數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題——離散型隨機(jī)變量分布列(新課標(biāo))

1、耗用子彈數(shù)的分布列例 某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列分析：確定取哪些值以及各值所代表的隨機(jī)事件概率，分布列即獲得解：本題要求我們給出耗用子彈數(shù)的概率分布列我們知道只有5發(fā)子彈，所以的取值只有1，2，3，4，5當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，要求第一次沒(méi)射中，第二次射中，故；同理，時(shí)，要求前兩次沒(méi)有射中，第三次射中，；類似地，；第5次射擊不同，只要前四次射不中，都要射第5發(fā)子彈，也不考慮是否射中，所以，所以耗用子彈數(shù)的分布列為：01230.90.090.0090.0001 說(shuō)明：搞清的含義，防止這步出錯(cuò)時(shí)，可分兩種情況：一是前4發(fā)都沒(méi)射中

2、，恰第5發(fā)射中，概率為0.140.9；二是這5發(fā)都沒(méi)射中，概率為0.15，所以，當(dāng)然，還有一種算法：即獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录l(fā)生偶數(shù)次的概率例 如果在一次試驗(yàn)中，某事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這件事A發(fā)生偶數(shù)次的概率為_(kāi)分析：發(fā)生事件A的次數(shù)，所以，其中的k取偶數(shù)0，2，4，時(shí)，為二項(xiàng)式 展開(kāi)式的奇數(shù)項(xiàng)的和，由此入手，可獲結(jié)論解：由題，因?yàn)榍胰〔煌禃r(shí)事件互斥，所以，（因?yàn)椋裕┱f(shuō)明：如何獲得二項(xiàng)展開(kāi)式中的偶數(shù)次的和？這需要抓住與展開(kāi)式的特點(diǎn)：聯(lián)系與區(qū)分，從而達(dá)到去除p奇次，留下p偶次的目的根據(jù)分布列求隨機(jī)變量組合的分布列例 已知隨機(jī)變量的分布列為210123P分別求出隨機(jī)變

3、量的分布列 解： 由于對(duì)于不同的有不同的取值，即，所以的分布列為101P對(duì)于的不同取值2，2及1，1，分別取相同的值4與1，即取4這個(gè)值的概率應(yīng)是取2與2值的概率與合并的結(jié)果，取1這個(gè)值的概率就是取1與1值的概率與合并的結(jié)果，故的分布列為0149P說(shuō)明：在得到的或的分布列中，或的取值行中無(wú)重復(fù)數(shù)，概率得中各項(xiàng)必須非負(fù)，且各項(xiàng)之和一定等于1成功咨詢?nèi)藬?shù)的分布列 例 某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話接通率為，某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問(wèn)題詢問(wèn)該服務(wù)中心且每人只撥打一次，求他們中成功咨詢的人數(shù)的分布列分析：3個(gè)人各做一次試驗(yàn)，看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，撥通這一電話的人數(shù)即為事件的發(fā)生次數(shù)，故符合二項(xiàng)分

4、布解：由題：，所以，分布列為0123 說(shuō)明：關(guān)鍵是理解二項(xiàng)分布的特點(diǎn)：即某同一事件，在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，以事件發(fā)生的次數(shù)為隨機(jī)變量盒中球上標(biāo)數(shù)于5關(guān)系的概率分布列例 盒中裝有大小相等的球10個(gè)，編號(hào)分別為0，1，2，9，從中任取1個(gè)，觀察號(hào)碼是“小于5”“等于5”“大于5”三類情況之一規(guī)定一個(gè)隨機(jī)變量，并求其概率分布列分析：要求其概率的分布列可以先求個(gè)小球所對(duì)應(yīng)的概率解：分別用表示題設(shè)中的三類情況的結(jié)果：表示“小于5”的情況，表示“等于5”的情況，表示“大于5”的情況設(shè)隨機(jī)變量為，它可能取的值為取每個(gè)值的概率為（取出的球號(hào)碼小于5），（取出的球號(hào)碼等于5），（取出的球號(hào)碼大于5）故的分布列為

5、P小結(jié)：分布列是我們進(jìn)一步解決隨機(jī)變量有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此準(zhǔn)確寫出隨機(jī)變量的分布列是很重要的，但是我們不能保證它的準(zhǔn)確性，這時(shí)我們要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性外，還可以利用進(jìn)行檢驗(yàn)求隨機(jī)變量的分布列例 一袋中裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取3只，以表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量的分布列分析：由于任取三個(gè)球，就不是任意排列，而要有固定的順序，其中球上的最大號(hào)碼只有可能是3，4，5，可以利用組合的方法計(jì)算其概率解：隨機(jī)變量的取值為3，4，5當(dāng)3時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為3，則其他二球的編號(hào)只能是1，2，故有當(dāng)4時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為4，則其他二球只能在編號(hào)為1，2，

6、3的3球中取2個(gè)，故有當(dāng)5時(shí)，即取出的三只球中最大號(hào)碼為5，則其他二球只能在編號(hào)為1，2，3，4的4球中取2個(gè)，故有因此，的分布列為345P說(shuō)明：對(duì)于隨機(jī)變量取值較多或無(wú)窮多時(shí)，應(yīng)由簡(jiǎn)單情況先導(dǎo)出一般的通式，從而簡(jiǎn)化過(guò)程取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的分布列例 一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)不合格品安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一個(gè)如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的分布列分析：取出不合格品數(shù)的可能值是0，1，2，3，從而確定確定隨機(jī)變量的可能值解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品數(shù)，則是一個(gè)隨機(jī)變量，由題設(shè)可能取的數(shù)值是0，1，2，3當(dāng)0時(shí)，即第一次就取

7、到合格品，其概率為當(dāng)1時(shí)，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率為當(dāng)2時(shí)，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率為當(dāng)3時(shí)，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率為所以的分布列為0123P0.7500.2040.0410.005說(shuō)明：一般分布列的求法分三步：（1）首先確定隨機(jī)變量的取值喲哪些；（2）求出每種取值下的隨機(jī)事件的概率；（3）列表對(duì)應(yīng)，即為分布列關(guān)于取球的隨機(jī)變量的值和概率例 袋中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從中任取一球觀察其顏色確定這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量，并指出在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中隨機(jī)變量可能取的值及取每個(gè)值的概率分析：隨機(jī)變量變量是表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量，隨機(jī)變量的可能取值是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果組成解： 設(shè)集合，其中為“取到的球?yàn)榧t色的球”，為“取到的球?yàn)榘咨那颉?，為“取到的球?yàn)楹谏那颉蔽覀円?guī)定：，即當(dāng)時(shí)，這樣，