中心差分解兩點邊值問題

1、一題目用中心差分格式計算如下兩點邊值問題已知其精確解為二理論作為模型，考慮兩點邊值問題：（1.1）（1.2）假定是給定的常數(shù)。1. 建立差分格式（1）.區(qū)域網(wǎng)格剖分首先取個節(jié)點：將區(qū)間分成個小區(qū)間：于是得到區(qū)間的一個網(wǎng)格剖分。記，稱為網(wǎng)格最大步長。用表示網(wǎng)格內(nèi)點，的集合，表示內(nèi)點和界點的集合。取相鄰節(jié)點的中點，稱為半整數(shù)點。則由節(jié)點又構(gòu)成的一個網(wǎng)格剖分，稱為對偶剖分。（2）.微分方程的離散，建立相應(yīng)差分格式用差商代替微商，將方程（1.1）在內(nèi)點離散化.注意對充分光滑的，由Taylor展式有（1.3） （1.5）由（1.5）減（1.4），并除以，得（1.6）令則由（1.3）（1.6）知，邊值問題

2、的解滿足方程： （1.7） 其中 （1.8）為差分算子的截斷誤差，舍去，便得逼近邊值問題（1.1）（1.2）的差分方程： （1.9）i=1,2,N-1，由方程（1.7）（1.9），截斷誤差可表示為 （1.10）當網(wǎng)格均勻，即時差分方程（1.9）簡化為 （1.11）這相當于用一階中心差商，二階中心差商依次代替（1.1）的一階微商和二階微商的結(jié)果。這個方程就是中心差分格式。截斷誤差為： （1.12）所以截斷誤差按或的階為。在本題中， ，因為r=0方程（1.11）的系數(shù)對角矩陣是三對角矩陣。我們可以用消元法或迭代法求解方程組（1.1）（1.2）式（1.11）用方程組展開：寫成矩陣形式為：2.收斂性分

3、析根據(jù)（1.10）我們引進誤差則誤差函數(shù)滿足下列差分方程：于是收斂性及收斂速度的估計問題，就歸結(jié)到通過右端（截斷誤差）估計誤差函數(shù)的問題。由（1.12）我們知，有從而差分方程滿足相容條件。若引進記號，設(shè)則可將（1.9）改寫為將差分解表成 （2.1）其中滿足 （2.2）而滿足 （2.3）先估計，由 （2.4）據(jù)差分格林公式再利用柯西不等式，有常數(shù)使 （2.5）將不等式（2.6）用于（2.5）右端，則 （2.6）解差分方程（2.2，易得）從而這樣， （2.7）利用范數(shù)，從（2.7）推出 （2.8）因為因此 （2.9）聯(lián)結(jié)（2.1）（2.7）及（2.9）即得差分解的先驗估計： （2.10）其中不等式

4、（2.10）說明差分解連續(xù)依賴于右端和邊值，因此差分格式（1.11）關(guān)于右端及邊值穩(wěn)定.根據(jù)定理1.1 ： 若邊值問題的解u充分光滑，差分方程按滿足相容條件且關(guān)于右端穩(wěn)定，則差分解按收斂到邊值問題的解，且有和相同的收斂階。所以差分方程的解的收斂速度為。三程序代碼：clcclfclfsyms x;a=1; %區(qū)間界點b=2; %區(qū)間界點p=exp(x); %這是p函數(shù)q=sin(x)+1+x; %這是q函數(shù)f=-exp(x)*(2*x+1)+(sin(x)+1+x)*x*(x-1);%這是f函數(shù)r=0; %這是r函數(shù).N=10; %將區(qū)間劃分的等分,這里控制！h=(b-a)/N; %這里確定步長

5、value_of_f=zeros(N-1,1);%這是fdiag_0=zeros(N-1,1);%確定A的對角元diag_1=zeros(N-2,1);%確定A的偏離對角的上對角元diag_2=zeros(N-2,1);%確定A的偏離對角的下對角元X=a:h:b;u_a=0; %邊界條件u_b=2; %邊界條件for j=2:N diag_0(j-1)=(subs(p,x,(X(j+1)+X(j)/2)+(subs(p,x,(X(j-1)+X(j)/2)/(h2)+(subs(q,x,X(j);end %獲取對角元素for j=3:N diag_2(j-2)=-(subs(p,x,(X(j-1

6、)+X(j)/2)/(h2)-subs(r,x,X(j)/(2*h);end %獲取A的第三條對角for j=2:N-1 diag_1(j-1)=-(subs(p,x,(X(j+1)+X(j)/2)/(h2)+subs(r,x,X(j)/(2*h);end %獲取A的第二條對角for j=2:N; value_of_f(j-1)=subs(f,x,X(j);end %獲取F值value_of_f(1)=value_of_f(1)+u_a*(subs(p,x,(X(2)+X(1)/2)/(h2);value_of_f(N-1)=value_of_f(N-1)+u_b*(subs(p,x,(X(N

7、)+X(N+1)/2)/(h2);A=diag(diag_0)+diag(diag_1,1)+diag(diag_2,-1);%組裝系數(shù)矩陣format longU=inv(A)*value_of_f %差分解%fprintf('%11.5f',U)fprintf('n');dx=X(2:N);precise_value=dx.*(dx-1) %精確解%fprintf('%11.5f',precise_value)deta=U-precise_value' ; %誤差deta_max=max(abs(deta);%最大誤差fprintf(

8、'最大的誤差是%fn',deta_max)plot(X(2:N),U,'b*',X(2:N),precise_value,'r-') %差分解與精確解對比表figure();plot(X(2:N),deta) %誤差圖結(jié)果： X的值步長h2.12.22.32.42.52.62.72.82.9最大誤差0.10.110150.240260.390330.560370.750380.960381.190311.440221.710120.0003800.050.110030.240060.390080.560090.750090.960081.190071.440051.710030.0000950.0250.110000.240010.390020.560020.750020.960021.190021.440011.710010.0000240.01250.110000.240000.390000.560010.750010.960001.190001.440001.710000.000006精確解0.110000.240000.390000.560000.750000.960001.190001.440001.710000以下僅給出步長為N=20,h=0.05的精確值和差分值圖與誤差圖，其