課堂導學（1.3.4導數(shù)的實際應用）

1、.課堂導學三點剖析一、利潤最值【例1】 某工廠消費某種產品，該產品的月產量x噸與每噸產品的價格p元/噸之間的關系式為p=24 200-x2，且消費x噸的本錢為R=50 000+200x元.問該廠每月消費多少噸產品才能使利潤到達最大？解：每月消費x噸時的利潤為fx=24 200-x2x-50 000+200x=-x3+24 000x-50 000x0，由fx=x2+24 000=0，解得x1=200,x2=-200舍去.因fx在0,+內只有一個點x=200使fx=0，故它就是最大值點，且最大值為f200=-2003+24 000×200-50 000=3 150 000.答：每月消費2

2、00噸產品時利潤到達最大，最大利潤為315萬元.溫馨提示 用導數(shù)解應用題，求最值一般方法是求導，使導數(shù)等于0，求y=0的根，求出最值點，最后寫出解答.二、生活中的優(yōu)化問題【例2】 某廠消費x件產品的本錢為c=25 000+200x+x2元.1要使平均本錢最低，應消費多少件產品？2假設產品以每件500元售出，要使利潤最大，應消費多少件產品？解：此題已經直接給出了函數(shù)關系式，可用導數(shù)求最值的方法直接求解.1設平均本錢為y元，那么y=x0，y=.令y=0,得x1=1 000,x2=-1 000舍去.當在x=1 000附近左側時，y0；在x=1 000附近右側時，y0；故當x=1 000時，y獲得極小

3、值.由于函數(shù)只有一個點使y=0，且函數(shù)在該點有極小值，那么函數(shù)在該點獲得最小值，因此要使平均本錢最低，應消費1 000件產品.2利潤函數(shù)為L=500x-25 000+200x+=300x-25 000-.L=300x-25 000-=300-.令L=0，得x=6 000，當x在6 000附近左側時，L0；當x在6 000附近右側時L0，故當x=6 000時，L獲得極大值.由于函數(shù)只有一個使L=0的點，且函數(shù)在該點有極大值，那么函數(shù)在該點獲得最大值.因此，要使利潤最大，應消費6 000件產品.三、導數(shù)在生活中優(yōu)化問題的應用【例3】 如下圖，水渠橫斷面為等腰梯形.1假設渠中流水的橫斷面積為S，水面

4、的高為h，當水渠側邊的傾斜角為多大時，才能使橫斷面被水浸濕的周長為最?。?假設被水浸濕的水渠側邊和水渠底面邊長都等于a，當水渠側邊傾斜角多大時，水流的橫斷面積為最大？解：1依題意，側邊BC=h·sin-1，設下底AB=x，那么上底CD=x+2hcot，又S=2x+2hcoth=x+hcoth，下底x=Sh-hcot,橫斷面被水浸濕周長l=0.l=.令l=0，解得cos=,=.根據實際問題的意義，當=時，水渠橫斷面被水浸濕的周長最小.2設水渠高為h，水流橫斷面積為S，那么S=a+a+2acos·h=2a+2acos·asin=a21+cos·sin02.S

5、=a2-sin2+1+coscos=a22cos-1cos+1.令S=0，得cos=或cos=-1舍，故在0，內，當=時，水流橫斷面積最大，最大值為S=a21+cossin=.各個擊破類題演練 1 A、B兩地相距200千米，一只船從A地逆水到B地，水速為8千米/時，船在靜水中的速度為v千米/時8vv0.假設船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v=12千米/時時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度為多少？解：設每小時的燃料費為y1，比例系數(shù)為kk0，那么y1=kv2，當v=12時，y1=720.720=k,122,得k=5.設全程燃料費為y,由題意y=令y

6、=0,v=16.當v016時，v=16時全程燃料費最??；當v016時，即v8,v0時y0，即y在8,v0上為減函數(shù)，當v=v0時，ymin=.綜上，當v016時， v=16千米/時全程燃料費最省，為32 000元；當v016時，那么v=v0時全程燃料費最省，為.變式提升 1 某種型號的電器降價x成1成為10%，那么銷售數(shù)量就增加mx成mR+.1某商店此種電器的定價為每臺a元，那么可以出售b臺.假設經降價x成后，此種電器營業(yè)額為y元，試建立y與x的函數(shù)關系，并求m=時，每臺降價多少成其營業(yè)額最大？解：由條件知降價后的營業(yè)額為y=a1-xb1+mx=ab-mx2+m-1x+1.當m=時，y=abx

7、2+x+1.y=abx+.令y=0,x=，即x=時，ymax=ab，即降價0.1成時，營業(yè)額最大.類題演練 2 用邊長為120 cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接成水箱.問：水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？最大容積是多少？解：設水箱底邊長為x cm，那么水箱高為h=60-cm.水箱容積V=Vx=x2h=60x2-0x120cm3.Vx=120x-x2.令Vx=0，得x=0舍或x=80.當x在0，120內變化時，導數(shù)Vx的正負如下表：x0,808080,120Vx+0- 因此在x=80處，函數(shù)Vx獲得極大值，并且這個極大值就

8、是函數(shù)Vx的最大值.將x=80代入Vx，得最大容積V=802×60-=128 000 cm3.答：水箱底邊長取80 cm時，容積最大.其最大容積為128 000 cm3.變式提升2 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底半徑應怎樣選取，才能使所用材料最?。拷猓涸O圓柱的高為h，底面半徑為R，那么外表積S=2Rh+2R2,由V=R2h，得h=，那么SR=2R·+2R2=+2R2.令SR=+4R=0，得R=，從而h=2,即h=2R,所以當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省.類題演練3 如以下圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉

9、淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米.流出的水中該雜質的質量分數(shù)與a、b的乘積成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當a、b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數(shù)最小A、B孔的面積忽略不計？解：設y為流出的水中雜質的質量分數(shù)，那么y=，其中k0為比例系數(shù).依題意，即所求的a、b值使y值最小.根據題設，有4b+2ab+2a=60a0,b0得b=0a30,于是y=,y=0時，a=6或a=-10舍去.由于此題只有一個極值點，故a=6，b=3為所求.變式提升3 有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的兩側，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？解：設BCD=,那么BC=,CD=40·cot0，AC=50-40cot.設總的水管費用為f.依題意，有f=3