偽均勻隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)

1、 偽均勻隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)摘要現(xiàn)代社會(huì)中，計(jì)算機(jī)能力的提高使得隨機(jī)數(shù)發(fā)生器在眾多領(lǐng)域中有了較為廣泛的應(yīng)用，如蒙特卡羅方法，統(tǒng)計(jì)抽樣技術(shù)和密碼學(xué)等。同時(shí)關(guān)于隨機(jī)數(shù)發(fā)生器也產(chǎn)生了很多的理論和方法，本文將簡單介紹一些常見的偽均勻隨機(jī)數(shù)發(fā)生器：線性同余發(fā)生器（LCG方法）和反饋位移寄存器法（FSR方法）。然后對(duì)偽均勻隨機(jī)數(shù)序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。主要檢驗(yàn)方法有參數(shù)檢驗(yàn)（包括均值、方差或各階距）、均勻性檢驗(yàn)（包括卡方、柯氏和序列檢驗(yàn)）、獨(dú)立性檢驗(yàn)（包括相關(guān)系數(shù)、列聯(lián)表和游程檢驗(yàn)）。最后，本文將利用Matlab生成一列隨機(jī)數(shù)，并運(yùn)用SPSS統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)此列隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性擇其適合的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。關(guān)鍵詞：偽隨機(jī)數(shù)；

2、隨機(jī)數(shù)發(fā)生器；統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；SPSS統(tǒng)計(jì)分析AbstractIn modern society, the improvement of computer capabilities make random number generator widely used in many areas, such as the Monte Carlo method, statistical sampling techniques and cryptography. At the same time there are a lot of theories and methods on the random num

3、ber generator, I will introduce some of the common random number generators briefly in this article: linear congruential generator (LCG method) and feedback shift register method (FSR method) . Then I will do statistical tests with the sequence of random numbers . Main methods are: parameter test (i

4、nvolving the mean, variance, or the order from) ,the test of homogeneity (involving Chi-square, Coriolis and sequence test), test for independence (involving the correlation coefficient, contingency table and the runs test. Finally ,this paper will use the Matlab generate a sequence of random number

5、s, use SPSS and select the appropriate test methods to test statistical properties of the sequence of random numbers.Key words: random number, random number generator, statistical test,SPSS statistical analysis目錄摘要IAbstractII一、引言11基本概念和定理12 偽隨機(jī)數(shù)2二、產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一般方法32.1 取中法32.1.1 平方取中法3乘積取中法32.2 同余發(fā)生器3混合同余法

6、4乘同余法4加同余法42.3反饋位移寄存器法4三、偽均勻隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)63.1 檢驗(yàn)步驟63.2 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量63.3 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法7參數(shù)檢驗(yàn)7均勻性檢驗(yàn)8獨(dú)立性檢驗(yàn)10其他經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)12四、實(shí)例分析134.1 數(shù)據(jù)產(chǎn)生及錄入134.2 參數(shù)檢驗(yàn)-單樣本t檢驗(yàn)134.3均勻性檢驗(yàn)-卡方檢驗(yàn)144.4獨(dú)立性檢驗(yàn)164.5本章小結(jié)18五、結(jié)論19參考文獻(xiàn)20附錄21一、引言在科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)中廣泛應(yīng)用到計(jì)算機(jī)模擬方法，從而常常需要產(chǎn)生大量的具有特定統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)。這種隨機(jī)數(shù)通常是由計(jì)算機(jī)以某種數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生，他們實(shí)質(zhì)上是完全確定的，但可以滿足一定的統(tǒng)計(jì)特征，故也稱為偽隨機(jī)數(shù)。而如何產(chǎn)生達(dá)到統(tǒng)計(jì)要求

7、的隨機(jī)數(shù)，則有不同的方法：硬件方法和軟件方法。硬件方法可以在計(jì)算機(jī)上附上一個(gè)硬件設(shè)備或者采用移位寄存器來產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)；軟件方法一般都采用數(shù)學(xué)公式法。至今關(guān)于隨機(jī)數(shù)發(fā)生器有很多的理論和方法，其中除了傳統(tǒng)的Fibonacci法、平方取中法、線性同余法、位移寄存器法和組合方法外，最近還有非線性同余法、取小數(shù)法、進(jìn)位加和錯(cuò)位減法、廣義反饋位移寄存器法等等。盡管這個(gè)領(lǐng)域己經(jīng)有很多的理論研究，但是仍存在很多的實(shí)際問題，甚至最近提出的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器也有一些缺點(diǎn)。近年來在計(jì)算機(jī)中，比較廣泛使用的方法就是同余法，而在高級(jí)程序設(shè)計(jì)語言中常采用線性同余法。每次生成的偽隨機(jī)數(shù)需要滿足獨(dú)立的條件及給定分布函數(shù)的要求，但高

8、級(jí)程序設(shè)計(jì)語言中提供的庫函數(shù)產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)都是滿足一定條件的均勻分布隨機(jī)數(shù)，且在同一次程序運(yùn)行中，每次產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)是完全相同的。通過在微機(jī)上對(duì)用乘同余法和混合同余法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行大量的試驗(yàn)， 發(fā)現(xiàn)通過適當(dāng)選擇算法中的各常量， 用這兩種方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，其分布特性一般容易通過統(tǒng)計(jì)撿驗(yàn)。用隨機(jī)模擬方法解決實(shí)際問題時(shí)，首先要清楚隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法，或者說是隨機(jī)變量的抽樣方法。1基本概念和定理 定義1: 設(shè)隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量隨機(jī)抽樣序列為分布的隨機(jī)數(shù)。 若，則稱來自的隨機(jī)抽樣序列為正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)；若服從指數(shù)分布，則稱為指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)；若區(qū)間均勻分布，則稱為區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)數(shù)。 定理1 設(shè)是

9、連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)上升的分布函數(shù)，它的反函數(shù)存在，且記為即。若隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則。若隨機(jī)變量，則的分布函數(shù)為。推論 已知，設(shè)是一個(gè)分布函數(shù)，且反函數(shù)存在，則。 定理2：設(shè)服從二點(diǎn)分布相互獨(dú)立，且令 =+（用二進(jìn)制表示） 則定義2：(準(zhǔn)均勻分布) 設(shè)離散隨機(jī)變量的概率密度為： 則稱為準(zhǔn)均勻分布，且。2 偽隨機(jī)數(shù)顯然，用計(jì)算機(jī)只能產(chǎn)生準(zhǔn)均勻隨機(jī)分布數(shù)，但是當(dāng)很大時(shí)，和均勻隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)差異很小，可以把準(zhǔn)均勻隨機(jī)數(shù)做偽均勻隨機(jī)數(shù)。二、產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一般方法2.1 取中法 平方取中法平方取中法又稱自然取中法，首先由Von Neuman于1940年提出， 此法開始取一個(gè) 2 位十進(jìn)制整數(shù)作為種子，將

10、其平方得到的一個(gè)4位數(shù)（不足4位的高位補(bǔ)0），然后取該4位中間 2位作為下一種子數(shù)，并對(duì)此數(shù)進(jìn)行規(guī)格化（化成小于1的2位的實(shí)數(shù)值），依上述過程類推便得到一維隨機(jī)數(shù)列。其一般的遞推公式是：的中間2位數(shù)字；按此公式依次得到一列數(shù)據(jù)，然后把這列數(shù)據(jù)的每一個(gè)元素都除以 ，可得到0,1區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)列。乘積取中法乘積取中法是通過平方取中法改進(jìn)得到的一種產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法，其一般遞推公式為：式中：第 n+1 個(gè)十進(jìn)制的正整數(shù)；第 n+1 個(gè)偽隨機(jī)數(shù)。 此方法雖然簡單，但均勻性不好，且序列很快趨于零，其長度難以確定，故目前已很少使用。2.2 同余發(fā)生器該發(fā)生方法是目前應(yīng)用最廣泛的方法之一，通常我們把它

11、簡稱為LCG（Linear Congruence Generator）方法，它是由 Lehmer 在1951年提出的。此方法是利用數(shù)論中的同余運(yùn)算來產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的，故稱之為同余發(fā)生器。LCG 方法的一般遞推公式為： 其中初值為，為模數(shù)，為乘子（乘數(shù)），為增量（加數(shù)），且，均為非負(fù)整數(shù)。顯然由上式得到的（=1,2,）滿足：。從而。當(dāng)然，遞推公式中的參數(shù)，的選擇十分關(guān)鍵。否則，進(jìn)行了一定次數(shù)的迭代之后會(huì)出現(xiàn)短周期的重復(fù)現(xiàn)象，因而我們應(yīng)慎重選取。當(dāng)參數(shù)，選擇不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的方法會(huì)有稍稍的不同，具體的討論如下：混合同余法當(dāng)上面的式中參數(shù)0，1時(shí)，則稱之為混合同余法，或者稱為混合式LCG。乘同余法 當(dāng)式中=

12、0時(shí)的LCG方法稱為乘同余法，或是積式發(fā)生器。具體表示式如下： ，初值為。加同余法當(dāng)式中時(shí)，稱之為加同余法。具體表示式為：，初值為雖說此方法可于以達(dá)到最大的周期，而且計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)比較方便。但是和上面的混合同余法、乘同余法對(duì)比，驗(yàn)證得出：該方法得到的隨機(jī)數(shù)列性質(zhì)相對(duì)較差。所以，一般常用的是混合同余法和乘同余法。2.3反饋位移寄存器法隨著 LCG 方法的應(yīng)用，人們漸漸發(fā)現(xiàn)其缺陷并開始尋找新的隨機(jī)數(shù)發(fā)生方法。因此，通過大家的努力，在1965年以 Tausworthe 的相關(guān)論文為基礎(chǔ)，出現(xiàn)了幾種比較好的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。它的主要原理是通過對(duì)寄存器進(jìn)行位移，直接在存儲(chǔ)單元中形成隨機(jī)數(shù)。我們稱這種方法為反饋位

13、移寄存器法（Feedback Shift Register Methods）,簡稱之為 FSR 方法。其線性遞推公式為： 其中為給定正整數(shù)，或?yàn)榻o定的常數(shù)。1971年，Toot hill、Robinson 和 Adams 又給出了 FSR 的另一遞推公式： 其中是次數(shù)小于的且系數(shù)為0或1的多項(xiàng)式。而且0為正整數(shù)。三、偽均勻隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)偽均勻隨機(jī)數(shù)的有效性在于它們與真正的區(qū)間上均勻隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)是否有顯著差異。這是一個(gè)重要的問題。因?yàn)槎呷粲酗@著差異，這時(shí)以這種隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)為基礎(chǔ)的隨機(jī)變量所得到的樣本就不能夠反映該隨機(jī)變量的性質(zhì)，從而無法得到可靠的隨機(jī)模擬結(jié)果。因此隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的檢

14、驗(yàn)是一項(xiàng)很重要的工作。一般情況下，會(huì)有兩種不同的檢驗(yàn)方法：經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)和理論檢驗(yàn)。經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，它是以發(fā)生器產(chǎn)生的均勻隨機(jī)數(shù)序列為基礎(chǔ)的，根據(jù)區(qū)間上均勻總體簡單隨機(jī)樣本的性質(zhì)，如特征向量、均勻性、隨機(jī)性等，研究我們產(chǎn)生的隨機(jī)序列的相應(yīng)性質(zhì)，進(jìn)行比較、借鑒、視其差異是否顯著決定取舍。理論檢驗(yàn)從統(tǒng)計(jì)意義上說并不是一種檢驗(yàn)，它用一種綜合的方法來評(píng)估發(fā)生器的參數(shù)值，而根本不必產(chǎn)生任何隨機(jī)數(shù)序列，即它只是一種理論上的研究。由于理論檢驗(yàn)方法需要專門學(xué)科的知識(shí)，數(shù)學(xué)上又相當(dāng)難，我們這里只討論經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)的幾種方法，通常稱為統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。3.1 檢驗(yàn)步驟首先假設(shè)總體具有某種統(tǒng)計(jì)特性，然后由樣本值檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否

15、可信，此法又稱假設(shè)檢驗(yàn)，具體步驟如下：提出假設(shè)：總體分布為；選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，其中是樣本，并求出在成立時(shí)的分布；給定顯著水平，確定檢驗(yàn)方法，即給出否定域:使得 由觀測(cè)值（樣本值）計(jì)算值；做統(tǒng)計(jì)判斷，當(dāng)時(shí)否定；當(dāng)時(shí)，相容。3.2 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 根據(jù)中心極限定理得到近似正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量設(shè)是相互獨(dú)立同分布，且，記=，則以為極限分布。統(tǒng)計(jì)量將總體的簡單子樣按一定規(guī)則分為互不相交的個(gè)組，記第組的觀測(cè)頻數(shù)為，若隨機(jī)變量屬于第組的概率為，記理論頻數(shù)，由構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從，其中是附加在概率分布上獨(dú)立約束條件的個(gè)數(shù)即確定概率時(shí)利用樣本估計(jì)總體參數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，。3.3 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法參數(shù)檢驗(yàn)均勻隨機(jī)數(shù)的參數(shù)檢驗(yàn)是檢驗(yàn)

16、由某個(gè)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列的均值、方差和各階矩陣等與均勻分布的理論值是否有顯著差異。若隨機(jī)變量，則若是均勻總體的簡單隨機(jī)樣本，即相互獨(dú)立同分布，記，。則有： ；。設(shè)是某個(gè)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，首先對(duì)特征量作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。在是均勻總體的簡單隨機(jī)樣本的假設(shè)下，統(tǒng)計(jì)量 漸進(jìn)服從。給定顯著性水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)值表得：()，否定域。由隨機(jī)數(shù)序列計(jì)算的值，若，則認(rèn)為產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列的特征向量與均勻總體的特征量沒有顯著差異；否則，由于的特征量與均勻總體的特征量有顯著差異，故不能認(rèn)為是均勻總體的簡單樣本。我們用SPSS做參數(shù)檢驗(yàn)時(shí)用單樣本t檢驗(yàn)。單樣本t檢驗(yàn)的目的是利用來自某總體的樣本數(shù)據(jù)，推斷該樣本的均值是否

17、與指定的檢驗(yàn)值之間存在顯著差異。它是對(duì)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)。單樣本t檢驗(yàn)的原假設(shè)為：總體均值與檢驗(yàn)值之間不存在顯著差異，表述為：，為總體均值，為檢驗(yàn)值。對(duì)單個(gè)總體均值的推斷是建立在單個(gè)樣本均值基礎(chǔ)上的，也就是希望利用樣本均值去估計(jì)總體均值。構(gòu)造t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：，其中為樣本方差。式中，t統(tǒng)計(jì)量服從n-1個(gè)自由度的t分布。SPSS將自動(dòng)計(jì)算出t統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值和對(duì)應(yīng)的概率P-值。給定顯著性水平，與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率P-值比較。若概率P-值小于顯著性水平，則應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為總體均值與檢驗(yàn)值之間存在顯著差異；反之，則不應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為總體均值與檢驗(yàn)值之間無顯著差異。均勻性檢驗(yàn) 隨機(jī)數(shù)的均勻檢驗(yàn)又稱為頻率

18、檢驗(yàn)，它用來檢驗(yàn)由某個(gè)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列是否均勻的分布在區(qū)間上。也就是檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率的差異是否顯著。 檢驗(yàn) 卡方檢驗(yàn)基本思想的理論依據(jù)是：如果從一個(gè)隨機(jī)變量中隨機(jī)抽取若干個(gè)觀察樣本，這些觀察樣本落在的個(gè)互不相交的子集中的觀察頻數(shù)服從一個(gè)多項(xiàng)分布，這個(gè)多項(xiàng)分布在趨向于無窮時(shí)近似服從卡方分布。設(shè)使待檢驗(yàn)的一組隨機(jī)數(shù)，假設(shè)：為均勻總體的簡單樣本。 將區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間，以表示第個(gè)小區(qū)間，設(shè)落入第個(gè)小區(qū)間的數(shù)目為。 根據(jù)均勻性假設(shè)，落入每個(gè)小區(qū)間的概率為，第個(gè)小區(qū)間的理論頻數(shù)，統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從，給定顯著性水平，查分布表得臨界值后，即可對(duì)經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率的差異作顯著性檢驗(yàn)。若的概率P-值小于顯

19、著性水平，則應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為樣本來自的總體分布與期望分布或某一理論分布存在顯著差異；反之，則不能拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為樣本來自的總體分布與期望分布或某一理論分布不存在顯著差異。K-S檢驗(yàn)（柯氏檢驗(yàn)）K-S（柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫）檢驗(yàn)的原假設(shè)是：樣本來自的總體與指定的理論分布無顯著差異。其基本思路是：首先，在原假設(shè)成立的前提下，計(jì)算各樣本觀測(cè)值在理論分布中出現(xiàn)的累計(jì)概率值；其次，計(jì)算各樣本觀測(cè)值的實(shí)際累計(jì)概率值；計(jì)算實(shí)際累計(jì)概率值與理論累計(jì)概率值的差；最后，計(jì)算差值序列中最大絕對(duì)差值，即。統(tǒng)計(jì)量也稱為K-S統(tǒng)計(jì)量。在小樣本下，原假設(shè)成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量服從柯氏分布。在大樣本下，原假設(shè)成立時(shí)，近似服

20、從分布：當(dāng)小于0時(shí)，為0；當(dāng)大于0時(shí)，=若統(tǒng)計(jì)量的概率P-值小于顯著性水平，則應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為樣本來自的總體分布與給定的分布存在顯著差異；反之，則不能拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為樣本來自的總體分布與給定的分布不存在顯著差異。 序列檢驗(yàn)（Serial test）序列檢驗(yàn)實(shí)際上是用于多維分布的均勻性檢驗(yàn)，它也間接地檢驗(yàn)序列的獨(dú)立性。已知隨機(jī)數(shù)序列，將容量為的隨機(jī)數(shù)一次配對(duì)為： 如果是均勻隨機(jī)數(shù)序列，那么他們應(yīng)該構(gòu)成平面上正方形內(nèi)的二維均勻隨機(jī)向量的樣本。將單位正方形分成個(gè)等面積的小正方形，表示落入第個(gè)小正方形的頻數(shù)；理論頻數(shù)。則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在為均勻分布的獨(dú)立抽樣序列成歷史漸進(jìn)的服從。以上二維的序列檢驗(yàn)可以

21、推廣到三維、四維直至一般的維。即對(duì)依次用不相交的階組合：，它們應(yīng)該是在單位維超立方體中均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)樣本。把區(qū)間分為個(gè)相等的小區(qū)間，相應(yīng)地把單位維超立方體分成個(gè)小立方體，用表示落入第個(gè)超立方體的個(gè)數(shù)。統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從。這種維均勻分布的檢驗(yàn)（序列檢驗(yàn)）間接地檢驗(yàn)了的獨(dú)立性。獨(dú)立性檢驗(yàn) 獨(dú)立性檢驗(yàn)主要檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)序列之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是否顯著。它通常包括以下幾種檢驗(yàn)方法： 相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn) 兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)反映它們之間線性相關(guān)程度，若兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立，則它們的相關(guān)系數(shù)必為零（反之不一定），故可以利用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)的獨(dú)立性。設(shè)是待檢驗(yàn)的一組隨機(jī)數(shù)，原假設(shè)：相關(guān)系數(shù)。考慮樣本的階自相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系

22、數(shù)范圍為：，當(dāng)時(shí)，表示變量的線性相關(guān)性較弱。SPSS將自動(dòng)計(jì)算自相關(guān)系數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)誤差，概率P-值，若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率P-值小于給定的顯著性水平，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為變量存在線性相關(guān)性；若相反，則不應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為變量間不存在線性相關(guān)性。當(dāng)充分大，且成立時(shí)，漸進(jìn)服從分布。利用統(tǒng)計(jì)量可以進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。 相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn) 另外，的階自相關(guān)系數(shù)還可以定義為： 其中，。 記，則可以證明：，這時(shí)檢驗(yàn)假設(shè)可以用檢驗(yàn)假設(shè)來代替。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量為：利用統(tǒng)計(jì)量可進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。 列聯(lián)表檢驗(yàn)在平面上，將單位正方形分成個(gè)相等的小正方形，把個(gè)隨機(jī)數(shù)按先后順序兩兩分組，例如?。?，其中，為大于1的正數(shù)。記這些數(shù)對(duì)落入第個(gè)小正方形內(nèi)

23、的數(shù)目為令：， 用表示落入第個(gè)小正方形內(nèi)的概率。當(dāng)獨(dú)立性假設(shè)成立時(shí)， 其中，表示隨機(jī)數(shù)落入第列的概率，表示落入第行的概率。用最大似然法可得： 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：漸進(jìn)服從，其中是用樣本來估計(jì)的個(gè)數(shù)，故，所以。其他經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)如最值檢驗(yàn)，最值檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)偽均勻隨機(jī)數(shù)序列的最大值和最小值。四、實(shí)例分析 本文利用Matlab中的Rand函數(shù)來產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列并運(yùn)用作者學(xué)過的SPSS統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)隨機(jī)數(shù)序列做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。4.1 數(shù)據(jù)產(chǎn)生及錄入打開Matlab，在工作窗口輸入指令：shuju=1*rand（1000,1）+0，點(diǎn)擊“Enter”即得到1000個(gè)數(shù)據(jù)。而由于SPSS無法直接讀取MATLAB data fil

24、e格式的數(shù)據(jù)，因此我們先將產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)導(dǎo)入一個(gè)電子表格中，命名為“shuju”這樣，SPSS就可以直接讀取了，步驟為：選擇菜單【File】-【Open】-【Data】，選擇數(shù)據(jù)文件的類型“.xls”，并輸入文件名“shuju”，出現(xiàn)下圖： 我們默認(rèn)將Excel工作表中的全部數(shù)據(jù)讀入，直接點(diǎn)擊“ok”。得到界面如下： 4.2 參數(shù)檢驗(yàn)-單樣本t檢驗(yàn)單樣本t檢驗(yàn)在本例中的原假設(shè)可以表述為：=0.5。操作步驟：選擇菜單【Analyze】-【Compare Means】-【One-samples T Test】出現(xiàn)如下圖所示的窗口：將數(shù)據(jù)選擇到【Test Variable（s）】，并將【Test Va

25、lue】中的0改為0.5，點(diǎn)擊“ok”，得到以下結(jié)果：由第一張表可知：Matlab產(chǎn)生的1000個(gè)01之間的隨機(jī)數(shù)的均值是0.51723，標(biāo)準(zhǔn)差是0.28536，均值標(biāo)準(zhǔn)誤差是0.09024。從第二張表我們看到這組數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值是1.909，自由度為999，t統(tǒng)計(jì)量的雙尾概率P值是0.057，顯然P> (=0.05)，則不應(yīng)拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值與檢驗(yàn)值之間無顯著差異：樣本均值與檢驗(yàn)值的差是0.01723（它除以均值標(biāo)準(zhǔn)誤差0.09024后得到t統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值），最后兩列是總體均值與原假設(shè)值差的95%的置信區(qū)間為（-0.00048，0.03494），由此計(jì)算出總體均值的95%的

26、置信區(qū)間為（0.49952，0.53494），這表示我們有95%的把握認(rèn)為總體均值在0.499520.53494之間，0.5包含在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，這也證明了總體均值與檢驗(yàn)值之間無顯著差異。4.3均勻性檢驗(yàn)-卡方檢驗(yàn)本例中卡方檢驗(yàn)的原假設(shè)可以表述為：樣本數(shù)據(jù)的分布與（0,1）上的均勻分布無顯著差異。但在做卡方檢驗(yàn)之前，需要將數(shù)據(jù)分組。我們將這1000個(gè)數(shù)據(jù)分為十組，即各組為：00.10000、0.100010.20000、0.200010.30000、0.900011。操作步驟如下：選擇菜單【Tansform】-【Recode】-【Into Different Variables】，選擇分組變量到【

27、Numeric Variable->Output】框中，在【Output Variable】框中的【Name】后輸入存放分組結(jié)果的變量名，并按“change”確認(rèn)。也可在【Lable】后輸入相應(yīng)的變量名標(biāo)簽，再按“Old and New values”按鈕進(jìn)行分組區(qū)間的定義。如下圖：然后進(jìn)行卡方檢驗(yàn)。操作步驟如下：選擇菜單【Analyze】-【Nonparametric Tests】-【Chi-Square】，出現(xiàn)如下窗口：選擇待檢驗(yàn)的變量到【Test Variable List】框中。在【Expected Values】框中給出理論值，我們默認(rèn)為“All categories equal”(即表示所有子集的頻數(shù)都相等)。得到下表：第一個(gè)表的第二列是指每組的頻數(shù)，第三列是理論頻數(shù)，第四列是實(shí)際頻數(shù)與理論頻數(shù)的差；第二個(gè)表是計(jì)算的卡方統(tǒng)計(jì)量以及對(duì)應(yīng)的概率P-值，若選擇的顯著