人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題講義含部分答案

1、數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題在講這個(gè)問(wèn)題之前，我們先來(lái)看一道行程問(wèn)題?！绢} 1】甲乙兩地相距 200 米，小明從甲地步行到乙地，用時(shí) 3 分鐘，小明的平均速度為多少米每秒？【分析】這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)，就是把實(shí)際生活中的問(wèn)題剝離出來(lái)，抽象成了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，很多學(xué)生都會(huì)解；初學(xué)時(shí)，老師會(huì)畫(huà)線(xiàn)段圖，用線(xiàn)段的長(zhǎng)度來(lái)將兩點(diǎn)間的距離具象化，如下：小明甲地乙地【解法一】直接利用：速度=路程÷時(shí)間解決。 200 ¸180 = 10 （米/秒）9【解法二】用方程解。設(shè)速度為 x米/ 秒，根據(jù)路程=時(shí)間×速度，得： 200 = 180x ，解得 x = 10 。9如果在線(xiàn)段圖上，用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)表

2、示甲地和乙地，從甲往乙的方向規(guī)定為正方向建立數(shù)軸，這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題了?！绢} 2】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn) A、B，點(diǎn) A 表示的數(shù)為0 ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 200 ，一只電子螞蟻 P 從 A 出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度由 A 往 B 運(yùn)動(dòng)，到 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t。（1）用含 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 運(yùn)動(dòng)的距離；（2）用含 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 表示的數(shù)；（3）用含 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 到數(shù) B 的距離。（4）當(dāng)電子螞蟻運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間后，點(diǎn) P 為線(xiàn)段 AB 的三等分點(diǎn)？【分析】引入數(shù)軸后，其本質(zhì)是把線(xiàn)段圖換成了帶方向帶單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)，將有限的實(shí)際

3、距離推廣到了無(wú)限的距離問(wèn)題。所以，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，處理的核心思想依然是路程=速度×時(shí)間。其余的點(diǎn)的距離，利用數(shù) 軸上兩點(diǎn)間距離公式解決。（1）根據(jù)路程=速度×時(shí)間，有： AP = t ；（2） AP = t ，故點(diǎn) P 表示的數(shù)為t ；（3）點(diǎn) B 表示的數(shù)為 200，點(diǎn) P 表示的數(shù)為t ，且 P 在 B 左邊，故 PB = 200 - t 。（4）若 P 為 AB 的三等分點(diǎn)，有兩種情況：AP=2PB，即： t = 2 ´ (200 - t )，解得t = 400 秒；32AP=PB，即： 2t = 200 - t ，解得t = 200 秒；3現(xiàn)在，我們將【題

4、2】一般化，線(xiàn)段 AB 一般化為在數(shù)軸上的一條定長(zhǎng)線(xiàn)段，便得到如下的題：【題 3】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn) A、B，點(diǎn) A 表示的數(shù)為 a ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為b ，且數(shù) A 和數(shù) B 的距離為 200 個(gè)單位長(zhǎng)度，一只電子螞蟻 P 從 A 出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度由 A 往 B 運(yùn)動(dòng)，到 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t。（1）用含 a 的代數(shù)式表示數(shù) B；（2）用含 a 和 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 表示的數(shù)；（3）用含 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 到數(shù) B 的距離。【分析】一般化后，增加了字母參數(shù)，更加抽象化，難度也上升了，但若嚴(yán)格按照邏輯推理進(jìn)行解題，難度也會(huì)有所下降。（1）由數(shù)軸上

5、兩點(diǎn)間距離公式可得： b - a = 200，整理得： b = 200 + a ；（2）由路程=速度×時(shí)間得， AP = t ，即 A、P 兩點(diǎn)間的距離為t ；同（1）可得，點(diǎn) P 表示的數(shù)為 a + t 。（3）由于數(shù) B數(shù) P，故根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式有： BP = b - (a + t ) = a + 200 - (a + t ) = 200 - t 。我們發(fā)現(xiàn)，只要線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)度固定，點(diǎn) P 到 B 的距離跟 A、B 表示的數(shù)無(wú)關(guān)。接下來(lái)，我們將問(wèn)題復(fù)雜化，變?yōu)殡p動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，請(qǐng)看【題 4】。【題 4】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn) A、B，點(diǎn) A 表示的數(shù)為0 ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為

6、200 ，一只電子螞蟻 P 從 A 出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度由 A 往 B 運(yùn)動(dòng)，到 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止；另一電子螞蟻 Q 在同一時(shí)間從 B 出發(fā)，以 2 個(gè)單位每秒的速度由 B 往 A 運(yùn)動(dòng)，到 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t。（1）當(dāng)電子螞蟻 P、Q 相距 40 個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t；（2）用含 t 的代數(shù)式表示兩只電子螞蟻的距離?！痉治觥勘绢}的實(shí)質(zhì)，就是行程問(wèn)題中的相向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，若用數(shù)軸不好理解，可以借助熟悉的行程問(wèn)題來(lái)輔助理解。（1）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn) P 和點(diǎn) Q 的位置有三種情況：P 在 Q 的右邊，P 和 Q 重合，P 在 Q 的左邊，故運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式時(shí)，需要加個(gè)絕對(duì)

7、值號(hào)，可以有效避免漏掉情況。另外，Q 到 A 后，Q 停止，但 P 繼續(xù)往 B 運(yùn)動(dòng)，故也得考慮這種情況。P、Q 都在運(yùn)動(dòng)時(shí)， 0秒£ t £ 100秒時(shí)，點(diǎn) P 表示的數(shù)為t ，點(diǎn) Q 表示的數(shù)為 200 - 2t ，故 P、Q 兩點(diǎn)間的距離為 200 - 2t - t 。根據(jù)題意有： 200 - 2t - t = 40 。很自然地需要分類(lèi)討論，考慮了兩種情況。Q 停止運(yùn)動(dòng)，P 繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，此時(shí) PQ 距離100，故不符合題意。（2）P 與 Q 相遇之前，即 P 在 Q 的左邊，此時(shí)有數(shù) Q數(shù) P， 0秒£ t 200 秒，此時(shí)：3PQ = 200 - 2t -

8、t = 200 - 3tP 與 Q 相遇后，Q 停止運(yùn)動(dòng)前，即 Q 在 P 的左邊，此時(shí)有數(shù) P數(shù) Q， 200 秒£ t £ 100秒，此時(shí)：3PQ = t - (200 - 2t ) = 3t - 200Q 停止運(yùn)動(dòng)，P 繼續(xù)向 B 運(yùn)動(dòng)直至停止，數(shù) Q 為 0，數(shù) P數(shù) Q，100秒t £ 200秒，此時(shí)：PQ = t - 0 = t【提煉】第（1）問(wèn)題，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，能有效解決漏掉情況的問(wèn)題。下面，我們把線(xiàn)段等分點(diǎn)加進(jìn)來(lái)，提升難度，請(qǐng)看【題 5】和【題 6】。其處理的核心，依然是表示出相關(guān)的數(shù)?！绢} 5】如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn) A、B，點(diǎn) A 表

9、示的數(shù)為0 ，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 200 ，一只電子螞蟻 P 從 A 出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度由 A 往 B 運(yùn)動(dòng)，到 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止；另一電子螞蟻 Q 在同一時(shí)間從 B 出發(fā)，以 2 個(gè)單位每秒的速度由 B 往 A 運(yùn)動(dòng)，到 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t。（1）當(dāng) P 為 AQ 中點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t；（2）當(dāng) Q 為 BP 中點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t?！痉治觥看钌狭司€(xiàn)段中點(diǎn)，處理方式依然不變，用含t 的代數(shù)式表示出數(shù) Q、數(shù) P，利用兩點(diǎn)間距離公式解題。（1）點(diǎn) P 表示的數(shù)為t ，點(diǎn) Q 表示的數(shù)為200 - 2t ，若 P 為 AQ 中點(diǎn)，有 AP=PQ，即： t = 200 - 2

10、t - t ， 解得： t = 50秒；（2）點(diǎn) P 表示的數(shù)為t ，點(diǎn) Q 表示的數(shù)為 200 - 2t ，若 Q 為 BP 中點(diǎn)，有 PQ=BQ，即： 200 - 2t - t = 2t ， 解得： t = 40秒?！绢} 6】已知數(shù)軸上 A、B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-2 和 4，P 為原點(diǎn)。若 A、B、P 三點(diǎn)分別以 1 個(gè)單位每秒、4 個(gè)單位每秒、2 個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng) A、B、P 三點(diǎn)有其中一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間?！痉治觥堪蠢碚f(shuō)有三種情況，A 為 P、B 中點(diǎn)，B 為 A、P 中點(diǎn)，P 為 A、B 中點(diǎn)，但結(jié)合條件，發(fā)現(xiàn) A 不可能為 P、B 中點(diǎn)，故此種情況可以

11、舍去。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn) A 表示的數(shù)為 t-2，點(diǎn) P 表示的數(shù)為 4t，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 4+2t。B 為 A、P 中點(diǎn)，有 AB=BP，即：4+2t-t+2=4t-4-2t，解得：t=10 秒；P 為 A、B 中點(diǎn)，有 AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=0.4 秒；【思考】線(xiàn)段（直線(xiàn)、射線(xiàn)）上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題來(lái)處理嗎？ 最后，放幾個(gè)題結(jié)束本文?！绢} 1】如圖，數(shù)軸上 A、B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為-8 和 12，點(diǎn) P 從原點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q 從原點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒 2 個(gè)

12、單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒。（1）求經(jīng)過(guò)兩秒后，數(shù)軸點(diǎn) P、Q 分別表示的數(shù)；（2）當(dāng)t = 3 時(shí)，求 PQ 的值；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在時(shí)間 t，使得 AP=BQ，若存在，求出 t 值；若不存在，說(shuō)明理由?！绢} 2】如圖，點(diǎn) A、B 和線(xiàn)段 CD 都在數(shù)軸上，點(diǎn) A、C、D、B 起始位置所表示的數(shù)分別為-2,0,3,12；線(xiàn)段 CD 沿?cái)?shù)軸的正方向以每秒 1 個(gè)單位的速度移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t 秒。（1）當(dāng)t = 0 秒時(shí)，AC 的長(zhǎng)度為 ；當(dāng)t = 2秒時(shí)，AC 的長(zhǎng)度為 ；（2）用含有t 的代數(shù)式表示 AC 的長(zhǎng)為 （3）當(dāng)t = 秒時(shí)，ACBD=5，當(dāng)t =

13、秒時(shí) AC+BD=15（4）若點(diǎn)A 與線(xiàn)段 CD 同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn) A 的速度為每秒 2 個(gè)單位，在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使得 AC=2BD，若存在，請(qǐng)求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【題 3】如圖，E 為線(xiàn)段 AC 上靠近點(diǎn) A 的三等分點(diǎn)，B、D 為線(xiàn)段 EC 上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足 CD=2BD。（1） 若 DE=6cm，求線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)；（3）若 AC=15cm，EB=4cm，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn) Q 從 D 點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以 3cm/s、1cm/s 的速度沿直線(xiàn) AC 向右運(yùn)動(dòng)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得 BP+CQ=AB 成立？若存在，求此時(shí) PQ 的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由?！绢}