南京大學(xué)高等代數(shù)期末考試題及答案

1、南京大學(xué)高等代數(shù)2013年期末考試試卷及答案（A卷）一、 填空題（每小題3分，共15分）1、線性空間的兩個(gè)子空間的交2、設(shè)與是n維線性空間 V的兩個(gè)基，由到的過渡矩陣是C，列向量X是V中向量在基下的坐標(biāo)，則在基下的坐標(biāo)是3、設(shè)A、B是n維線性空間V的某一線性變換在不同基下的矩陣，則A與B的關(guān)系是 4、設(shè)3階方陣A的3個(gè)行列式因子分別為：則其特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是5、線性方程組的最小二乘解所滿足的線性方程組是： 二、 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1、 （ ）復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的線性空間可與下列哪一個(gè)線性空間同構(gòu)：（A）數(shù)域P上所有二級(jí)對(duì)角矩陣作成的線性空間；（B）數(shù)域P上所有二級(jí)對(duì)稱矩陣作

2、成的線性空間；（C）數(shù)域P上所有二級(jí)反對(duì)稱矩陣作成的線性空間；（D）復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間。2、（ ）設(shè)A是非零線性空間 V 的線性變換，則下列命題正確的是： （A）A的核是零子空間的充要條件是A是滿射；（B）A的核是V的充要條件是A是滿射； （C）A的值域是零子空間的充要條件是A是滿射； （D）A的值域是V的充要條件是A是滿射。3、（ ）矩陣可逆的充要條件是： 是一個(gè)非零常數(shù)；是滿秩的；是方陣。4、（ ）設(shè)實(shí)二次型（A為對(duì)稱陣）經(jīng)正交變換后化為：， 則其中的是：全是正數(shù)；是A的所有特征值；不確定。5、（ ）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A有三重特征根“”，則A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是：以上各情形皆有可能。

3、三、 是非題（每小題2分，共10分）（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為對(duì)的小題對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“”，否則打“´”）1、（ ）設(shè)V1，V2均是n維線性空間V的子空間，且則。2、（ ）n維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下的矩陣是一對(duì)角矩陣。3、（ ）同階方陣A與B相似的充要條件是與 等價(jià)。4、（ ）n維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣。5、（ ）歐氏空間的內(nèi)積是一對(duì)稱的雙線性函數(shù)。四、 解答題（每小題10分，共30分）1、在線性空間中，定義線性變換：（1）求該線性變換A在自然基：下的矩陣A；（2）求矩陣A的所有特征值和特征向量。2、（1）求線性空間中從基到基的過渡矩陣；（2）求線性空間

4、中向量在基下的坐標(biāo)。 3、在R2中，規(guī)定二元函數(shù)：（1） 證明：這是R2的一個(gè)內(nèi)積。（2） 求R2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。五、 證明題（每小題10分，共30分）1、 設(shè)P3的兩個(gè)子空間分別為： 證明：（1）；（2）不是直和。2、設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，證明 是A的不變子空間的兗要條件是3、已知是n級(jí)正定矩陣，證明：（1）A是正定矩陣；（2）參考答案一、 填空題（每小題3分，共15分）1、線性空間的兩個(gè)子空間的交2、設(shè)與是n維線性空間 V的兩個(gè)基，由到的過渡矩陣是C，列向量X是V中向量在基下的坐標(biāo)，則在基下的坐標(biāo)是3、設(shè)A、B是n維線性空間V的某一線性變換在不同基下的矩陣，則A與B的關(guān)系是

5、 相似關(guān)系 4、設(shè)3階方陣A的3個(gè)行列式因子分別為：則其特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是5、線性方程組的最小二乘解所滿足的線性方程組是： 二、 單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）2、 （ A ）復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的線性空間可與下列哪一個(gè)線性空間同構(gòu)：（A）數(shù)域P上所有二級(jí)對(duì)角矩陣作成的線性空間；（B）數(shù)域P上所有二級(jí)對(duì)稱矩陣作成的線性空間；（C）數(shù)域P上所有二級(jí)反對(duì)稱矩陣作成的線性空間；（D）復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間。2、（ D ）設(shè)A是非零線性空間 V 的線性變換，則下列命題正確的是： （A）A的核是零子空間的充要條件是A是滿射；（B）A的核是V的充要條件是A是滿射； （C）A的值域是零子空間

6、的充要條件是A是滿射； （D）A的值域是V的充要條件是A是滿射。3、（ B ）矩陣可逆的充要條件是： 是一個(gè)非零常數(shù)；是滿秩的；是方陣。4、（ C ）設(shè)實(shí)二次型（A為對(duì)稱陣）經(jīng)正交變換后化為：， 則其中的是：全是正數(shù)；是A的所有特征值；不確定。5、（ A ）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A有三重特征根“”，則A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是：以上各情形皆有可能。三、 是非題（每小題2分，共10分）（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為對(duì)的小題對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“”，否則打“´”）1、（ × ）設(shè)V1，V2均是n維線性空間V的子空間，且則。2、（ ）n維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下的矩陣是一對(duì)角矩陣。3、（ ）同階方陣

7、A與B相似的充要條件是與 等價(jià)。4、（ × ）n維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣。5、（ ）歐氏空間的內(nèi)積是一對(duì)稱的雙線性函數(shù)。四、 解答題（每小題10分，共30分）1、在線性空間中，定義線性變換：（1）求該線性變換A在自然基：下的矩陣A；（2）求矩陣A的所有特征值和特征向量。解：（1）線性變換A在自然基下的矩陣是（5分） （2）因?yàn)?所以矩陣A的所有特征值是 解齊次線性方程組 得矩陣A的所有特征向量：，其中不全為零。 （5分）2、（1）求線性空間中從基到基的過渡矩陣；（2）求線性空間中向量在基下的坐標(biāo)。解：（1）因?yàn)樗?即所求的過渡矩陣為 （5分）（2）因?yàn)楣仕?/p>

8、在基下的坐標(biāo)是： （5分）3、在R2中，規(guī)定二元函數(shù)：（3） 證明：這是R2的一個(gè)內(nèi)積。（4） 求R2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。（1）證明：因?yàn)槭钦ň仃嚕赃@個(gè)二元函數(shù)是R2的一個(gè)內(nèi)積。 （5分）（2）解：考察自然基它的度量矩陣正是令： 再令：則是R2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。 （5分）（2）解法二：考察自然基它的度量矩陣正是 令：即：則 的度量矩陣是E，從而是R2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。五、 證明題（每小題10分，共30分）2、 設(shè)P3的兩個(gè)子空間分別為： 證明：（1）；（2）不是直和。證明：（1）W1的一個(gè)基是：W2的一個(gè)基是：因?yàn)槠渲惺堑纳稍囊粋€(gè)極大無關(guān)組從而是的一個(gè)基，所以 （5分）（2）因即所以不是直和。 （5分）（2）之證法二：因?yàn)樗圆皇侵焙汀?、設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，證明 是A的不變子空間的兗要條件是證明：（充分性）設(shè)有是A的不變子