南師附中高二下期末數(shù)學(xué)

1、南京師大附中江寧分校20112012學(xué)年度第二學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)試卷數(shù)學(xué)I試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分。 1. 已知集合，則_。 2. 如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)_。 3. 已知，則的值為_。 4. 若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線上的概率為_。 5. 已知函數(shù)，則的值為_。 6. 執(zhí)行下邊的程序框圖，若，則輸出的_。 7. 直線平分圓的周長，則_。 8. 等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前三項(xiàng)的和為21，則_。 9. 已知實(shí)數(shù)滿足，若在處取得最小值，則此時_。 10. 在R上定義運(yùn)算：，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是_。 11. 在ABC中，

2、BAC=90°，AB=6，D為斜邊BC的中點(diǎn)，則的值為_。 12. 已知函數(shù)，則該函數(shù)的值域?yàn)開。 13. 把數(shù)列的所有項(xiàng)按照從大到小，左大右小的原則寫成如圖所示的數(shù)表，第行有個數(shù)，第行的第個數(shù)（從左數(shù)起）記為，則可記為_。 14. 如圖放置的邊長為1的正三角形PAB沿軸滾動，設(shè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是，在其兩個相鄰零點(diǎn)間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積記為S，則S=_。二、解答題：本大題共6小題，共計90分。解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 15. （本小題滿分14分）在ABC中，AB=，BC=1，。（1）求的值；（2）求的值。 16. （本小題滿分14分）如圖，矩形A

3、BCD中，AD平面ABE，AE=EB=BC，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE。（1）求證：AE平面BCE；（2）求證：AE平面BFD。 17. （本小題滿分14分）如圖，在半徑為的圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A、C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長，圓柱的體積為。（1）寫出體積V關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)為何值時，才能使做出的圓柱形罐子體積V最大？ 18. （本小題滿分16分）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，），且，設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線和軸的垂線，垂足分別為M、N

4、。（1）求的值；（2）問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，請說明理由；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值。 19. （本小題滿分16分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別A、B，橢圓過點(diǎn)（0，1）且離心率。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)P作PH軸，H為垂足，延長HP到點(diǎn)Q，且PQ=HP，過點(diǎn)B作直線軸，連結(jié)AQ并延長交直線于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)，試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系。 20. （本小題滿分16分）已知等差數(shù)列中，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：；（3）是否存在正整數(shù)，且，使得，成等比數(shù)列？若存在，求出

5、的值，若不存在，請說明理由。數(shù)學(xué)II（附加題） 21. 選做題本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。A. 選修41：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，AB是O的直徑，C是O外一點(diǎn)，且AC=AB，BC交O于點(diǎn)D。已知BC=4，AD=6，AC交O于點(diǎn)E，求四邊形ABDE的周長。B. 選修42：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知二階矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量為，屬于特征值3的一個特征向量為，求矩陣A。C. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)

6、）和圓C的極坐標(biāo)方程：，判斷直線和C的位置關(guān)系。D. 選修45：不等式選講（本小題滿分10分）已知是正數(shù)，證明：。必做題第22題，第23題，每題10分，共計20分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 22. （本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，ABCD，BAD=90°，PA平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4，求二面角的余弦值。23. (本小題滿分10分) 已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑 球現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球。 （1）求取出的4個球均為黑球的概率； （2）求取出的4個球中恰有1個紅

7、球的概率； （3）設(shè)為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（）。【試題答案】數(shù)學(xué)I試題一、填空題： 1. 2. 13. 4. 5. 26. 7. 5 8. 1689. （1，0）10. （2，1）11. 1812. 1，2 13. （10，495）14. 二、解答題 15. 解：（1）在ABC中，由正弦定理得：，即，。（7分）（2）由余弦定理可得：（舍）。（14分） 16. 證明：（1）AD平面ABE，AE平面ABE，ADAE，在矩形ABCD中，有ADBC，BCAE。BF平面ACE，AE平面ABE，BFAE，又BFBC=B，BF，BC平面BCE，AE平面BCE。（7分）（2）

8、設(shè)ACBD=H，連接HF，則H為AC的中點(diǎn)。BF平面ACE，CE平面ABE，BFCE，又因?yàn)锳E=EB=BC，所以F為CE上的中點(diǎn)。在AEC中，F(xiàn)H為AEC的中位線，則FHAE又AE平面BFE，而FH平面BFEAE平面BFD。（14分） 17. 解：（1）連結(jié)OB，設(shè)圓柱底面半徑為，則，即，所以其中。（7分）（2）由，得因此在（0，）上是增函數(shù)，在（，30）上是減函數(shù)。所以當(dāng)時，V有最大值。（14分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故四邊形OMPN面積的最小值。（16分） 19. 解：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)（0，1），所以，又橢圓的離心率得，即，由得，所以，故所求橢圓方程為。（6分）（2）設(shè)，則，設(shè)，HP

9、=PQ，即，將代入得，所以Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上。又A（2，0），直線AQ的方程為，令，則，又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，直線QN與圓O相切。（16分） 20. 解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，。解得，。（4分）（2），。（8分）（3）由（2）知，成等比數(shù)列，即當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，無正整數(shù)解；當(dāng)時，無正整數(shù)解；當(dāng)時，無正整數(shù)解；當(dāng)時，無正整數(shù)解；當(dāng)時，則，而，所以，此時不存在正整數(shù)，且，使得，成等比數(shù)列。綜上，存在正整數(shù)，且，使得，成等比數(shù)列。（16分）數(shù)學(xué)II（附加題） 21. 選做題A. 選修41：幾何證明選講解：AB=AC=，則DE=2四邊形ABDE的周長B. 選修42：矩陣與變換解：設(shè)則C. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：直線消去參數(shù)，得直線的直角坐標(biāo)方程為；即，兩邊同乘以得，得C的直角坐標(biāo)方程為：，圓心C到直線的距離，所以直線和C相交。D. 選修45：不等式選講證明