數(shù)學建模章紹輝版第四章作業(yè)

1、第四章作業(yè)第二題：針對嚴重的交通情況，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局發(fā)布的國家標準，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml的為醉酒駕車。下面分別考慮大李在很短時間內(nèi)和較長時間內(nèi)（如2個小時）喝了三瓶啤酒，多長時間內(nèi)駕車就會違反新的國家標準。1、問題假設大李在短時間內(nèi)喝下三瓶啤酒后，酒精先從吸收室（腸胃）吸收進中心室（血液和體液），然后從中心室向體外排除，忽略喝酒的時間，根據(jù)生理學知識，假設3D（1） 吸收室在初始時刻t=0時，酒精量立即為；在任意時刻，酒精從吸收室吸收進2中心室的速率（吸收室在單位時

2、間內(nèi)酒精含量的減少量）與吸收室的酒精含量成正比，比例系數(shù)為k1；（2） 中心室的容積V保持不變；在初始時刻t=0時，中心室的酒精含量為0;在任意時亥L酒精從中心室向體外排除的速率（中心室在單位時間內(nèi)酒精含量的減少量）與中心室的酒精含量成正比，比例系數(shù)為k2;（3） 在大李適度飲酒沒有酒精中毒的前提下，假設匕和卜2都是常量，與飲酒量無關(guān)。2、符號說明酒精量是指純酒精的質(zhì)量，單位是毫克；酒精含量是指純酒精的濃度，單位是毫克/百毫升；t時刻（小時）；x（t）在時刻t吸收室（腸胃）內(nèi)的酒精量（毫克）；D。兩瓶酒的酒精量（毫克）；c（t）在時刻t吸收室（血液和體液）的酒精含量（毫克/百毫升）；C2（t）

3、在時刻t中心室（血液和體液）的酒精含量（毫克/百毫升）；V中心室的容積（百毫升）；ki酒精從吸收室吸收進中心室的速率系數(shù)（假設其為常數(shù)）；k2酒精從中心室向體外排除的速率系數(shù)（假設其為常數(shù)）；k3在短時間喝下三瓶酒的假設下是指短時間喝下的三瓶酒的酒精總量除以中心室體積，即3D。/2V；而在較長時間內(nèi)（2小時內(nèi)）喝下三瓶酒的假設下就特指3D。/4V.3、模型建立和求解（1）酒是在很短時間內(nèi)喝的:記喝酒時刻為t 0 （小時），設c（0） 0,可用C2（t）印3kik2kite 1來計算3D2V 155.79.fzero 函數(shù)和血液中的酒精含量，此時ki、k2為假設中所示的常數(shù)，而k3卜面用MATL

4、AB程序畫圖展示血液中酒精含量隨時間變化并且利用fminbnd函數(shù)來得到飲酒駕車醉酒駕車對應的時間段，以及血液中酒精含量最高的時刻。MATLAB?序如下：k1=;k2=;k3=;c=(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);f=c-20;g=(t)c(t)-80;h=(t)-c(t);t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12),t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12)t3,c3=fminbnd(h,0,24)fplot(c,0,20,'k')holdonplot(0,20,20,

5、20,'k',0,20,80,80,'k')holdoffxlabel('時刻t(小時)，從開始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml)')title('短時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含量隨時間的變化過程')gtext(',20)')gtext(',20)')gtext(',80)')gtext(',80)')gtext(',')運行結(jié)果如下：t1=t2=t3=c3=所繪圖形如下：短時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含

6、量隨時間的變化過程(1.307,122.25)/1量含精酒的中液血(0.38052,80) (4.1125,80)(11.589,20)(0.06891,20)468101214161820時刻t(小時)，從開始喝酒算起結(jié)果分析:所以，當t0.06891,0.38052)(4.1125,11.589時，20c(t)80,屬飲酒駕車。當t0.38052,4.1125時，屬醉酒駕駛；當t1.307時，血液中的酒精含量最高為毫克/百毫升。(2)酒是在2小時內(nèi)喝的：可假設三瓶啤酒是在2小時內(nèi)勻速喝的.同樣記喝酒時刻為t0(小時)，設c(0)0,則吸收室的酒精量x1(t)滿足分段的初值問題dx1,3D。

7、小、八八八k1X1,X1(0)0,0t2dt4dX13D02k1、-k1X1,X2(2)-(1e"),t2dt4kl解得3-D0(1ek1t)0t24kiXi(t)4-D0(e2k11)ek1tt24于是中心室內(nèi)的酒精含量C2（t）滿足分段的初值問題dc2dtdc2dt解得k2c2k3(1e klt)k2c2k7e k1tC2(0)0,0 t 2c2(2)k8,t2c2(t)k4e k1tk5e k2tk60 t2k10e k2tkge k1tt2其中3D0卜3卜水4k32klk3小 , ， k4 ， k5, k6 = 1 , k7k3(e1)4Vk1k?k?k2% k4e 2k1k

8、5e 2k2k6, k9-7, K°k8e2k2%e2(k2k1k2k1)因為 k1 2.0079 , k2 0.1855 以及 D0/V 103.86 ,所以k377.896,k442.743,k5462.66,k6419.92k74243.1,k8101.43,k92328.3,k10207.82下面用 MATLAB程序畫圖展示血液中酒精含量隨時間變化并且利用fzerofminbnd函數(shù)來得到飲酒駕車醉酒駕車對應的時間段，以及血液中酒精含量最高的時刻。函數(shù)和MATLAB?序如下：k1=;k2=;k3=;k4=;k5=;k6=;k9=;k10=;c1=(t)(k4.* exp(-k

9、1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+.(k10.* exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t).*(t>2);f1=(t)c1(t)-20;g1=(t)c1(t)-80;h1=(t)-c1(t);t1(1)=fzero(f1,1);t1(2)=fzero(f1,12),t2(1)=fzero(g1,1);t2(2)=fzero(g1,12),t3,c3=fminbnd(h1,0,20)fplot(c1,0,20,'k')holdonplot(0,20,20,20,'k',0,20,8

10、0,80,'k')holdoffxlabel('時刻t(小時)，從開始喝酒算起')ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml)')title('短時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含量隨時間的變化過程')gtext(',20)')gtext(',20)')gtext(',80)')gtext(',80)')gtext(',')運行結(jié)果如下：t1=t2=t3=c3=所繪圖形如下:短時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含量隨時間的變化過程(2.6328,115.

11、74)l量含精酒的中液血o o o o nV 0 8 6 4 2(1.6366,80)(5.1412,80)(0.62321,20)(12.62,20)12002468101214161820時刻t(小時)，從開始喝酒算起結(jié)果分析：所以，當t0.62321,1.6366)(5.1412,12.62時，20c(t)80,屬飲酒駕車。當t1.6366,5.1412時，屬醉酒駕駛；當t2.6328時，血液中的酒精含量最高，為毫克/百毫升.下面用圖形比較兩種不同假設下血液中酒精含量的變化過程。MATLAB?序如下：k1=;k2=;k3=;k4=;k5=;k6=;k9=;k10=;C=(t)(k1.*k

12、3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t);c1=(t)(k4.*exp(-k1.*t)-k5.*exp(-k2.*t)+k6).*(t>=0&t<=2)+.(k10.*exp(-k2.*t)-k9.*exp(-k1.*t).*(t>2);plot(0:20,c(0:20),'k',0:20,c1(0:20),'k'2c1(2),'.k')xlabel('時刻t(小時)，從開始喝酒算起)ylabel('血液中的酒精含量(mg/100ml)')title('短

13、時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含量隨時間的變化過程)legend('很短時間內(nèi)喝三瓶啤酒,'兩小時內(nèi)勻速喝下三瓶啤酒,'函數(shù)的分段點)所繪圖形如下：短時間喝下三瓶酒時，血液中酒精含量隨時間的變化過程很短時間內(nèi)喝三瓶啤酒兩 小時內(nèi)勻速喝下三瓶啤 酒函數(shù)的分段點140120100806002468101214161820時刻t (小時)，從開始喝酒算起40200第四題：研究將鹿群放入草場后，草和鹿兩個種群的相互作用，草的生長服從Logistic規(guī)律,年固有增長率，最大密度為3000個密度單位，在草最茂盛時，每只鹿每年吃掉個密度單位的草，若沒有草，鹿群的年死亡率高達，而在草最茂

14、盛的時候草對鹿的死亡的補償率為。1、建立差分方程組模型，比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的兩種草場的情況下，草和鹿兩個種群的數(shù)量演變過程。(1)符號說明：xk第k年草場的密度單位yk第k年草場上鹿的數(shù)量r草場上草的年固有增長率a由于捕食導致的草的密度單位減少的速度大小d如果沒有草，鹿群的年死亡率b草對鹿群死亡的補償率N草的最大密度單位(2)模型的建立與求解:基于以上假設，由于草的生長服從Logistic模型，建立差分方程組模型如下所示:xk 1yk iXkrxk(1停節(jié),bXkykykdykN令 xk 1 xkx, yk iyk y ,與上述方程組聯(lián)立得到平衡點為印0,0)、

15、P(N,0)、P2(dN rN (b d)ab以下用MATLAB；現(xiàn)差分方程組模型。MATLA翼序如下：n=20;r=;a=;b=;d=;N=3000;t=1:n+1;x1(1)=1000;y1(1)=100;fork=1:nx1(k+1)=x1(k)+r*x1(k)*(1-x1(k)/N)-a*x1(k)*y1(k)/Ny1(k+1)=y1(k)-d*y1(k)+b*x1(k)*y1(k)/Nendsubplot(221),plot(t,x1,'k”t,y1,'kv'),axis(-1,21,0,3000),xlabel('第k年'),ylabel(&

16、#39;數(shù)量'),gtext('草密度'),gtext('鹿數(shù)量'),title('草和鹿隨時間的演變');subplot(2,2,2),plot(x1,y1,'ko'),axis(1000,3000,0,1000),xlabel('草密度'),ylabel('鹿數(shù)量'),title('相平面圖');x2(1)=3000;y2(1)=100;fork=1:nx2(k+1)=x2(k)+r*x2(k)*(1-x2(k)/N)-a*x2(k)*y2(k)/Ny2(k+1)=y2(

17、k)-d*y2(k)+b*x2(k)*y2(k)/Nend鹿數(shù)量 '),subplot(223),plot(t,x2,'k”t,y2,'kv'),axis(-1,21,0,3000),xlabel('第k年'),ylabel('數(shù)量'),gtext('草密度'),gtext('title('草和鹿隨時間的演變');subplot(2,2,4),plot(x2,y2,'ko'),axis(1000,3000,0,1000),xlabel('草密度'),ylabe

18、l('鹿數(shù)量'),title('相平面圖');運行結(jié)果如下：x1=Columns1through810001480Columns9through161550Columns17through21y1=Columns1through810060Columns9through16Columns17through21x2=Columns1through83000284025702149Columns9through1616981907Columns17through21y2=Columns1through8100160Columns9through16Columns17

19、through21所繪圖像如下：草和鹿隨時間的演變30001000o O o O o O2 1密度量數(shù)鹿相平面圖1500200025003000草密度相平面圖OO5量數(shù)鹿o o O o o O o o O3 2 1OV000101500200025003000草密度由圖像中可以看出p2(dN,rN(bd)為漸進穩(wěn)定的平衡點。b'ab2、建立常微分方程組模型，重做以上問題記草和鹿在第t年的數(shù)量分別記為x x(t)和 yy(t),其余的符號假設與(1)相同,建立常微分方程組模型為: dx出dy1出rx(1dy_x) axy N N bxyN令 rx(1 )N箸0且dykbxyN0 ,得到常

20、微分方程組的臨界點為P(N,0)、p2(dN rN(b d),以下運用數(shù)值解，方向場和特征線等技巧，用 b ' abP0(0,0)、matlab 繪制常微分方程組的解曲線圖，并加以分析。為了消去方程中的參數(shù)t,將兩式相除，得到：之一Ndy1bxydxrx(Nx)axy當將100頭鹿放入密度為1000與密度為3000的草場中，初始值分別為x(0)1000,y(0)100與x(0)3000，y(0)100.利用matlab實現(xiàn)上述過程的源程序與運行結(jié)果如下：函數(shù)m文件：functiondx=fun(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-x(1)/3000)*x(1

21、)*x(2)/3000;dx(2)=*x(2)+*x(1)*x(2)/3000;主程序：t1,x1=ode45('fun',0:20,1000100);t1,x1subplot(2,2,1)plot(t1,x1(:,1),'.-k',t1,x1(:,2),'.-k'),gridonaxis(02003000)title('草和鹿隨時間的演變(x_0=1000)')gtext('草密度'),gtext('鹿數(shù)量')xlabel('第k年'),ylabel('數(shù)量')subplot(2,2,2)plot(x1(:,1),x1(:,2),'.-k'),gridonaxis(100030000800)title('相平面圖(x_0=1000)')xlabel('草密度'),ylabel('鹿數(shù)量')t2,x2=ode45('fun',0:20,3000100);t2,x2subplot(2,2