專題3數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、專題3 數(shù)列的綜合應(yīng)用題型1 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題1. 已知是等差數(shù)列,其前n項和為,是等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列與的通項公式;(2)記,證明:.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,由,得,由條件,得方程組,計算得出,故,.(2)證明:方法一,由(1)得,;   (1);     (2);由(2)得,;而;故.方法二:數(shù)學(xué)歸納法,(3)當(dāng)時,故等式成立,(4)假設(shè)當(dāng)時等式成立,即,則當(dāng)時有,.即,因此時等式成立.(3)(4)對任意的,成立.2. 數(shù)列的前項和為，已知，且，。（）證明：；（）求。答案（）證明：由

2、條件，對任意,有，因而對任意,，所以。兩式相減，得，。又，所以，故對一切的，。（）解：由（）知，所以，于是數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。因此，。于是。從而。綜上所述，題型2 數(shù)列的實際應(yīng)用3. 某住宅小區(qū)計劃植樹不少于棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)等于_。答案644解析本題主要考查等比數(shù)列的和。第一天是棵，第二天棵，所以第天是棵。，解得。所以的最小值為6。4. 某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員,第1名得全部資金的一半多一萬元,第二名得剩下的一半多一萬元,以名次類推得到剩下的一半多一萬元,到第10名恰好資金分完,求此

3、科研單位共拿出多少萬元資金進行獎勵.解:設(shè)第十名到第一名得到的獎金分別是,則,每人所得獎金數(shù)組成一個以2為首項,公比為2的等比數(shù)列,此科研單位共拿出2046萬元資金進行獎勵.5. 某企業(yè)2010年初貸款a萬元，年利率為r，按復(fù)利計算，從2010年末開始，每年末償還一定金額，計劃第5年底還清，則每年應(yīng)償還的金額數(shù)為（）萬元6. 一學(xué)生參加市場營銷調(diào)查活動,從某商場得到11月份新款家電M的部分銷售資料.資 料顯示:11月2日開始,每天的銷售量比前一天多t臺(t為常數(shù)),期間某天由于商 家提高了家電M的價格,從當(dāng)天起,每天的銷售量比前一天少2臺.11月份前2天 共售出8

4、臺,11月5日的銷售量為18臺.(I)若商家在11月1日至15日之間未提價,試求這15天家電M的總銷售量.若11月1日至15日的總銷售量為414臺,試求11月份的哪一天,該商場售出家電M的臺數(shù)最多?并求這一天售出的臺數(shù).解:(I)根據(jù)題意,商家在11月1日至15日之間家電M每天的銷售量組成公差為t的等差數(shù)列,解之得因此,這15天家電M的總銷售量為臺.設(shè)從11月1日起,第n天的銷售量最多,由(I),若商家在11月1日至15日之間未提價,則這15天家電M的總銷售量為450臺,而不符合題意,故; 若,則,也不符合題意,故因此,前n天每天的銷售量組成一個首項為2,公差為4的等差數(shù)列,第天開始

5、每天的銷售量組成首項為,公差為-2的等差數(shù)列.由已知條件,得,即解之得或(舍去19),出售家電M的臺數(shù)為臺故在11月12日,該商場售出家電M的臺數(shù)最多,這一天的銷售量為46臺.題型3 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合7. 已知數(shù)列中,點(且)滿足,則?答案時,代入,為定值.,數(shù)列是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列.時,同樣滿足通項公式,數(shù)列的通項公式為8. 已知數(shù)列的通項公式為,數(shù)列的通項公式為,設(shè)若在數(shù)列中,對任意恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是答案解:若,則,則前面不會有的項,遞增,遞減,遞減,當(dāng)時,必有,即,此時應(yīng)有,即,得,即,得,.若,則,同理,前面不能有項,即,當(dāng)時,遞增,遞減,當(dāng)時,.由,即,

6、得,由,得,得,即.綜上得,.實數(shù)k的取值范圍是.因此，本題正確答案是:.9. 已知奇函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),數(shù)列是一個公差為2的等差數(shù)列,滿足,則的值等于 答案4003解:設(shè),則,且,且.結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點的對稱性可以知道,.,即.設(shè)數(shù)列通項.通項.因此，本題正確答案是:4003.10. 定義函數(shù),其中表示不小于x的最小整數(shù),如,.當(dāng),時,函數(shù)的值域為,記集合中元素的個數(shù)為,則 答案解:根據(jù)題意易知:當(dāng)時,因為,所以,所以,所以,;當(dāng)時,因為,所以,所以,所以,;當(dāng)時,因為,所以,所以,所以,;當(dāng)時,因為,所以,所以,所以,;當(dāng)時,因為,所以,所以,所以,由此類推:,所

7、以,即,以上個式子相加得,計算得出,所以,則,因此，本題正確答案是:.11. 已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列  滿足  ,且  是  的等差中項.(1)求數(shù)列  的通項公式;(2)若   ,求  成立的正整數(shù)  的最小值.答案(1)  ,  ,  ,  ,  ,  或  ,  為遞增數(shù)列，    (2)  ,錯位相減得到   ,  ,  即  .12. 已知數(shù)列是首項為2的等差數(shù)列,其前n項和滿足.數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列,且.()求數(shù)列,的通項公式;()設(shè)數(shù)列的前n項和為,若對任意不等式恒成立,求的取值范圍.解:()設(shè)等差數(shù)列的公差為d,根據(jù)題意得,計算得出,由,從而公比,.()由()知,又,對任意,等價于,對遞增,.即的取值范圍為.13. 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項