高中數(shù)學(xué)圓錐曲線方程知識點總結(jié)

1、§8.圓錐曲線方程知識要點一、橢圓方程2a,且2a>F1f2)的點的1 .橢圓方程的第一定義：平面內(nèi)與兩個定點Fi, F2的距離的和等于定長 (定長通常等于軌跡叫橢圓。(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:i.中心在原點，焦點在x軸上:=1(a -b -0).22ii.中心在原點，焦點在 y軸上： 4+斗=1俗日日).a2 b2注：A.以上方程中a,b的大小a>b>0,其中b2=a2-c2;2222xy. yx22B.在 =+22=1和22 + 丁=1兩個方程中都有 a Ab A0的條件，要分清焦點的位置，只要看x和y的ab ab分母的大小。一般方程：Ax2 By2=1(A -0,

2、B -。).22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：:十4=1的參數(shù)方程 為Wa bx=acos?(-象限6應(yīng)是屬于0Y8Y，. y =bsin 62橢圓的性質(zhì)頂點：(抬,0)(0，止)或(0,+a)(*,0).軸：對稱軸：x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2b.焦點：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0, c).焦距：F1F2 =2c,c - - a2 -b2 .22準(zhǔn)線：x=±a或y=±a. ccc離心率：e=_(0 VeY1). . a>c>050<e<1,且e越接近1, c就越接近a ,從而b就越小，對a應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0,從而b

3、越接近于a,這時橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)222_a=b時，c = 0,兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，萬程為x +y =a?！拷?點)半徑：22、_ x , y _ 1 .設(shè) P(x0,y°)為橢圓 =+、=1(a Ab0)上的一點，F(xiàn)1,F2 為左、右焦點，則 PF1 = a + ex。，PF 2 = a exQ a b22ii.設(shè) P(x0,y°)為橢圓 xy+4=1(a Ab0)上的一點，F(xiàn)1,F2 為上、下焦點，則 PF1 =a+ey0,PF2 =a ey盧 b a22由橢圓第一7E義可知：pF 1 =e(x°/-)=a+ex0(x0-：；0), pF 2 =e(

4、曳。0) =0x07x00)歸結(jié)起來為 左加右減. cc.2.2/ b、十 b(G)和(c,)注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N(a cosH, bsin 0) t方程的軌跡為橢圓.通徑：垂直于 x軸且過焦點的弦叫做通徑 .坐標(biāo)：d= 與a22焦點三角形的面積：若P是橢圓： 4+4=1上的點.F1,F2為焦點，若 &嚴(yán)2=0 ,則APF1F2的面積a2 b2,21b cot- 2B. .為b2tan（用余弦定理與 PFi|$PF2 =2a可得）。若是雙曲線，則面積為22（3）共離心率的橢圓系的方程：橢圓:十與=1（a Ab >0）的離心率是e = - （c = Ja2q2）,方程 a

5、 ba22、+旦（t是大于0的參數(shù)，a >b M0）的離心率也是e=-我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.a2 b2a2.橢圓的第二定義： 平面內(nèi)到定點 F的距離和它到一條定直線L （ F不在L上）的距離的比為常數(shù) e （ 0<e<1 ）的點的軌跡叫做橢圓。其中定點F為橢圓的焦點，定直線L為橢圓焦點F相應(yīng)的準(zhǔn)線。二、雙曲線方程1.雙曲線的第一定義：平面內(nèi)到到兩個定點Fl, F2的差的絕對值等于定長（定長通常等于2a,且2a<FiF2）的點的軌跡叫做雙曲線。（|PF1 | _| pf2 H=2a）。2222雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：二4=i（a,b -0）,烏=i（a,b -0）.

6、a2 b2a2 b2一般方程：Ax2 Cy2 =1（AC 0）.i.焦點在x軸上:頂點：（a,0）,（-a,0）焦點：（c,0）, （-c,0）ii.焦點在y軸上：a2x準(zhǔn)線萬程x=± 漸近線方程： ca2頂點：（0,q）,（0,a）.焦點：（0,c）,（0,y）.準(zhǔn)線方程：y =±.漸近線方程:c數(shù)方程：b=asec8或;x=btane .y=btan 日y =asec9軸x, y為對稱軸，實軸長為 2a,虛軸長為2b,焦距2c.22行=0號* "參離心率e=c. a、，2a 2、一，一,準(zhǔn)線距±a_ （兩準(zhǔn)線的距離）；通徑c2b2參數(shù)關(guān)系c2 =a2

7、 b2 ,e =£ .a22焦（點）半徑公式：對于雙曲線方程xy=1a b（Fi，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則：（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）MF 1 =ex0 aMF2構(gòu)成滿足MF J |MF 2 =2aM F i - -ex° -a M F 2I =-ex0+aA等軸雙曲線：雙曲線 x2y2 = ±a2稱為等軸雙曲線，其閽yA.定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式；b.等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y = ±x ；及 y =±x ,離心率.x.F

8、 F2 a = b ；（2）漸近線互相垂直。yC.注意到等軸雙曲線的特征a = b ,則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2 y2 =兒（九# 0），當(dāng)兒a 0時交點在x軸，當(dāng)九<0時焦點在y軸上。共知雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共知雙曲22線xy".ab2b-0.2xa22=九(兒¥0)的漸近線方程為:一4 a2 b2互為共知雙曲線，它們具有共同的漸近線:2共漸近線的雙曲線系方程：2ax±y=0時，它的雙曲線方程可設(shè)為 a b2 _y_ 一 b22x2 -a2 = 1（;.=。）.b2=0如果雙曲線的漸近線為例如：若雙曲線一條

9、漸近線為一. 1且過p(3,-),求雙曲線的萬程?解：令雙曲線的方程為:21 x2手)'七)行至2.雙曲線的第二定義: 的點的軌跡叫做雙曲線。平面內(nèi)到定點F的距離和它到一條定直線其中定點 F為雙曲線的焦點，定直線 L2L=1.2L (F不在L為雙曲線焦點上)的距離的比為常數(shù)e (e>1)F相應(yīng)的準(zhǔn)線。三、拋物線方程(1)拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線 l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程y2 = 2 px(p >0加做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。F ( -p,0),它的準(zhǔn)線方程是通徑(過焦點且垂直于

10、坐標(biāo)軸的線段)為2p,這是過焦點的所有弦中最短的2-2y =2px （或x =2py）的參數(shù)萬程為八,2"Pt （或y =2 pt；魯2)為參數(shù)).注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是(2)拋物線的性質(zhì)設(shè)p >0 ,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):圖形焦點準(zhǔn)線方程范圍對稱軸x軸y軸頂點（0, 0）離心率焦半徑通徑2p2p2p2p焦點弦x- + x2+pxi+x2+pyi+y2+pyi+y2+p汪：四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義1.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點 F和定直線l的距離之比為常數(shù) e的點的軌跡.當(dāng)0YeYi時，軌跡為橢圓；當(dāng) e=1時，軌跡為拋物線；當(dāng)

11、e»1時，軌跡為雙曲線；當(dāng)e=0時，軌跡為圓（e =c ,當(dāng) c =0,a =b時）.【弦長公式 AB = Ji + k2 x1 X2 =（1 + 昌八）2 -42】 a2.橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1 .到兩定點Fl,F2的距離之 和為定值2a（2a>|F后|）的 點的軌跡2 .與定點和直線的距離之 比為定值e的點的軌跡.（0<e<1）1 .到兩定點Fi,F2的距離之差 的絕對值為定值2a（0<2a<|F同）的點的軌跡2 .與定點和直線的距離之比為 定值e的點的軌跡.（e>1）與定點和直線的距離相等的 點的軌跡.

12、軌跡條件點集：(M | | MF+ I MF I =2a, | F 1F2 | v 2a.點集：M | | MF I - I ME I . =± 2a, | F2F2 | > 2a.點集M | MF| 二點M到直線l的距離.圖形方 程標(biāo)準(zhǔn) 方程22x , y,小十 2- = 1 ( a > b >0) a b22xy-, 小2- 一 =1 (a>0,b>0) ab參數(shù) 方程2,x=2pt (t為參數(shù)) j = 2pt范圍a*X*ia, - b ,，力|x| ? a , 丫我x?0中心原點O (0, 0)原點O (0, 0)頂點(a,0), (a,0),(

13、0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸； 實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦點F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)準(zhǔn)線2,a x= ± c準(zhǔn)線垂直于長軸，且在橢圓外.2,a x= ± c準(zhǔn)線垂直于實軸，且在兩頂點的 內(nèi)側(cè).x= p x2準(zhǔn)線與焦點位于頂點兩側(cè)，且到頂點的距離相等.焦距2c (c=Ja2 -b2 )I 2,22c (c= V a + b )離心率e=1【備注1】雙曲線:y =±x ,離心率 e=J2 .(2)共漸近線的雙曲線系方程:2 y b2=九(九#0)的漸近線方程為2 y_ b2=0如果雙曲線的漸近線為(1)等軸雙曲線：雙曲線 x2y2 =七2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為22X±y=0時，它的雙曲線方程可設(shè)為與=m九#0).a ba2 b2【備注2】拋物線:(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),則拋物線的焦點到其