一 一點的應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力張量

1、一 一點的應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力張量二 主應(yīng)力與應(yīng)力不變量對于一般空間問題，一點的應(yīng)力狀態(tài)可以由九個應(yīng)力分量表示，如P點處應(yīng)力狀態(tài)在直角坐標(biāo)系可表示為 如圖1-1所示。在固定受力情況下，應(yīng)力分量大小與坐標(biāo)軸方向有關(guān)，但由彈性力學(xué)可知，新舊坐標(biāo)的應(yīng)力分量具有一定變換關(guān)系。通常，我們稱這種具有特定變換關(guān)系的一些量為張量。式（1-1）就是應(yīng)力張量，它是二階張量。因為它具有=，=，=。 已知物體內(nèi)某點P的九個應(yīng)力分量，則可求過該點的任意傾斜面上的應(yīng)力。在P點處取出一無限小四面體oabc (圖1-2)它的三個面分別與x,y,z三個軸相垂直。另一方面即任意斜面，它的法線N，其方向余弦為l,m,n。分別以、代表ab

2、c 、obc 、oac、 oab三角形面積。 （1.2） 在三個垂直于坐標(biāo)的平面上有應(yīng)力分量，在傾斜面abc上有合應(yīng)力,它可分解為正應(yīng)力及切向剪應(yīng)力，即沿坐標(biāo)軸方向分量為,，由平衡條件可得求出，在法線上的投影之和，即得正應(yīng)力 1-5而剪應(yīng)力則由式1-5得 =-在空間應(yīng)力狀態(tài)下一點的應(yīng)力張量有三個主方向，三個主應(yīng)力。在垂直主方向的面上，即為主應(yīng)力，等于合應(yīng)力，而主應(yīng)力在坐標(biāo)軸上的分量為 1-7將式1-7代入1-4整理后得 （1-8）此外，法線N的三個方向余弦應(yīng)滿足 （1-9）由上面四個方程可求得及方向余弦l,m,n。如果將l,m,n看作未知量，則由式1-9可見，l,m.n不能同時為零。因此線性方

3、程組式1-8非零解的充要條件為系數(shù)行列式等于零。展開行列式得到 1-11式中 1-12方程1-11有三個實根，即三個主應(yīng)力。按三個主應(yīng)力數(shù)值，分別由式1-8求出三個主方向。 當(dāng)坐標(biāo)方向改變時，應(yīng)力分量均將改變，但主應(yīng)力的數(shù)值是不變的，因此該式的關(guān)系也不變。由于系數(shù)與坐標(biāo)無關(guān)，故稱作應(yīng)力張量不變量，通常分別叫作應(yīng)力張量第一不變量，第二不變量，第三不變量。 設(shè)三個正應(yīng)力的平均值為平均應(yīng)力，用表示于是 由此，應(yīng)力張量可分解為兩個分量等式右端第一個張量稱為應(yīng)力球張量，第二個張量稱為應(yīng)力偏張量。式中定義為 令 ，則應(yīng)力偏量即為 三 應(yīng)力空間如果我們將、取為三個相互垂直的直角坐標(biāo)軸而構(gòu)成一空間直角坐標(biāo)系，

4、則該空間中任一點的三個坐標(biāo)值就相應(yīng)于物體某點應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力的數(shù)值，也就是說。該空間中的一點對應(yīng)于物體某點的應(yīng)力狀態(tài)。我們就把這個空間稱為應(yīng)力空間。如圖2-6 所示，P點的坐標(biāo)為（ ），這個應(yīng)力狀態(tài)可寫為三個矢量,的矢量和。四 應(yīng)力圓和Lode參數(shù)在傳統(tǒng)塑性理論中，認(rèn)為應(yīng)力張量不影響屈服，所以對應(yīng)力偏量特別感興趣，而洛德（Lode）參數(shù)或洛德角是應(yīng)力偏量的特征量。此外，采用洛德參數(shù)或洛德角研究塑性問題十分方便，因而在巖土塑性理論中應(yīng)用極為廣泛。 設(shè)橫坐標(biāo)為正應(yīng)力，縱坐標(biāo)為剪應(yīng)力，設(shè)已知應(yīng)力，令， 以,為直徑畫三個圓，如圖2-8（a）。其半徑為 ，、稱為主剪應(yīng)力，半徑最大者為最大剪應(yīng)力，如果

5、把圖2-8（a）中坐標(biāo)原點移到新的位置，使 這時 , , 由此所得移軸后應(yīng)力圓即是描述應(yīng)力偏量的應(yīng)力圓圖2-8（b）原點任意平移一個距離，就相當(dāng)于在原有應(yīng)力狀態(tài)下疊加一個靜水壓力。在傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，這個疊加并不影響屈服函數(shù)和塑性變形。因此，對塑性變形有決定性意義的是應(yīng)力圓本身。若以M表示的中點，則 若考慮到中間應(yīng)力對屈服函數(shù)的影響，可由與之比確定的相對位置，其比值用洛德參數(shù)表示。若主應(yīng)力次序為，則 3-1a或 3-1b式中。由變到，因此和的變化范圍為 ， 由式3-1可見，為主應(yīng)力值的函數(shù)，說明是應(yīng)力差的比例關(guān)系，而與應(yīng)力大小無關(guān)。不管坐標(biāo)縱軸原點位置移動多少，其不變，可見是描述應(yīng)力偏量的特征值

6、，它與應(yīng)力偏量不變量、有關(guān)，而與應(yīng)力球張量無關(guān)。由上可見，洛德參數(shù)或洛德角都不能表示一點的應(yīng)力狀態(tài)的特征值，因為它不表示應(yīng)力球張量。然而它卻能反映受力狀態(tài)的形式，即主應(yīng)力分量之間的比例關(guān)系。因而不同的洛德參數(shù)與洛德角可以反映材料的不同受力狀態(tài)。在彈性力學(xué)和傳統(tǒng)塑性力學(xué)中，符號一般都是規(guī)定以拉為正，但在巖土力學(xué)都一般規(guī)定以壓為正。五 應(yīng)力路徑1應(yīng)力路徑的基本概念 巖土的性質(zhì)與本構(gòu)關(guān)系，與應(yīng)力或應(yīng)變狀態(tài)的變化過程有關(guān)，因此需要描述一個單元在它加載過程中的應(yīng)力或應(yīng)變的變化過程。通常稱描述一單元應(yīng)力狀態(tài)變化的路線為應(yīng)力路徑，而稱描述應(yīng)變狀態(tài)變化的路線為應(yīng)變路徑，目前過程上應(yīng)用較多的是應(yīng)力路徑。 對巖土

7、來說，一點的應(yīng)力狀態(tài)完全可由總主應(yīng)力及其方向和孔隙壓力所確定。有效主應(yīng)力可用計算算出。 我們令三個總主應(yīng)力或有效主應(yīng)力為坐標(biāo)軸，而建立應(yīng)力空間或有效應(yīng)力空間。如圖2-12所示，圖上、及為三個有效主應(yīng)力，將一單元的瞬時有效應(yīng)力狀態(tài)所有的點聯(lián)結(jié)起來的線，并標(biāo)上箭頭指明發(fā)展的趨向，就可得到有效應(yīng)力路徑，簡稱ESP。同樣可在主應(yīng)力空間中給出總應(yīng)力路徑。簡稱TSP。通常，我們將總主應(yīng)力軸與有效應(yīng)力軸放在一起，在這張圖上不僅能表示有效應(yīng)力路徑和總主應(yīng)力路徑，而且還能表示空隙壓力的大小。 當(dāng)略去其中間主應(yīng)力和時，則可在二向應(yīng)力平面上繪制有效應(yīng)力路徑和總主應(yīng)力路徑。如圖2-13所示。圖中為有效應(yīng)力路徑，若在的

8、孔隙壓力位值，則點代表瞬時總應(yīng)力，因為有效應(yīng)力與總應(yīng)力之間的水平距離與垂直距離均為孔隙壓力的值。由目測可知，瞬時總應(yīng)力與有效應(yīng)力的點，必定沿坐標(biāo)軸傾斜成的線上，由線段隔開，如圖2-13所示。一點的應(yīng)變狀狀態(tài)，主應(yīng)變，應(yīng)變不變量在外力的作用下，物體內(nèi)各點的位置要發(fā)生變化，即發(fā)生位移。如果物體各點發(fā)生位移后仍保持各點間初始應(yīng)力狀態(tài)的相對位置，則物體實際上只產(chǎn)生了剛體移動和轉(zhuǎn)動，稱這種位移為剛體位移。如果物體各點發(fā)生位移后改變了各點間初始應(yīng)力狀態(tài)的相對位置，則物體就同時產(chǎn)生了形狀變化，統(tǒng)稱為該物體產(chǎn)生了變形。 在外力的作用下，物體內(nèi)部質(zhì)點產(chǎn)生相對位置的改變。設(shè)點的坐標(biāo)為（、）,其臨近點的坐標(biāo)為（、），變形后點移到,點移到。點的位移向量分量為、，點的位移分量為、。、是坐標(biāo)點、的函數(shù)，當(dāng)、很小時，可以利用泰勒公式展開，只需要保留一次項，得、與、關(guān)系如下后面的九個量構(gòu)成了位移梯度張量，一般是不對稱的二階張量 將矩陣可以分解為兩部分前一項是一個對稱張量，就是在小變形條件下的應(yīng)變張量，應(yīng)變量的矩陣形式是左式是工程力學(xué)的習(xí)慣寫法，右式適用于使用張量下標(biāo)記號。用張量下標(biāo)記號，以表示應(yīng)變張量，令，則由此 應(yīng)變張量的不變量是這里是三個主應(yīng)變。平均正應(yīng)變表示為應(yīng)變率張量應(yīng)變率 設(shè)介質(zhì)處于運動狀態(tài)，質(zhì)點的速度可用三個分量表示，它們