排除C,D ,設(shè)g( x)= f ( x)則 g ( x)= 2 c oxs x s,ixng (0) =2 >0 ,排除 B ,故選 A .20.在邊長為3的等邊 MBC中，點(diǎn)M

17、滿足BM =2MA ,則CM CA =C. 6【簡(jiǎn)解一】依題意得:CM Ca =(1CB+2CA) CACB CA3332M U-CA CA = 3,故選D.【簡(jiǎn)解二】依題意得：以C為原點(diǎn)，CA所在的直線為x軸建立平面直角直角坐標(biāo)系，則、"、,53、C(0,0) , A 3,0) , M(.2 2所以 CM CA =( ,)U3,0)= 2 215故選2D.【簡(jiǎn)解三】依題意得：過 M點(diǎn)作MD_L AC于D ,如圖所示，則CM CA = CD CA,15，= (31Mcos60J)M3=£,故選 D.B21.如圖，線段 MN是半徑為2的圓。的一條弦，且 MN的長為2.在圓。內(nèi)

18、，將線段MN繞N點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn) M移動(dòng)到圓O上的新位置，繼續(xù)將線段NM繞M點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn)N移動(dòng)到圓O上的新位置，依此繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng) 點(diǎn)M的軌跡所圍成的區(qū)域是圖中陰影部分.若在圓。內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分內(nèi)的概率為()/ 3.3A. 4 二 6. 3 B. 1 -2 二3.333C.二-D.【簡(jiǎn)解一】依題意得：陰影部分的面積c1 /2、1S = 6 -(二 22) - 2 262-3=4 二-6 .324 二-6 . 3二 22=1 _述，故選b.【簡(jiǎn)解二】依題意得：陰影部分的面積21S=e2 -6-2223=4二-6 34 二-6 .3二 22二13 38 ,故選B .2

19、 二,當(dāng)xw m,m+1時(shí)，不等式 f（2mx產(chǎn)f（x+m）恒22.已知函數(shù)f”修+“0, -x3 -x +5,x >0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）.B. -二，-2C. -2,2D. -二,0【簡(jiǎn)解】依題意得：函數(shù)(-)x +4,x <0 » f (x)=< 2在xw R上單調(diào)遞減,-x3 -x + 5,x>0因?yàn)?f(2m x)< f (x +m所以 2m x >x +m ,即 2x < m ,在 xw m, m + 1上恒成立，所以2（m+1） <m,即 m <2,故選 B.223.已知R,F2為橢圓2+ y2=1的4圓上

20、異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，K點(diǎn)是心，過Fi作RM _L PK于M , O 的取值范圍為（）.A .0,1B. 0, .2左、右焦點(diǎn)，P是橢 F1PF2內(nèi)切圓的圓是坐標(biāo)原點(diǎn)，則OMC. 0,、3D. 0,2.3【簡(jiǎn)解】如圖，延長PF2 ,FiM相交于N點(diǎn)，連接OM，因?yàn)镵點(diǎn)是AFiPFz內(nèi)切圓的圓心，所以PK 平分 NF1PF2, F1M _ PK ,|pn|=|pfJ, m 為n 中點(diǎn)， O為F1F2中點(diǎn)，M為FN中點(diǎn),. |OM | =2BN| =1|PN|-| PF2II =2 PF1I -| PF2II 習(xí) FE = cOM I的取值范圍為（0, J3 ）,故選C.24.如圖，棱長為1正方體A

21、BCD AB1GD1的木塊，平面a過且平行于平面ACD1 ,則木塊在平面a內(nèi)的正投影面積是A. 3B. 3-C2D. 12【簡(jiǎn)解】：棱長為1正方體ABCD ARGD的木塊的三個(gè)面在平面 a內(nèi)的正投影是三個(gè)全等的菱形（如圖），可以看成兩個(gè)邊長為J2的等邊三角形，所以木塊在平面a內(nèi)的正投影面積是本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.三、填空題：本大題4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置.13. - 3 16. 15,6：x 2y _ 013.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<x-yE0,則z=3x-y

22、的最小值等于 x-2y +2>0【簡(jiǎn)解】依題意，可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分的三區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為：y =3x-z ,則z的最小值即為線在y軸上的截距的最大值.通過平移可知在A點(diǎn)處x 2y = 0線在y軸上的截距最大.因?yàn)锳：4解得x -2y 2=0I' 1c,一，A. -1,-, 所以 z = 3xy 的最小值I 2)zmin1=3 -1-23222.已知長萬體 ABCD - AB1C1D1的外接球體積為一江，且AA1鏗 =2 ,則直線AC與平面3BB1C1C所成的角為【簡(jiǎn)解】設(shè)長方體 ABCD -ABGD的外接球半徑為 R,因?yàn)殚L方體 ABCD -ARGD的外接球體積、，433

23、2為一nR = 一冗，所以R = 2,33即 AC =JAA2 +BC2 +AB2 =2R=4 ,因?yàn)?AA =BC =2 ,所以 AB =2& .因?yàn)锳B _L平面BB1C1C ,所以AC與平面BB1C1C所成的角為/ACBi ,TT在 RtACBi 中，因?yàn)?AAi =BC =2 ,所以 B1C =272 = AB ,所以 ZACBi=-.423 .將函數(shù)f(x) =asinx+bcosx (a,bw R, a #0 )的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到一個(gè)偶函數(shù)圖 6象，則b=.a【簡(jiǎn)解】因?yàn)閒 (x) =asin x+bcosx (a,bw R, a #0 )的圖象向左平移 ；單位

24、長度，得到偶函數(shù)圖象， _，, TT所以函數(shù)f (x) =asin x+bcosx的對(duì)稱軸為 x= 6，所以 f () =asin- +bcos =f (0)= b ,因?yàn)?a，。，所以 b =布. 333a24 .已知數(shù)列a 的前n項(xiàng)和為Sn , ai =1 ,且Sn-1 (九為常數(shù)).若數(shù)列 0滿足.2%bn = -n +9n20,且切書<4 ,則滿足條件的n的取值集合為 .【簡(jiǎn)解】因?yàn)閍1 =1,且Sn =九an -1 (九為常數(shù))，所以a1=九一1 =1 ,解得A=2 ,所以 SnuZan1,所以 Sn-1 =2斗一1 1(n 22),所以an =2小口所以an =2n,2因?yàn)?

25、anbn=-n +9n -20,2 一 一所以bn =-n 9n-202所以 bn+1 -bn2n -11n+282"(n -4)(n -7)2"*斛得4 < n < 7 ,又因?yàn)閚匚N ,所以n=5或n=6 .所以，當(dāng)n=5或n=6時(shí)，bn由<bn ,即滿足條件的n的取值集合為 包6.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.25 .(本小題滿分12分)在 RUABC 中，NC=90o ,點(diǎn) D,E 分別在邊 AB, BC 上，CD =5,CE =3,且 AECD 的面積為 3/6 .(1)求邊DE長；(2)若 AD =3 ,求 sin A 的

26、值.(1)【解析】如圖，在4ECD中,Secd -CE CDsinZDCE =- 5 3 sin/DCE =3 6 , 22所以 sin/DCE =26 , 2 分5因?yàn)?0=</DCE <90°,2.6、2 1所以 cos/DCE =, -(-)2=-,由余弦定理得2_ 2_2_1DE =CE +CD 2 CE CD cos/DCE =25+92 父5父3父一 =28 ,DE=2".7 分oO1(2)因?yàn)?/ACB=90°,所以 sinZACD =sin(90° /DCE) = cos/DCE = ,9 分5在 MDC ,由正弦定理得 一A

27、D一 =-CD , sin ._ACD sin A即 3=5-,-sin A'51 所以 sin A =- .12 分326.(本小題滿分12分)峰谷電是目前在城市居民當(dāng)中開展的一種電價(jià)類別.它是將一天24小時(shí)劃分成兩個(gè)時(shí)間段，把 8:00-22: 00共14小時(shí)稱為峰段，執(zhí)行峰電價(jià)，即電價(jià)上調(diào)；22: 00一次日8: 00共10個(gè)小時(shí)稱為谷段，執(zhí)行谷電價(jià)，即電價(jià)下調(diào).為了進(jìn)一步了解民眾對(duì)峰谷電價(jià)的使用情況，從某市一小區(qū)隨機(jī)抽取了 50戶住戶進(jìn)行夏季用電情況調(diào)查，各戶月平均用電量以 100,300) , 300,500) , 500,700),700,900) , 9001100) ,

28、 11001300(單位：度)分組的頻率分布直方圖如下：若將小區(qū)月平均用電量不低于700度的住戶稱為 大用戶”，月平均用電量低于700度的住戶稱為般用戶其中，使用峰谷電價(jià)的戶數(shù)如下表：月平均用電量(度)|lfl0r300)|300r500)(5007(10)700,900)眄 ooji no)11100430(1使用峰谷電價(jià)的戶數(shù)3913721(1)估計(jì)所抽取的 50戶的月均用電量的眾數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2) ( i )將般用戶”和 大用戶”的戶數(shù)填入下面2 M 2的列聯(lián)表：一般用戶大用戶使用峰谷電價(jià)的用戶不使用峰谷電價(jià)的用戶(ii )根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，

29、能否有 99%的把握認(rèn)為用電量的高低”與 使用峰谷電價(jià)”有關(guān)?2附：K2、n(ad -"),a b (c d)(a c)(b d)P(K2 >k )0.0250.0100.001k5.0246.63510.828【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的得到100度到300度的頻率為:1 -0.001 X200 -0.0015 X200 -0.0012 X200 -0.0006x200 _0.0002父200=0.1,估計(jì)所抽取的50戶的月均用電量的眾數(shù)為：500+700=600 (度)；2估計(jì)所抽取的 50 戶的月均用電量的平均X =(200 0.0005 400 0.001 600

30、 0.0015 800 0.0012 1000 0.0006 1200 0.0002) 200=640(2)依題意，2 M2列聯(lián)表如下K2的觀測(cè)值k =250 (25 10-5 10)2400= 6.349 二 6.63535 15 30 206311分所以不能有99%的把握認(rèn)為 用電量的高低”與使用峰谷電價(jià)有關(guān).12分27.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐 E ABCD ,平面 ABCD _L平面ABE ,四邊形ABCD 為矩形， AD=6 , AB =5 ,BE =3 , F為CE上的點(diǎn)，且 BF_L平面ACE.(1)求證：AE_LBE;(2)設(shè)M在線段DE上，且滿足EM =2MD，試在線

31、段AB上N ,使得MN/平面BCE ,并求MN的長.(1)【解析】證明：.,四邊形ABCD為矩形，BC .L AB .確定一點(diǎn),平面ABCD _L與平面ABE,平 面ABCD 口與平面ABE= AB,且BC平面ABCD ,又AE匚平面ABE ,二 BC -L AE .一般用戶大用戶使用峰谷電價(jià)的用戶2510不使用峰谷電價(jià)的用戶510'：BF _L平面 ACE, AEu平面 ACE,BF _L AE .3 分又,BCnBF=B, BCu平面 BCE, BFu平面 BCE,AE _L 平面 BCE , 4 分BEu 平面 BCE ,AE _L BE .5 分（2）解法一：在 MDE中過M點(diǎn)

32、作MG / /AD交AE于G點(diǎn)，在AABE中過G點(diǎn)作GN /BE交AB于N點(diǎn)，連MN （如圖），6分E EG = 2GA , BN =2NA ."）匚：NG/BE,NG 0平面 BCE , BEu 面 BCE, 好 /N NG/平面 BCE . /7 分同理可證，GM/平面BCE.1八Lz '.'MG PlGN =G ,收支7 RF 二平面MGN /平面BCE , '8分又,；MN仁平面MGN ,M MN /平面 BCE ,9 分二N點(diǎn)為線段AB上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn). 10分；AD=6, AB=5 , BE =3 ,一 2 _ ._ 1 _ .八M MG

33、=- AD =4 ,NG =- BE =1, 11 分33二 MN =JMG21NG2 =“2+12 =后.12 分(2)解法二：過M點(diǎn)作MG/CD交CE于G點(diǎn)，連接BG ,在AB取N點(diǎn)，使得BN = MG ,6分連MN （如圖），7 AB/CD , EM =2MD ,MG /CD,MG =2CD , 37AB/CD , BN =MG ,二 MG/BN , MG =BN ,二四邊形MGBN是平行四邊形,j. MN/BG,8 分又,；MN值平面BCE , BGu平面BCE,二 MN /平面 BCE ,9 分二N點(diǎn)為線段AB上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，10分在 4CBG 中，B BC =AD=6 ,

34、CG = -CE =-62 +32 =j5,cosZBCG =5 , 11 分335，:BG2 =36+5 2父6父舟紀(jì)5 =17, 5二 MN =BG =歷12分28.(本小題滿分12分)已知拋物線C1 ： x2 =2py (p >0)和圓C2： (x+1)2+y2=2 ，傾斜角為45的直線l1過C1的焦點(diǎn)且與C2相切.(1)求p的值；(2)點(diǎn)M在C1的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn) A在C1上，C1在A點(diǎn)處的切線12交y軸于點(diǎn)B ,設(shè)T TMN = MA+ MB,求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程.(1)【解析】：依題意設(shè)直線l1的方程為y = x+上，1分2由已知得：圓C2 ： (x+1 )2

35、+y2 =2的圓心C2(1,0),半徑r = J2 2分因?yàn)橹本€11與圓C2相切，p| -1 |_所以圓心到直線|1 ： y =x +一的距離d =2=。2 .3分1212 (-1)2| -1 - - |,即 j=2-,解得 p =6或p = -2 (舍去).: 4分2所以p =6 . 5分2 解法一：依題意設(shè)M (m,-3)，由(1)知拋物線C1方程為x2 =12y ,所以y=,所以yf= ,126設(shè)A(X,y1),則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為k=土， 6分6所以切線I2的方程為y =-x1(x -x1) +y1 .6令 x =0, y =_1x；+y = _1 x12yi+y產(chǎn) _y1，

36、即 I2 交 y 軸于 B 點(diǎn)坐標(biāo)為(0, _% ),8 分66所以 MA =(X m,yi +3),9 分笳=(幻，-yi+3),10 分11分.MN 品+盤(x2m,6),J f tON =OM - MN =(x1 -m,3).設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則y = 3,所以點(diǎn)N在定直線y=3上. 12分(2)解法二：設(shè) M (m,-3),由(1)知拋物線C1方程為x2=12y ,設(shè)A(x,y1),以A為切點(diǎn)的切線12的方程為y =k(xx)+y,聯(lián)立得：x2 =12k(x -x1) + x2,12因?yàn)?上144 k2 -48kx1 +4x； =0 ,所以 k= -1 ,61所以切線 l2的方程

37、為 y =-x1(x-x1) +y1 .7 分6令x =0,得切線l2交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)為(0, _y) ,8分所以 MA =(x1 一m, y1 +3),9 分IMB =( f, y1 +3) ,10 分MN =MA+MB= (x1 -2m,6) 11 分ON =OM +MN =(為-m,3)，設(shè)n點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則y=3,所以點(diǎn) N在定直線 y =3上. 12分29.(本小題滿分12分)a 1 ,已知函數(shù) f(x)=a1nxx-(a 匚 R).x(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；a 1ax(2)當(dāng)e <a <2Je時(shí)，關(guān)于x的萬程f(ax) = -有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1,x2

38、,求證:xi x2 二 4x1 x2.(1)【解析】：f(x)的定義域?yàn)?0,也c),f(x)=a_i_U x x2,x ax 1 a2x.(x 1)x - (1 a)2x當(dāng) a+1 >0時(shí)，即 a>1 時(shí)，在(0,1+a)上 f'(x)>0,在(1 十a(chǎn),y)上 f'(x)c0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1 + a)上，單調(diào)遞減區(qū)間是(1+a,+8)； 3分當(dāng) 1+a W0,即 aw_1 時(shí)，在(0,2)上 f'(x) <0,所以，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,十無)，無遞增區(qū)間. 4分a 1,、(2)證明：設(shè) g(x) = f(ax

39、)+=a(ln a+ln x -x) ,5 分ax所以 g '(x) = a1-x)(x > 0) ,6 分x當(dāng)0 cx <1時(shí)，g'(x) >0 ,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1 )上單調(diào)遞增;當(dāng)x >1時(shí)，g'(x) <0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,2 止單調(diào)遞減;所以g(x)在x=1處取得最大值.a 1 一當(dāng)e<a<2、/e時(shí)，萬程f(ax)=-有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 人?2ax所以函數(shù)g(x)的兩個(gè)不同的零點(diǎn) x1, x2，一個(gè)零點(diǎn)比1小，一個(gè)零點(diǎn)比1大. 8分不妨設(shè) 0 < x1 < 1 < x2 ,由 g(x

40、1)二0 , 且 g(x2) =0，得 x1 = ln(ax1),且 x2= ln( ax2) , 9分1 v1 v 一1、則 x1 = -e1, x2=-e 2,所以 x1x2 = -2e" " ,10 分a aaXi+X2tXiX2 _ 1 exe所以=-2, 令 Xi +x2 =t,h(t)=,x1 +x2 a x1 +x2th (t)=et t -ett2et(t-1)t2；t =Xi+X2,0<Xi <1 <X2 ,t 1,11分所以 h'(t) >0,所以函數(shù)h(t)在區(qū)間(1,+g)上單調(diào)遞增,h(t)>h(1) = e,

41、(X1+X2)所以x1x21 e e e 1-=2 ：二x1 +x2 a x1 +x2a 4e 4又因?yàn)?x1+x2 >1 ,所以 x1 +x2 <4x1x2 .12 分(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分22 .選彳4 -4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為aw R ).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),冗x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 4 4 4cos日，射線日=：(P20)與曲線C交于O,P兩點(diǎn)，直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn).(1)求直線l的普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程;(2)當(dāng)AB =OP時(shí)，求a的值.【解析】(1)將直線l的參