喀興林高等量子力學(xué)習(xí)題EX1矢量空間

1、EX1.矢量空間練習(xí) 1.1 試只用條件（1）（8）證明，和。（完成人：梁立歡 審核人：高思澤）證明：由條件（5）、（7）得 只需證明和這兩式互相等價 根據(jù)條件（7） 現(xiàn)在等式兩邊加上，得 根據(jù)條件（4）， 上式左 根據(jù)條件（4）、（2） 上式右 由，根據(jù)條件（4）、（7）得 #練習(xí) 1.2 證明在內(nèi)積空間中若對任意成立，則必有。（完成人：谷巍 審核人：肖鈺斐）證明 由題意可知，在內(nèi)積空間中若對任意成立，則有,=0 (1)于是有 (2)由于在內(nèi)積空間中對任意成立，則可取,則有=0 成立 （3）根據(jù)數(shù)乘的條件（12）可知，則必有 （4）即故命題成立，即必有.#練習(xí)1.3 矢量空間運(yùn)算的12個條件

2、是不是獨(dú)立的？有沒有一條或兩條是其余各條的邏輯推論？如有，試證明之。（完成人：趙中亮 審核人：張偉）解：矢量空間運(yùn)算的12個條件是獨(dú)立的。#練習(xí) 1.4 （1）在第二個例子中若將加法的規(guī)定改為：和矢量的長度為二矢量長度之和，方向?yàn)槎噶克鶌A角的分角線方向，空間是否仍為內(nèi)積空間？（2）在第二個例子中若將二矢量內(nèi)積的定義改為或，空間是否仍為內(nèi)積空間？（3）在第三個例子的空間中，若將內(nèi)積的定義改為 空間是否仍為內(nèi)積空間？（4）在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為 空間是否仍為內(nèi)積空間？（完成人：張偉 審核人：趙中亮）解：（1）在第二個例子中若將加法的規(guī)定改變之后，空間不是內(nèi)積空間。因?yàn)閷⒁?guī)定

3、改之后對于任意的矢量不一定存在逆元，如一個不為零的矢量設(shè)為，則任意矢量和它相加后，得到的矢量的長度不為零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空間不是內(nèi)積空間。（2）在第二個例子中若將內(nèi)積的定義改之后，空間不是一個內(nèi)積空間。證明如下：一般情況下，,即有=所以內(nèi)積的定義改變之后不是內(nèi)積空間。（3）在第三個例子中若將內(nèi)積的定義改之后，空間仍然是一個內(nèi)積空間。證明如下：iiiiiiiv.，對任意成立若綜上所述，新定義的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）條件（12），所以仍為內(nèi)積空間（4）在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為后，空間不是內(nèi)積空間。因?yàn)?，積分號內(nèi)的函數(shù)是一個奇函數(shù)，它不能保證對于任意的

4、積分出來后都大于零，即不符合條件(12)，所以不是內(nèi)積空間。在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為后，空間是內(nèi)積空間。證明如下:i ii iii iv 若，則必有綜上所述，新定義的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）條件（12），所以仍為內(nèi)積空間。 #練習(xí) 1.5若a為復(fù)數(shù)，證明若時，Schwartz不等式中的等號成立。（完成人：肖鈺斐 審核人：谷?。┳C明：當(dāng)若時，分別帶入Schwartz不等式的左邊和右邊。左邊=右邊=左邊=右邊，說明當(dāng)時，Schwartz不等式中的等號成立。#練習(xí)1.6 證明當(dāng)且僅當(dāng) 對一切數(shù)成立時，與正交。并在三維位形空間討論這一命題的幾何意義。（完成人：趙中亮 審核人：張偉）證

5、明：解：當(dāng)對一切數(shù)成立時，有 即 得 即 因?yàn)榭梢匀∫磺袛?shù),所以當(dāng)取純虛數(shù)時，即得 由此得只能是實(shí)數(shù)當(dāng)取非零實(shí)數(shù)時，即 只有時，即與正交時才成立所以 當(dāng) 對一切數(shù)成立時，與正交。當(dāng)與正交時，則 取為任意數(shù)則 得 即 對一切數(shù)成立綜上，當(dāng)且僅當(dāng) 對一切數(shù)成立時，與正交。 在三維位形空間中，這一命題的幾何意義是：對角線相等的平行四邊形是矩形。#練習(xí)1.7 證明：當(dāng)且僅當(dāng)對一切數(shù)成立時，與正交。（完成人：班衛(wèi)華 審核人：何賢文）證明：因?yàn)?，兩邊平方得則構(gòu)成以為變量的二次函數(shù)，要使對一切成立，判別式恒小于等于零，即只需即得所以當(dāng)對一切數(shù)成立時，與正交。練習(xí)1.8在四維列矩陣空間中，給定四個不正交也不全

6、歸一的矢量：它們構(gòu)成一個完全集，試用Schmidt方法求出一組基矢。（完成人：肖鈺斐 審核人：谷?。┙猓河蒘chmidt方法，所求基矢：#練習(xí)1.9 在上題中，改變四個的次序，取重新用Schmidt方法求出一組基矢。（完成人：何賢文 審核人：班衛(wèi)華） 解：由空間中不滿足正交歸一條件的完全集，求這個空間的一組基矢. （1）首先取為歸一化的： （2）取，選擇常數(shù)使與正交，即 得 ， 取為歸一化的： （3）取，選擇常數(shù)和使與正交，即 歸一化的為 （4）取，選擇常數(shù)使與已選定的正交，即 歸一化的為 則找到一組基矢為 .#練習(xí) 1.10 在三維位形空間中，是在互相垂直的x，y，z三個軸上的單位矢量。取三

7、個歸一化的矢量： （高思澤） 在內(nèi)積就是點(diǎn)乘積的定義下它們并不正交?，F(xiàn)在改變正交的定義：定義這三個矢量，互相正交。1. 證明：定義一個歸一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一種內(nèi)積規(guī)則。2. 求出這個新的內(nèi)積規(guī)則，即將任意兩個矢量，的內(nèi)積表為和的函數(shù)。3. 驗(yàn)證所求的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）（12）。4. 用驗(yàn)證所求出的內(nèi)積規(guī)則。1證明： 在一個歸一化的完全集里面的矢量集合里，任意的兩個矢量正交，根據(jù)矢量的正交 性定義，兩個矢量和的內(nèi)積為零，即。2解： 由，與，的關(guān)系，可得到如下變換：由上面的關(guān)系得：由此， 定義，互相正交，有矢量的正交性，得由此可得 3 證明：當(dāng)時，只有x,y,z都同時

8、等于0才能滿足，即。綜上所述，所求的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）（12）。4，見（2）#練習(xí)1.11 在n維空間中，已知，i=1,2,3.,n是一組完全集（不一定正交），現(xiàn)在有n個矢量，i=1,2,3.,n（也不一定正交），定義 D= 證明線性相關(guān)的必要和充分條件維D=0。（完成人：何賢文 審核人：班衛(wèi)華）解：對于矢量空間的n個矢量的集合，有，此式是關(guān)于n個矢量的集合的齊次方程組 （1）若線性相關(guān)，則滿足至少有一組非零解，則要求： 即 D=0 若D=0，則方程（1）必有非零解，即滿足有一組不為零的復(fù)數(shù)使得 故線性相關(guān)。#練習(xí) 1.12 一個矢量空間有兩個不同的子空間S1 和S2，證明除去以下兩種情況

9、外，包括S1的全部元和S2的全部元的那個集合并不是子空間：（1 S1是S2的子空間或S2是S1的子空間；（2 S1和S2其中之一只含有零矢量一個元。（完成人：張偉 審核人：趙中亮）證明：（1）設(shè)子空間S1 和S2的維數(shù)分別為m，n，它們共同的基矢的個數(shù)為個，當(dāng)S1不是S2的子空間且S2不是S1的子空間時，它們之間含有不同的基矢。則當(dāng)S1空間的一個矢量和S2空間的一個矢量做加法的時，它們得到的矢量并不能一定在包括S1的全部元和S2的全部元的那個集合中找到，因?yàn)榧臃ê蟮玫降氖噶康木S數(shù)可以大到維，而所以包括S1的全部元和S2的全部元的那個集合并不是矢量空間，從而不是子空間。（2）當(dāng)S1和S2其中之一

10、只含有零矢量一個元時，它必然是另一個子空間的子空間，由此可見(2)只不過是（1）的特例，顯然得證。#練習(xí)1.13 閱讀狄拉克的量子力學(xué)原理§6，分析他建立左矢空間的方法與我們的方法有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn).（完成人：梁立歡 審核人：高思澤）分析：本書從空間的方向入手建立左矢量。我們對現(xiàn)有的一個矢量空間定義了其中矢量的加法、數(shù)乘和標(biāo)量積運(yùn)算，稱此空間為單一空間?，F(xiàn)在對照這個空間再建以下兩個空間。一個叫右矢空間，它的構(gòu)造同單一空間完會一樣，每一個矢量（即右矢）都與單一空間里的矢量相對應(yīng)，這些右矢有加法和數(shù)乘的運(yùn)算，其定義和規(guī)則與單一空間相同。第二空間比照右欠空間來建立，稱為左矢空間，其實(shí)右矢

11、空間的每一個矢量在左矢空間都有一個左矢與其相對應(yīng)。， 左矢空間中的事情不能隨意去規(guī)定，需要同右矢空間的事情相互協(xié)調(diào)，它們通過標(biāo)量積聯(lián)系起來。這樣建立的左矢空間是一個完全確定的（即有明確加法和數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則的）欠量空間。狄拉克是從對偶矢量的方向入手建立左矢量。假定有一個數(shù)C。它是右矢量的函數(shù)， 就是說，對每一個右矢量有一個函數(shù)C與之相應(yīng)，并且進(jìn)一步假定此函數(shù)是線性函數(shù)， 其意義是，相應(yīng)于的數(shù)等于相應(yīng)于的數(shù)與相應(yīng)于的數(shù)之和，相應(yīng)于的數(shù)是相應(yīng)于的數(shù)的倍，其中是任意的數(shù)字因子。這樣，相應(yīng)于任何的數(shù)C，就可以看成是與某個新矢量的標(biāo)量積，對右矢量的每一線性函數(shù)就有一個這樣的新矢量。我們把這種新矢量稱為“左矢量”或簡稱“左矢”。 在此引入的左矢量，是與右矢量完全不同的另一類矢量，而且直到現(xiàn)在。除了左矢量與右矢量之間存在著標(biāo)量積以外，兩者之間還沒有任何聯(lián)系。現(xiàn)在作一個假定：在左矢量與右矢量之間有一一對應(yīng)關(guān)系。使得相應(yīng)于的左矢是相應(yīng)于的左矢與相應(yīng)于的左矢之和。而相應(yīng)于的左矢則是相應(yīng)于的左矢乘以，是c的共軛復(fù)數(shù)，相應(yīng)的左矢可寫成。從以上兩種方法來看，它們是從不同的方向來建立左矢空間的，在此過程中，都對矢量關(guān)系和運(yùn)算問題進(jìn)行了一些假定（或規(guī)定），并且所建立的左矢空間和右矢空間都是通過定義的標(biāo)量積聯(lián)系起來。#練習(xí) 1.14 證明：與所有左矢的內(nèi)積均已給定（但給定值應(yīng)