數(shù)學教師數(shù)學知識的性質(zhì)及對其大學數(shù)學教育的啟示

1、數(shù)學教師數(shù)學知識的性質(zhì)及對其大學數(shù)學教育的啟示方勤華信陽師范學院數(shù)學與信息科學學院，河南信陽464000摘要：關(guān)于數(shù)學教師數(shù)學知識的研究，已由對其應該具有的數(shù)學知識量的關(guān)注，轉(zhuǎn)移到對其應該具有的數(shù)學知識性質(zhì)的關(guān)注，并且教師數(shù)學學科知識與數(shù)學教學內(nèi)容知識的關(guān)系成為討論的主要線索。研究啟示培養(yǎng)教師的大學數(shù)學系：應該認識到教師需要的數(shù)學知識與數(shù)學家數(shù)學知識性質(zhì)的不同，應該考慮為教師的數(shù)學準備建構(gòu)專門的課程，應該注意組織數(shù)學教學的方式要滿足教師將來中學數(shù)學教學的要求。關(guān)鍵詞：數(shù)學教師；數(shù)學知識；大學數(shù)學教育在數(shù)學教育中，有許多話題反映教師數(shù)學知識對教好數(shù)學的重要這一強烈信念，“教師不可能教他（她）所不

2、知道的”、“教師必須具有所教學科的知識。”的確，數(shù)學知識是教師有效教學所需要的各種技能的依托。然而，多年來，教師需要的數(shù)學知識的性質(zhì)，始終是困惑教師教育者的重要問題。系統(tǒng)梳理關(guān)于教好數(shù)學所需數(shù)學知識的研究，將對職前教師教育計劃、在職教師專業(yè)發(fā)展項目，以及為教師準備數(shù)學，提供有意義的啟示。1教師數(shù)學知識的性質(zhì)在對有效教學的研究中，美國研究者率先在20世紀60年代，將數(shù)學教師的數(shù)學知識作為調(diào)查變量，探討教師的數(shù)學知識怎樣影響教學效率等問題。起初，他們往往把教師的數(shù)學知識，定義為成功完成大學水平的數(shù)學課程的數(shù)量、學科平均等級、甚至在標準化成績考試中的得分。然而，研究并沒有得到一致的結(jié)論，教師的數(shù)學知

3、識與學生的成就不是線性的正比例關(guān)系。近些年來，中外很多學者都注意到了教師所需數(shù)學知識的特定性，并將其與數(shù)學家的數(shù)學知識進行了區(qū)分1-6。這使研究不再使用相關(guān)技術(shù)，去測量教師知識的某種量度與他們的學生成就之間的相互關(guān)系了，而是關(guān)注教學本身，圍繞著教學需要的數(shù)學知識展開了一系列研究。這樣，就出現(xiàn)了對教師需要的數(shù)學知識的多種理解。理解的不同，主要集中在“數(shù)學教學內(nèi)容知識”是否包含在數(shù)學知識之中，甚至出現(xiàn)了“為教學的數(shù)學知識基金項目：河南省科技廳項目“基于新課程的高中數(shù)學教師數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)研究（092400430068）”；信陽師范學院2009年度教學改革研究項目“職前數(shù)學教師有效教學研究（050943

4、）”作者簡介：方勤華（1968-）,女，河南潢川人，博士、副教授，主要從事數(shù)學課程與教學論研究(mathematicsknowledgeforteaching”)。1.1 數(shù)學學科知識包含數(shù)學教學內(nèi)容知識關(guān)于教師學科知識的理解中，匹茲堡大學研究組對教師學科知識的定義最為寬泛。如，該派研究者(見文獻7)(P8),把教師知識分為課堂結(jié)構(gòu)知識和學科知識兩大核心領(lǐng)域。其中，數(shù)學學科知識包括數(shù)學概念、過程、它們的相互聯(lián)系、對學生錯誤類型的理解以及課程的表述。他們進一步把學科知識的功能解釋為“選擇例題、解釋表達、示范的一種資源”。他們對“學科知識”的定義，包含文獻8的“內(nèi)容知識”和“教學內(nèi)容知識”兩個方面

5、。在他們后來關(guān)于教師學科知識的研究中，對學科知識的定義更為寬泛，“包括表征和呈現(xiàn)內(nèi)容，以利于培養(yǎng)學生學習和建構(gòu)有意義的理解；還包括學生(主要是小學生)帶到學習情境中的知識，也就是促進或阻礙學生學習特定任務的知識”9(P91)。這樣，除“教學內(nèi)容知識”外，“學生學習的知識”也被包括進來?？傊?，該小組把教師的學科知識構(gòu)成，看作是某一數(shù)學題材的知識與怎樣教該題材知識的混合物，而且，他們往往更注意后者。1.2 數(shù)學學科知識與數(shù)學教學內(nèi)容知識各自分開斯坦福大學研究組，主要關(guān)注中學教師所教各科目的知識，其中，一些研究集中在“教數(shù)學的知識(knowledgeforteachingmathematics)”方

6、面。他們接受文獻8對教師知識的分類，把學科知識和教學內(nèi)容知識分開討論。該派有研究代表，提供了一個教師教數(shù)學的知識模型，把“數(shù)學學科知識”看作“是數(shù)學知識，但與特定的教和學數(shù)學無關(guān)”；“一般教學知識”是“直接與教和學有關(guān)，但不考慮數(shù)學”；“數(shù)學教學知識”是“教和學數(shù)學的知識”7(P10)。由于他的研究主要關(guān)注點在教學內(nèi)容知識上，所以沒有對學科知識做出清楚地解釋。但對教師的“學科知識”、“一般教學知識”和“教學內(nèi)容知識”進行了區(qū)分。1.3 數(shù)學學科知識與數(shù)學教學內(nèi)容知識融為一體密歇根州立大學研究組、指導教師數(shù)學知識研究中心的負責人10，解釋了“為教學的數(shù)學知識”的特點，并開發(fā)了一個概念框架。與把數(shù)

7、學知識解構(gòu)成各個成分相反，她和同事開始描述特定教學情境中可能需要或使用的數(shù)學知識。她們承認教學實踐的復雜和豐富，并強調(diào)數(shù)學教學對數(shù)學的高要求。她論述了美國教師數(shù)學知識的缺陷，并舉例說明，解決問題的辦法不只是要求教師學習更多的大學數(shù)學課程。在后來的文章中，她及合作者又指出，對專門化的數(shù)學知識性質(zhì)的不透徹理解，將使世界范圍內(nèi)改善教師教育質(zhì)量的良好意圖受挫。于是，她和她的研究團隊11，提出了“為教學的數(shù)學知識”的模型。該模型包括四部分內(nèi)容：(1)共同的內(nèi)容知識(commoncontentknowledge)(學校課程中的數(shù)學知識，簡稱CCK);(2)專門化的內(nèi)容知識(specializedconte

8、ntknowledge)(教師在實踐中使用的數(shù)學知識，但是超越了學校課程，簡稱SCK)；(3)內(nèi)容和學生的知識(knowledgeofcontentandstudents)(位于關(guān)于學生的知識和關(guān)于數(shù)學的知識的交叉點上，例如，對某一數(shù)學概念學生最常見誤解的知識，簡稱KCS)；以及(4)內(nèi)容和教學的知識(knowledgeofcontentandteaching)(位于關(guān)于教學和關(guān)于數(shù)學的知識的交叉部分，例如，形成一個足夠的介紹某給定概念的順序的知識，簡稱KCT)。前兩個領(lǐng)域即教師的數(shù)學學科知識，后兩個領(lǐng)域即通常所說的教學內(nèi)容知識。該模型的建構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學學科知識與數(shù)學教學內(nèi)容知識一體化的思想。

9、國內(nèi)也有研究者12-13日漸注意到教學內(nèi)容知識在教學中的重要，并對此做了系統(tǒng)的專門研究。還有研究14通過對一節(jié)課的分析，說明有效的課堂教學是學科知識和學科教學知識(即本文教學內(nèi)容知識)兩者的有機融合?？傊瑢?shù)學學科知識與數(shù)學教學內(nèi)容知識關(guān)系的討論說明，研究者已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，教師數(shù)學知識的性質(zhì)與純粹的數(shù)學學科知識不同，它和數(shù)學教學內(nèi)容知識有著不可分割的關(guān)系，但是一種獨特的存在。2 教師數(shù)學知識性質(zhì)的討論對教師數(shù)學教育的啟示關(guān)于教師數(shù)學知識性質(zhì)的不同理解，啟示為教師準備數(shù)學的大學本科數(shù)學教育，應注意以下幾個方面的問題。2.1 應該認識到教師數(shù)學知識與數(shù)學家知識的不同“為教學的數(shù)學知識”的最初提出，源于

10、對教師需要的數(shù)學知識與其在大學里所學數(shù)學專業(yè)知識的不同，即與數(shù)學家數(shù)學知識的不同。其實，德國學者1(P76)早就對“作為一門科學的數(shù)學知識(knowledgeoftheacademicdiscipline)”與“學校數(shù)學知識(knowledgeofschoolmathematics)”進行了區(qū)別。最近又有學者6將作為一門科學的數(shù)學知識，稱為學術(shù)數(shù)學知識(knowledgeofacademicmathematics)，即由專業(yè)數(shù)學家創(chuàng)造并組織的知識體系，對教師教育來說，相當于大學數(shù)學里的數(shù)學知識；把學校數(shù)學知識稱為與學校教學實踐要求有關(guān)的數(shù)學知識。他們結(jié)合具體的數(shù)學內(nèi)容研究，得出結(jié)論：學術(shù)數(shù)學不

11、會“自然地”成為學校數(shù)學教學實踐的有用工具，因為它的一些觀念和組織數(shù)學對象的形式，與教學實踐的要求相沖突；從學術(shù)上的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為教學上的知識，需要“再情境化”的很多努力。因此，為教師準備數(shù)學知識的大學數(shù)學教育，首先應該認識到教師數(shù)學知識與數(shù)學家知識的不同，而后才能為教師在教學中能夠應用所學數(shù)學知識做出進一步地努力。2.2 應該考慮是否需要建構(gòu)一門新的數(shù)學課程“為教學的數(shù)學知識”與培養(yǎng)數(shù)學家(如準備讀數(shù)學研究生的學生)所需要的數(shù)學知識的不同，促使教師教育者思考，是否需要為準備當教師的數(shù)學系學生建構(gòu)一門新的數(shù)學課程，比如，“教學用的數(shù)學”(mathematicsforteaching)。在以往，

12、我國高師院校數(shù)學系的課程改革始終擺脫不了“學術(shù)性”與“師范性”之爭的困擾。如，在數(shù)學專業(yè)課程的設(shè)置上，完全向綜合性大學看齊，還是削減課程或降低某些課程的要求，往往成為改革的主要問題。有論者指出，“只把大綱中的主題重新排列次序或者在已經(jīng)很膨脹的大學教學計劃中再加一些課題，并不能解決問題。對中學教師在大學中應該學到什么，列一個清單也沒有用”3，文獻6的研究結(jié)果為這一論斷提供了一個作證。因此，如果大學在為教師準備數(shù)學時，關(guān)注的焦點依然放在數(shù)學專業(yè)課程的增減上，師范院校畢業(yè)的學生在數(shù)學教學上的優(yōu)勢，可能還將會是模棱兩可的。一些師范院?！艾F(xiàn)代數(shù)學和中學數(shù)學”課程的建設(shè)與開設(shè)，應該是在此方面的一項十分有意

13、義的努力。文獻4對建構(gòu)“教學用的數(shù)學”課程進行了設(shè)想。假設(shè)我們能為中學教師建構(gòu)一種課程，嚴格地說，就數(shù)學內(nèi)容而言，這種課程與當前的中學課程相符合，并且真正地將為學生提供機會，來考察高中數(shù)學課程的概念鑲嵌在大學數(shù)學課程中的什么位置，還要從高觀點看初等數(shù)學，或形成對“基礎(chǔ)數(shù)學的深刻理解”，這可能將意味著，需要為教師設(shè)計一些特別地課程，以打破“對數(shù)學專業(yè)有好處就對職前教師有好處”的傳統(tǒng)認識。文獻3也對建構(gòu)這種性質(zhì)的數(shù)學課程提出了要求：“數(shù)學對于科學，工程和體育的應用已經(jīng)成了許多大學課程的支柱了。為什么不把數(shù)學對于數(shù)學教學的應用也列人大學課程中去呢？”美國研究者和數(shù)學教育工作者已經(jīng)并正在為怎樣描述和討

14、論這些數(shù)學知識努力，并把它叫作“教學用的應用數(shù)學"(appliedmathematicsforteaching)。所有這些思想都建基于文獻8教學內(nèi)容知識的概念上。進一步地，文獻4還對教學用的數(shù)學知識的一些特點進行了總結(jié)。除了對中學階段所教內(nèi)容有深刻理解，這個水平上的數(shù)學教師也要能夠使用其他有數(shù)學特點的知識，如：(1)在別人的論述中發(fā)現(xiàn)邏輯或者發(fā)現(xiàn)別人表征的意義；(2)決定哪幾種數(shù)學思想最有前景，決定什么是重點；(3)形成并解釋數(shù)學思想之間的連接；(4)把一種數(shù)學思想放在更為寬闊的數(shù)學背景之中；(5)選擇數(shù)學上便利的表征；(6)和在簡化其他方面特征幫助學生理解數(shù)學思想的同時，保持數(shù)學思

15、想的本質(zhì)特征。這些種類的數(shù)學活動，對在課堂中與學生圍繞內(nèi)容直接互動、做課時計劃、為課堂和評價設(shè)計任務以及糾正學生的錯誤，等等類型的教學是根本。不難發(fā)現(xiàn)，這些知識也是教師做出教學決定和判斷的基礎(chǔ)。然而，這些有數(shù)學特點的知識，在現(xiàn)有的數(shù)學專業(yè)課程中還沒有明確地體現(xiàn)。2.3 應該注意組織數(shù)學教學的方式“您是怎么學的，就會怎么教”，“如果我們希望優(yōu)秀的教師教學有效，并且能按他們受教的方式來教學，我們就應該按照數(shù)學家是怎樣做的，而不是怎樣說的，來組織大學里的教學”3。的確，教好數(shù)學應該知道許多現(xiàn)成的數(shù)學知識，但教師也需要知道或體會到所學的數(shù)學知識是怎樣得來的；教師需要具有一些判斷哪些問題在數(shù)學的發(fā)展中是

16、關(guān)鍵的感覺或經(jīng)驗；教師還需要有判斷什么數(shù)學在中學里是應該強調(diào)的本領(lǐng)。這種要求啟示，大學數(shù)學教學“要幫助在職教師建立一個在他們所教的主題中挖掘數(shù)學本質(zhì)的習慣，方法之一就是，在念大學課程時就很明顯地培養(yǎng)這種習慣”3。然而，大學數(shù)學教學中，“違反教學法的顛倒”的現(xiàn)象，還普遍存在。即發(fā)明者從來不把發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的曲折過程寫出來，只把完好的結(jié)果呈現(xiàn)給讀者，教學者往往會落入這個圈套，在課堂中只注重把現(xiàn)成結(jié)果一步一步呈現(xiàn)出來，不去探究結(jié)果背后的發(fā)現(xiàn)過程。事實上，正如許多數(shù)學家所描述的那樣，數(shù)學家關(guān)起房門做的和一年半載以后發(fā)表的東西面目相去甚遠。數(shù)學家做數(shù)學的過程，往往充滿了錯誤的假設(shè)，大量的計算和試驗，還有許

17、多特例。他們把需要證明的東西化成許多引理，而引理的證明則是尚未得到的；把證明放在這些引理和一些細節(jié)上，直到肯定它們確實有效才去證明它們；連著幾小時的計算，找邏輯聯(lián)系，直到沉溺其中，從老思想中看出過去沒有看到的連接和新的聯(lián)系。他們暫時不去管他們所做的是否正確，是否漂亮，可否深信，演繹方法用得是否純粹，他們需要的就是解決問題的線索。因此，相對于傳統(tǒng)教學中的直接表述數(shù)學結(jié)果，教師也需要看到數(shù)學結(jié)果是怎樣做出來的。這是兩件不同的事情。3 結(jié)語對“為教學的數(shù)學知識”性質(zhì)的認識，使教師教育者開始注意到，教師所需要的數(shù)學知識與數(shù)學家數(shù)學知識的不同。教師需要深入地理解數(shù)學，也要理解它在教學中的應用，理解數(shù)學思

18、想怎樣跨越學科進行整合，并能夠在學生的表述或書面作業(yè)中看見數(shù)學。教師教育者還要思考為教師準備的數(shù)學是否也應該和普通院校數(shù)學系學生（那些準備讀數(shù)學研究生的學生）有所不同，以及如何為教師準備“教學用的數(shù)學知識”。這些都對大學本科的數(shù)學教學計劃提出了挑戰(zhàn)，無疑，大學需要為教師創(chuàng)造本科數(shù)學和中學數(shù)學之間的連接。以下是三種可能的連接方式4：一是數(shù)學取向，職前教師應該從高觀點研究中學數(shù)學，以形成對數(shù)學的深刻理解；二是綜合取向，把數(shù)學內(nèi)容和教學課程的目標整合起來，以使教師能夠更好地看到連接，并且隨后使用它們；三是一種新興的方法，分析教學實踐并且判斷教師在他們的教學實踐中依靠什么數(shù)學知識，然后把數(shù)學教學實踐中

19、的真實的數(shù)學“問題”作為學習數(shù)學的場所，利用解決問題時出現(xiàn)的數(shù)學學習機會，即，使用教學的實際工作作為一個開始點思考教師的數(shù)學準備。當然，研究也提請為教師準備數(shù)學的大學數(shù)學教學注意，不能使未來教師沉溺于中學數(shù)學課程內(nèi)容中、或一般的教學和學習問題中，而不能向大學數(shù)學內(nèi)容延伸。參考文獻：1 R.Bromme.超越于題材內(nèi)容之外的：教師專業(yè)知識的心理學結(jié)構(gòu)M/數(shù)學教學理論是一門科學(pp.74-93)C上海：上海教育出版社，19982 鄭毓信創(chuàng)造未來簡論高水準數(shù)學教師的培養(yǎng)J杭州教育學院學報，2000，(3)：1-63齊民友編譯.教學用的數(shù)學J.數(shù)學通報，2004,(6):封二至第2頁.4 Ferri

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