空間幾何(上篇)

1、 空解精要（簡單部分） 序空間解析幾何，是數(shù)學專業(yè)基礎課中最容易的一個板塊。無需像高代一樣必須參透一切，也不需像數(shù)分一樣必須無限刷題。一般說來，只需要上課聽講，完成作業(yè)，然后稍微復習一下，便可以得到90分以上的成績。那接下來就來了解一下空解的精要部分。1. 向量的三積 （注：在這里聯(lián)系一下高代里面的“線性相關性”部分） 1.內積 定義：內積也成為向量的數(shù)量積，任取向量a,b,內積的值為 ，它是一個數(shù)量。用符號表示。 若a=,b=,則 2.射影和射影向量 射影向量：一個向量在另一個向量上的正投影向量叫做射影向 量。 射影：射影向量的模就叫做射影。記為：。表 示在上的射影。 命題：1. 2. 3.

2、例題1：已知向量a與b的夾角為，計算 （1） ； （2）.2. 外積 定義：向量的外積也叫叉積或者向量積，它的積是一個向量。 a與b的外積記為，它的模是： ，它的方向與a和b都垂直，并且按 a，b，這一順序成右手系。 外積不符合交換律。 由定義可知：兩個向量共線的充要條件是外積為零向量。 如果a和b不共線，則的模表示以a，b為鄰邊的平行四 邊形的面積。 若a=,b=，則 =，其中i.j,k是單位向量。 外積的運算律： 1.反交換律：= 2.數(shù)乘結合律：= 3.左右分配律：； . 于是，與a和b都垂直的向量可設為； 與a和b都垂直的單位向量可設為. 二重外積公式： 例題2：在直角坐標系中，已知，

3、求與a， b都垂直，且滿足下列條件之一的向量c： （1）c為單位向量； （2），其中. 3.混合積 定義：兩個向量的外積向量再與第三個向量的內積，叫做三 個向量的混合積。 若a=,b=，c=，則的值為 命題1：三個向量共面的充要條件是混合積為0. 命題2：若a，b，c不共面，那么a，b，c的混合積表示以 a，b，c為鄰棱的平行六面體的體積。 命題3：輪換混合積的3個因子，不改變它的值，而對調任 何2個因子，都要改變符號。 如：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,b,a)=-(b,a,c)=-(c,b,a) =-(a,c,b) 例題3：證明：如果，那么a，b，c共面。 二.平面和直線的淵源 注

4、意：在這之后的平面與直線方程都是在直角坐標系中表 示的，不考慮仿射標架中的。 （一）.平面的方程 1.點位式方程 我們知道，由于直線和直線外一點可以確定一個平 面，設一條直線的方向向量為v=（X，Y，Z），直線 上一點為，直線外一點為，于 是可以用一組混合積來表示平面： =0 ，其中 用行列式表示為： 由于結果是0，所以根據(jù)行列式的性質，里面的行列 順序可以隨便寫。 2. 一般式方程 我們明顯可以發(fā)現(xiàn)，把點位式的方程行列式按照未 知量所在的行展開可以得到一個關于x,y,z的三元一 次方程，記為Ax+By+Cz+D=0。這樣的方程叫做平面的 一般方程，也是解題所需要的最終結果形式。 在這個方程里

5、面，注意到A，B，C，而向量 （A，B，C）就是這個平面的法向量。 3.截距式方程 相信大家都明白截距是什么意思，它指的是平面與 坐標軸相交的對應的坐標，如果題目給出平面在三個坐 標軸上的截距a,b,c，聯(lián)想到中學的直線的截距式方程， 可想而知，方程可寫為 4.點法式方程 如果已知平面的法向量為（A，B，C），平面上一點 為，那么方程可寫為 其中的原理是垂直于同一直線的直線剛好構成一 個平面，如果，則 =0 5.一般方程的法式化 如果已知方程的一般方程為，作為 法式方程，必須將 單位化，于是，只有在方 程左邊乘以法式化因子即可，其中 正負號的選取與D有關，如果D為負，那么取正號， 如果D為正，

6、取負號。 化完之后的平面如果記為，此時 的法向量很明顯是個單位向量，而這個單位向量 的幾何意義是： 從原點指向平面的單位法向量。 這里的 的幾何意義是： 原點到平面的距離 定理：平面的充要條件是關于x,y,z的方程是一個三元 一次的方程。 （二）直線的方程 1.標準方程 我們知道，空間中的兩點可以確定一條直線。如果我 們知道直線上確定的兩點，那 么，直線的方程可以寫為： 這樣的方程稱為兩點式方程。 很明顯，分母組就是該直線的方向向量，于是，如果 給出直線的方向向量(X,Y,Z)，那么就可以寫成： 這就是直線的標準方程。 2.射影式方程 在標準方程中，我們可以看到有兩個等號，表示的是兩 個等式，

7、如果將兩個等式聯(lián)立起來，用一個未知數(shù)表示另外 兩個未知數(shù)，就可以把標準方程化為一下形式： 這個方程稱為直線的射影式方程。 3.一般方程 我們知道，兩個相交的平面，它們的交線就是一條直線， 于是，就可以把兩個平面用花括號聯(lián)立，就變成了一般方程。 一般方程的形式為： 需要注意的是：標準方程和一般方程都不唯一，射影式方程 是一般方程的特殊結構。 4.標準形式和一般形式的互化 標準一般 直接化成射影式即可 一般標準 首先令其中一個未知量為一個確定值，再解出另外兩 個未知數(shù)，這樣便確定了直線上的一點。 一般方程的方向向量就是 然后寫成標準形式即可 例4.求過點（3，-5,1）和點（4,1,2），垂直于平

8、面x-8y+3z-1=0 的平面方程。 例5.將下列平面化成法式方程 （1）x-2y+5z-3=0 （2）x-y+1=0 三.線性圖形的位置和度量關系 （一）平面與平面的位置關系 在仿射坐標系下，設兩個平面為 1.相交 2.平行 3.重合 （二）平面與直線的位置關系 直線l和平面的方程分別為 于是， 1.相交 2.平行且 3.直線在平面上且 （三）兩條直線的位置關系 設兩條直線的方向向量分別為，兩條直線上分別 有兩點。 1.異面 2.相交且不共線 3.平行共線但和不共線 4.重合，為共線向量。 （四）距離公式 1.點到直線 直線上一點為，直線外一點為M，直線的方向向 量為v，于是，M到直線的距離公式為 意義是：平行四邊形的面積除以底邊長，即為高。 2.點到平面 設平面方程為，平面外一點為 ，于是聯(lián)想到中學的點到直線的距離公式可 得： 3.直線與直線的距離 設兩條異面直線分別過，方向向量分別為， 則兩條直線的距離為： 幾何意義為：體積除以底面積，即為高 注意：其他類型的距離都可以通過以上三種變換而來， 比如平行平面的距離，可以轉換為點到平面的距離來求 解。 例6：求二平面 之間的距離。 四.平面束 定義：我們把空間中所有通過同一條直線的平面的集合稱