完備非緊黎曼流形上擾動的P--Laplace方程解的Liouville--型定理（可編輯）

1、完備非緊黎曼流形上擾動的P-Laplace方程解的Liouville-型定理 中國科孽艘求犬謄碩士學位論又完備非緊黎曼流形上擾動的.方程解的.型定理作者姓名: 陳曦基礎數(shù)學學科專業(yè):導師姓名: 張希教授/完成: 一三年五月辱燃螋 . :.:.中國科學技術大學學位論文原創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的學位論文,是本人在導師指導下進行研究工作所取得的成果。除己特別加以標注和致謝的地方外,論文中不包含任何他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。與我一同工作的刊志對本研究所做的貢獻均已在論文中作了明確的說明。作者簽名:簽字日期:型塑弛盥卜中國科學技術大學學位論文授權使用聲明作為申請學位的條件之一,學位論文著作權擁有者

2、授權中國科學技術大學擁有學位論文的部分使用權,即:學校有權按有關規(guī)定向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版,允許論文被查閱和借閱,可以將學位論文編入中國學位論文全文數(shù)據(jù)庫等有關數(shù)據(jù)庫進行檢索,可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編學位論文。本人提交的電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。保密的學位論文在解密后也遵守此規(guī)定。囡公開 口保密?年作者簽名:盟導師簽名:乙絲車簽字眺班嶧蹲簽字吼巡掣華目 錄目 錄目錄?.摘要?.?.?.?.?.第章緒論?.研究背景.?.?.本文的主要工作.?.?.?.?.主定理的另解.本文的結構安排.?第章準備工作?.加權范數(shù)的定義.?.?.預備引理?.?第

3、章主要定理及其證明.加權平均值不等式.不等式.擾動的?方程的一型定理參考文獻致謝摘要摘要本文在完備非緊的光滑度量測度空問,.。中,研究擾動的?方程.我們利用加權不等式及加權不等式,在一定條什下,得到滿足下列微分不等式一釓,“,的函數(shù)的加權平均值不等式和不等式.作為應用,我們得到關于擾動的方程解的型定理.關鍵詞:定理;不等式;迭代;加權不等式;加權不等式, ? .,一,矗%. , ,¨ :一一扎一,一?. ,? ? .;: ; ; 第章 緒論第章緒論.研究背景在古典分析中,強或弱定理是札中每個非負或有界調(diào)和函數(shù)一定是常數(shù).自從上世紀七十年代中期,定理已經(jīng)在完備非緊流形上被廣泛地研究【】

4、.在年,丘成桐【】證明了.強或弱定理,即若是伴有非負曲率的完備流形,于是每個上的正或有界調(diào)和函數(shù)一定是常數(shù).在年,丘成桐【證明了任意完備非緊流形上,對于任意。,沒有非負的一亞調(diào)和函數(shù)和.調(diào)和函數(shù).為了證明。一定理,丘成桐】發(fā)現(xiàn)了完備流形上梯度估計的方法,并證明若是有一詹作為下界的曲率的完備流形,即一詹,其中角是一個常數(shù).那么每個有下界的調(diào)和函數(shù)滿足下列梯度估計廁爐,¨令艮,此梯度估計暗示了丘成桐的。一定理.另個方法證明.定理是利用橢網(wǎng)不等式或拋物不等式.通過獨市的工作,由.年.】,還可見】.后者等價于雙重體積性質(zhì)和測地球上的一系列局部不等式,即若肪西是完備流形,它擬同構于伴有非負曲率

5、的完備流形 ,于是得到雪上的。一定理.因為.一.的重要工作,.和.】在伴有兩負常數(shù)間的截面曲率的?流形上的止值或有界的調(diào)和函數(shù)的存在性的研究中得出,一定理在這類流形上并不成立,同樣可見和,和】,和】,】,更進一步,.】構造兩個擬刊構完備流形,通過構造.他證明在般的測度下,一性質(zhì),并不總是成:立.本文的主要工作本文的主要工作是在完備非緊的光滑度量測度空間,夕,%下,取第亭 緒論上的能量函數(shù),是有界光滑函數(shù),那么可定義局部的糸擬兒坦仉左肜刖五./:,肌一,其卜方程滿足若面 。面:。;厶叫下式:沖一札,為了證明完備非緊流形下擾動的方程的一型定理.采用背景中所提到的不等式,張希,.,.,.和.】,具體

6、步驟如下,首先,要利用加權的不等式和條件扎一 仳,一一其中.南上可得出加權平均值不等式,再附上體積比較定理和加權不等式,靈活運用迭代和適當選取截斷函數(shù),可得到不等式:定理.設是一個完備非緊黎曼流形,是上光滑有界函數(shù),假設對任意測地球滿足下列不等式:【】體積比較條件對于任意,存在一個常數(shù)叩,使得,?玩三加權不等式對于任意和玩,于是存在一個常數(shù),使得.,?,。 :./阢 其中。圭嶄.耄 不等式對任意的咖/,。 ,存在一個常數(shù),使得一。,;,.厶。一,與一,與。,一,.厶。一其中常數(shù),。代表測地球。的體積.假設/玩月是個下有界的函數(shù),滿足一一一,:一第章 緒論其中常數(shù),于是對于充分小的,一定存在一個

7、常數(shù),口,肛,:?日。鑫于是,可以推出下而.型定理:定理.設是一個完備非緊黎曼流形,.廠是上的光滑有界函數(shù),假設對任意測地球滿足下列不等式:【】體積比較條件】對于任意,存在個常數(shù)/,使得。沖?。三加權不等式對于任意和釓玩,于是存在一個常數(shù),使得/ ?,叫?/ 其中,圭犏.【】加權不等式對任意的叼,玩,存在一個常數(shù)。,使得。,古等一,氣孑毛。,一古。,;一?其中常數(shù)肛,。代表測地球。的體積.假設。是一個下有界的函數(shù),滿足¨一一一,.廠于是必是常數(shù).主定理的另解為了證明完備非緊流形下擾動的方程的一型定理.不只可以采用不等式,還可以運用丘成桐【所發(fā)現(xiàn)的梯度估計的方法.先定義完備非緊的度量測

8、度空間,:,.卜的一直張量:月.廠假設,/是次線性增長的光滑函數(shù),并運用體積比較定理、迭代、公式和極大值原理得到梯度估計,進而成立?方程解的一型定理第章 緒論.本文的結構安排本文的結構安排如下:?第一章闡述了研究的背景和研究的主要成果,并簡介了研究此問題的另一種方法.?第二章羅列了各種常用不等式,如帶的不等式、加權不等式、加權不等式、加權不等式和加權不等式.為后面的主定理提供依據(jù).?第三章為本文的主體部分,在完備非緊的流形下,由加權不等式和能量函數(shù)變分得到的等式變形而成的微分不等式條件下,獲得平均值不等式.再通過體積比較定理和加權不等式共同作用下,得出擾動的?方程解的一型定理.第章 準備工作第

9、章準備工作.加權范數(shù)的定義在完備非緊的黎曼流形下定義,?.,;厶。顯然上述定義的式子滿足正定性、齊次性及角不等式,所以稱上述范數(shù)是光滑度量測度空間中的加權范數(shù).那么,冊.,、川憶,:廠 .、;: 降一,/亂/乏三亂,。,: 一,;.預備引理引理.士土,.證明.由護函數(shù)的凸性及不等式【的離散形式可知”型學 故有土一?嚴?口于是結論成立.引理.南赤赤叫證明.將上式轉(zhuǎn)化為南叩然而由二項式定理展開有去赤四%壺印南。%赤叩。南.第章 準備工作曜一赤壺印 喵去。赤印口故由右式的二項式展開可知結論成立注:對于 成立.,婆引.川凸?,其中,“.證明.我們只需證.“舯卻由條件知:,.當“時,有但扎那么.成立.當

10、時,有川那么.成立.口綜上知結論成立.引理設,五百,則竺一證明.由對數(shù)函數(shù)的凸性知,對于,有一? ?一?可令;,。,則一,兇此蘭?。 /所以?唧秈。四妯萬百對上式兩邊取對數(shù),有竺竺口虧?。竺三百第章 準備工作止 且理 設 二 一矗 一十彬一咿一 半 一證明.利用引理.,先用,分別代替,然后令:三石.,:;.,于是可以得到。.型生竺廠引理. 若,和入,于是.一入?一入其中等號成立的充分必要條件是.證明.若:,結論顯然成立.否則對.兩邊同除,式子變?yōu)?詈?詈叫令;,.轉(zhuǎn)化為入.一入其中等號成立條件是一.是嚴格遞增,存 是嚴格遞減.于是其最由微積分知,?.在口大值點在取得,取值為一入.引理.假設和口

11、寺,且.廠和是上的口.測函數(shù),于是.,/,川圳。,證明.若刑,或.。,另方面,若,?；?。,更進一步,觀察到若.對特別的.廠和成立,于是對所有.廠和的數(shù)量倍數(shù)也成市.那么若用和.代替.廠和,于是.被因子?改變.故只需證明當.,¨成市即可.其中等號成市的充分必要條件是.。;川。,幾乎處處成立.應用引理.,令“,九和入;,我們可得, 伊業(yè)墜第章 準備工作對.兩邊進行積分塒/./引分,“?。 ”。?一?一:一:,劉, 口通過引理.可知等號成立的條件是?,幾乎處處成立.引理.若。和,一?,于是讓月?看或幾乎處處成立,結論顯然成立.否則我們有,.一于是應用引理.,注意到寺./一,州。 ,硝。憶

12、.廠,?.一,百因此.廠憶,/.陟一,;.廠憶,.%,口注:令,蘭,一,那么刊,訓,進而州,一怕,一嘰,.引理.圣,假設是一個完備黎曼流形,測地球。滿足:。設扎是一個非負函數(shù),且滿足下列不等式亂一一弋。.,一.¨一其中.是,對丁任意,月,可和非負甬數(shù)鏟,那么厶,訓麗,/篙籌,護卵一,.第章 準備工作證明.用百一去乘一 一,一一并運用分部積分?札一,/一,一,/,因為,一 ,?互一?一,?“仰?,?礦 .札. 札口一, ,.奇一.,百一?.?.,?亂。,于是,由公式卵?一“,.?.一,/。百一一¨一,一/?,。一一一護一札,./ 、廠厶 一.一.?,五厶“?由不等式,我們有亂

13、,?于是、.、一 已,. .。 。 “.一.了肘廠厶 ,/¨ ,第章 準備工作對于.不等號的右邊第二項,運用帶的不等式,我們有?一,./一一口一札.籌鏟,.口一一,鏟.一,翌曠端。.一,化簡可以得到儼 %一一,牙一 丘、。忍一,篙小口引理.對任意咖明,存在,使得咖。 ,一?.上。,砂一,古蘭一錯乃?廠上了。,一?。, 其中“.證明.利用引理.、.冪理.的注,我們有厶,牌一廣上。,一,擊一.。,咖署弓一,弓孑。,告一.一擊一,.厶。,西署與一,號孑一三一上 蘆/。玩一壺,惻。帆,一土一土, ,/。,.一.,.卜.,.廠,仫厶,七一。¨一?。一百,.以。,一?丟.丘。,咖,.,

14、幾. 口其中蘭卉.一磊一第章準備工作注:令。?,其中,羔,引理.設是中的有界區(qū)域,若是有界連通區(qū)域,砒滿足局部條件,“,。則.一釓州一,./ 禮降一,/。 。其中札,樣.證明.運用反證法,先假設.不成立,那么對任意正整數(shù)足,都存在七一,使得滿足麗叫弩,小.令帆瓤則,有下列性質(zhì)一,;.恢憶,;厶一,萬.由,知,島,九有界,故由,中有界集的弱列緊性和緊嵌入定理知,存在子列幻和,使得幻。在中強收斂.,斗在護,中弱收斂由知幾乎處處成立,因而三幾乎處處成立.又由知矗一,因而幾乎處處成立.口這與矛盾,故.成立.弓理.設¨月貝.蛇厶一.卜八厶¨其中:嶄.證明.當時,由引理.可得.當時,可

15、利用相似變換化為口的情況.第章 主要定理及其證明第章 主要定理及其證明本章內(nèi)容是在完備非緊的光滑度量測度空問,%下,先利用引理.和引理.獲得引理.,即加權的平均值不等式,再由體積比較定理、引理.和引理.得到引理.,于是口.以得出不等式,進而得到其推論,即型定理.加權平均值不等式引理.設是一個完備黎曼流形,測地球。滿足:。西和.中加權不等式成立,假設¨是一個非負函數(shù),且滿足下列不等式.¨一 ,一一對于常數(shù),是對于任意,臼和,一定存在一個常數(shù),僅依賴丁,使得他,蹦計,踹.設百.取字是截斷函數(shù):。,。那么.,上 .。一,。然而。厶。,。,.,”一,/等.厶。,.,;,尚一,;云七

16、函皿:學第章 豐要定理及其證明利用引理.和引理.,可以得到下面不等式即;尚一廣.。?。一言?/;/一。,?、/石十護以唰毛;一一肛 一里 一里。 ? 一?。,/分吖/。一。. 一 一,.。一石. 、/、/耋五%,于是通過引理.和.,上面的不等式變?yōu)?;尚一,錯?。一石??！胺轴?,廠/一?上?百一一七 ?, 一一茸一 ?。,%石.幣而瓦萬/ ;?。:石?一. 口、/一一/,、一:?. , ,?一。.牙?。?.令七尚,忍一?一,吼尚?后其中在.中設,畝吼,我們肴南川礦計 吖南,州階囂州囂壺古掣?。/?一;囂囂,一古掣,廠,古./。驢一:您 尼一艫 盟叢 三彬臚尹掣礎銣:其注對 中意 即弛四專驄臌

17、 ,日、四用 .量川迭霉。斟匕捌 有一啪,.忐 爹嘲州肛,. 擴七/,中況 倪卜 其情 .¨當 矽弛 鞏醪吼 .,然后通過引理.有/訛一彳蒜,扎石;? ?蒡嘲州一;、石?. 一 面 一一參、蘭州 /情況:當口,取。,一,?,:一去一咿對于每一,?,令,。“:凡件,我們有一,尸吧,/。, 、管廠厶十一,舛,羔南;.¨功,.廠止 .,. 函 州。,高。/,?”. 十/,一/高勞.¨吣五廣,¨盯第章 豐要定琿及其證明.?.,惡,擴其中蘭鼎.記五蘭,于是一卜述公式變成。嘶,舛,.高刊艫,廠。 件一石 ./。,由,我們可知一 允 叫, 一 一,一一磐.一。主;一目

18、將述歹個等式兩邊分別加起來,我們得到忙州一芻于是廣階一州一芻那么,讓歹,我們有.令入一;,然后對.進行迭代,我們可以得到螂,訃,.高“.妒,歹 .筍。協(xié)矗.高蘭刪州一;:鋸矗.高囂鎬第章 豐要定理及其證明一其中, ,歹÷,斗,火:,既蘭?既百.?斗十。;%圭甲甜囂?甲志蒡。于是有刈,。葉錨 ,/口.不等式圣.若滿足三.設是完備黎曼流形,測地球滿足:。下列不等式【】體積比較條件對于任意,存在一個常數(shù)叼,使得.刪掣?。三加權不等式對于任意兄和,于是存在一個常數(shù),使得.上加,叫”小,卵,其中如,蘭嶄.加權刁等式對任意的/,。玩,。,存在一個常數(shù),使得。,一百丘。,聲古等一,氣孑名。,一,石

19、一?上。,一,;.其中常數(shù),。代表測地球。的體積.假設是一個下有界的函數(shù),滿足捫¨卜.,莖 .:二是塒于允分小的, 定存在個常數(shù),.:.廠:旦、一?, ,.可 。囂 / 。墨證明?假設“,于是函數(shù)“是在中一“一一“一一/ .?一一一一一“一,“一一上一兒,一“?兒,。廠一“一印一一兒一“,一,“一一一?一一應用引理.,存在,它依賴于,弘,有厶。蠢.玩囂。蓮,:連,“一 那么,要證.,我們只用估計下列乘積:居一 旦里“一剮 九鎦齋其中.,其中盧厶。譬亂?,誓三證阿月以上命題,我們來考慮函數(shù)。于是滿足:一.,釓。?,?,.廣,釓詈/仳卜?“?一“一 沖./,“一一一一,一札一扎一一 .令

20、砂是如下的截斷函數(shù),。月一,月。導一。譬其中是距離函數(shù).將.乘以砂并積分,我們有/?砂一,第章 主要定理及其證明/.砂 一,/,.,一,一 厶 .砂,./,/護卵,”。./.卯,于是厶五壚,州訓,砂 一,蘭厶,砂習上。一,一上一上門,兩郴刪吖五 剮馴一,南馴,兩 掣,魯彤掣吖其中為弧長參數(shù),蘭等.結合引理.和.式,可以得到竽厶五訓,厶五?.?。其中蘭百.礎.對任意,利用引理.,我們有厶。魯。一,.厶“導,。,:一,;.厶。譬,一;一,一;.。.一跏.。只其中蘭;.一;,.另一方面,令莎是截斷函數(shù),如下第章 豐要定理及其證明。盯。尸盯。,其中,.于是,對于 ,用妒?叩去乘.式并分部積分:. ?

21、一,一鯽.護,?礦?,。一一,一一口 一,憐,礦即.護卜 一叫 訓沖?,。一廠/耵,?/卅,妒.?/州.卵利用引理.,我們有.一.礦.坩滬,字巾卵.護唧,一,.一.川,?.?滬一.礦.尋”帥妒,.等妒卵一,分別將.和.代入.,我們可以得到一,一,./.礦.曠.二。,一一,/?/?一。第章 主要定理及其證明,礦.廠?。,一? ?擊。 。?/一上。們. 、礦.卵堡二竽羔掣/.一”/仃蘭,蘭譬,盯蘭,那么上式變?yōu)橐?廠/ ,.。:?.?一, 矽降一,一一?/。導冬蘭厶, 。罷?一蘭 。一。,?., 一,一, 一一一。孕罷蘭艏,厶五訓一,。蔫 萬幣/。魯.其中上驢利用.和卜?。蘭一。?.卅 ?一 一蘭

22、.五? 艫。?礦一,蘭南.?。其中蘭籌篙南?籌?學。.于是,下面我們估計二。罷?.情況:當,對于任意茸,通過引理.,.和.,我們有厶卜卜訓弩,第章 豐要定理及其證明卜;降吖,?惻譬饑魯, ;.?。冬叼蘭腳冬菇?潭? 、/令,使得。一 .又取 一,由引理.,可知。礦 .一,廠,一一,三厶六一,。 一,.麗一? 玩甜/。魯 下面利用引理.的注,可有,厶五玩詈 厶、;.厶。魯,。蕓一.厶。魯,一,;石,玩冬 廠厶一,通過引理.,有一,。魯一礦% 憶礦蘭?,.廠玩蕓%尸計 ,/那么魯, 弘 “髫”。厶,.于是 變?,厶、/一為/挖第章 豐要定理及其證明字?。等, 。一,?弋一,石.魯一;?一;?上。等

23、,一,利用.,我們町以得到丘。魯。一。一,四一習心鐘?冪叩一吣剮由條件【】中的體積比較條件,可知存在叩。,使得叩一;.。一石玩甜;那么,應用上面兩式,.變?yōu)?。魯 /一.蹦馴等叩一;?。一;一;丘。罷一,由.知丘。魯?丘。譬川,?當一時,將迭代應用于.,可得到.川州馴其叫.,.通過不等式,我們可得,厶五第章 手要定理及其證明三冬四三。.玩蕓.冬君 專一,.。主目況 當 我 有一一,們丘艏上。詈,一,;. .字.;一,.。由上述兩種情況可知:.厶?.馴.;其中嘉一弘,皤另一方面,.一,。.一,而。魯利用引理.,.變?yōu)?以 , ?廠。 口一。兄廠 卅?靜。營 。魯。魯.運用引理.的注,有,?靜印刀

24、,魯, ,; 郴朋壙¨缸。魯然而,魯卜“% 川叩圳弩,一/?。;。罷第章 主要定理及其證明,凹 。石竽; 肇。一石.一;.。一三 硭.石?凹?一芻整理上式可得:里。,、一、?。一;?丘。罷,一,.?。其帕。蘭警;?磚坶一;.對于百,運用引理.,可得到一,厶五旦上。魯,印一,囂. ,蚤?殺一,?,。詈.?。.旦.殺一?,.其中圭矗讓,運用.不等式,得?。.。?川”?川.?印?礦?叩一?通過引理.和引理.,可得上。,號等一,以。,咖.。,等一,生孑?川倒馴寺制二。小引咋刊叫?.將.代入.,有川甜第章 豐要定理及其證明.喏.。一百.鐘,刊卯小,衛(wèi)“暌?。, 擴?滬.護.一,.衛(wèi)¨

25、一,”?。 厶厶印一,.喏.。一:.乳 孕廠厶曠?.一,.。?一吾.只./。盯一,.口郴如缸厶川印?一,再估計厶。于是利用.,川印.壙一,。箸卿,一, .將.代入.,有川新礦.。一石.習而/厶咖川”箸南卵?。?喏?。一罟?竺竺:呈三壽掣.等,厶刊卜弩,利用引理.,.可得川豁掣味郴小告?普 /,、萬厶刪川氣,第章 主要定理及其證明.。?一石?等叫?以。盯。一一?.。?一號.?.”口郴撕寺丌?萬由于詹尚,那么一三.進而.可整理成丘。,。憊一,印一,.。半.。學.喏.。半厶川一至鯊盯二。一 甜島引暇卜普.。半.兩?萬取芝 由【】的體積比較條件,存在叼,使得。卵一塢玩,.于是.轉(zhuǎn)化為, 、面 /、 。

26、/ 。 一面?./. 哪吖。? /。, 。,警面。一赤?:.廠了令%蘭軋魯去,壽赤印 叫南,并應用理 于是 變?yōu)?卜/ ,、?毗吖麗,一叩?擴艫【,一叫一川、一、¨酬馴一厶刊叫叫?。 面訂,砉告盯一砉,。?。/赤訂,÷÷盯一÷。.釅盯一赤.上叩、/郴刪厶川?叩第章 豐要定理及其證明土吖穢.、, 彤仃一卅,丫凇取對于,?和一 啦。一;在 中 ,令、 ,俄,仃吼,于是/舊“礎 .丫,聊化¨厶,川卅一.麗.面了刪印卅。一,赤廠 土 ? 坦艫麗.?。麗? 三轤赤.而. .脅糾 吖 、。一,/ 。一,、赤 .。.四;去?赤吳擊, 豢對.進行迭代,得到,、

27、一啦厶,卜肘土甭艫?面譬四一礦 .、/ 一.瑚 蕓 ?、鼉、 .孤.。.麗.四卜力 一卅參,、 、,“南嘉烈, 、,%?專?四卻土去、.等.協(xié)訂吳南.脅;.麗,講,。?女?¨古吳女?巖?矛嘉? 協(xié)叫第章 主要定理及其證明一、/,川州功. 上 上壯、一、馳 硪 水 , 、,脅面一一 鋤叫:銣托凈上妒上 .撼 , 、,.四;卜。銣去、.象、壹吳、,瓦。.妻方訂五。甜厶五川.吳赤磷上其中蘭吉.四,麗.四。瑚赤于是對于任意,取,使得?忌。?庇。,一。鋤玩玎厶七%新厶六川砂肘一,南啦川歷干?.那么玩景,吳 赤磷廣馴赤妻赤 。五/,一/專 。雄.廠厶“射 俐,。善一。魯,去歹第章 要定理及其證明、兩美女? 券、。瑚/,、龕訓。,。景。囂,妻貴,礦。上印,姜貴?礦?。蕓。丘。魯,川印 歹上印刪,倒.?俐。 上印?.筘州幻.雷礦擊。令蘭上印囈.¨一參們,