探索問題的非常規(guī)解法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維

1、探索問題的非常規(guī)解法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維揚中市第二中學(xué) 張克蘭當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展的總趨勢就是發(fā)展思維，培養(yǎng)能力。要達(dá)到這一要求，教師的教學(xué)就必須從要優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)入手，把創(chuàng)新教育滲透到課堂教學(xué)中，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)對創(chuàng)新意識的培養(yǎng)加以重視和提高，如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，是教師在教學(xué)中必須處理和解決的問題，本文想通過解析幾何中求最值問題的一個課堂教學(xué)片段探討如何通過尋求問題的非常規(guī)解法，來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。AOByMx例題：定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標(biāo).題目出示后，同學(xué)們立即想到了運

2、用直線方程采取弦長公式來常規(guī)處理，因此有解：設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0)，AB所在直線方程為y=kx+b代入y2=x得：k2x2+（2kb-1）x+b2=0=4k2b2-4kb+1-4k2b2=-4kb+10|AB|=到這里要求學(xué)生討論怎樣將弦長3與弦AB的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來？有學(xué)生回答x1+x2=2x0， 1-2kb=2x0k2 ，2kb=1-2x0k2 代入得：|AB|=9k4=（1+k2）（4x0k2-1） 解得x0=這里k是變量，如何求這個分式函數(shù)的范圍又是難點，讓學(xué)生展開討論如何進(jìn)行變式轉(zhuǎn)換，若x0=，（令）= t（1，+）由基本不等式得到x0 當(dāng)且僅當(dāng)，k=

3、，b=，即點M的坐標(biāo)為（）和（）我們感到常規(guī)解法對此題型很繁瑣，這題是否有非常規(guī)簡捷的解法呢？如圖若設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0) 啟發(fā)學(xué)生能否轉(zhuǎn)化求x1+x2和的最值，聯(lián)想到焦半徑性質(zhì)，于是有AOFByMx解法二：設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0)在ABF中，|AB|AF|BF| |AF|x1+ |BF|x2+ |AB|3 x1+ x2+2x0+3即 x0 x0取得最值時，弦AB恰好過拋物線焦點，這時再設(shè)焦點弦AB的方程易于求出點M的坐標(biāo)。這種解法比較簡捷，又容易被學(xué)生接受。但要求學(xué)生注意，運用這種解法需要具備一定的條件？學(xué)生會想到只有當(dāng)|AB|=

4、|AF|BF|時才能取得最值，老師再提出滿足|AB|=|AF|BF|的弦AB一定經(jīng)過拋物線的焦點F，是否所有的弦都能經(jīng)過焦點呢？學(xué)生回答是否定的，試問經(jīng)過拋物線焦點的弦必須具備什么條件？通過討論學(xué)生會得出弦AB的長度必須滿足|AB|2p=1，請同學(xué)們思考，若弦AB的長度|AB|2p=1，還能用這種方法解嗎？于是出示AOByMx變題：如果將題中：“定長為3的線段AB”改為“定長為a的線段AB”，則又如何解決？ 分析：學(xué)生感到這里只能運用常規(guī)解法，通過直線方程用弦長公式來處理，因此解：設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0)，AB所在直線方程為y=kx+b代入y2=x得：k2x2+（

5、2kb-1）x+b2=0=4k2b2-4kb+1-4k2b2=-4kb+10|AB|=x1+x2=2x0， 1-2kb=2x0k2 ，2kb=1-2x0k2 代入得：|AB|=a2k4=（1+k2）（4x0k2-1）解得x0=x0=，（令）= 此函數(shù)在 t（0，a）上遞減，在t（a，+）上遞增 （）若a1，當(dāng)t=1時，（ x0）min=，（）若a1，當(dāng) t=a 時， （ x0）min= 此時再求出直線方程得到弦中點的坐標(biāo).對此，我們再啟發(fā)學(xué)生思考，關(guān)于弦中點的問題，我們時常用到“點差法”，即將直線方程用弦AB的中點坐標(biāo)(x0,y0)表示，于是有解法二：設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2) M(

6、x0,y0)，由“點差法”得 AB所在直線方程為， 將x= y2代入得：y2-2y0y+（2y02-x0）=0 =4x0-4y020， x0y02，|AB|=（令t=4y02+11） = 此函數(shù)在 t（0，a）上遞減，在t（a，+）上遞增（）若a1，當(dāng)t=1即 y02=0時，（ x0）min=，M（，0）（）若a1，當(dāng) t=a 時， （ x0）min=，M（，）這種解法有點好處，它能較容易地求出弦中點的坐標(biāo)象這樣，通過一題多解和一題多變，拓展了思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。有利于培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的濃厚興趣和創(chuàng)新精神?？傊?，教師要善于對例題變化，并運用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，就可以讓學(xué)生感受到某種近似

7、于探索的體驗，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的真理，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)創(chuàng)新的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，創(chuàng)新能力；教師要通過對例題變化，例題的解答教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的思維活動，利用有形的和無形的活動，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)識數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，積極引導(dǎo)學(xué)生深入分析，歸納，猜想，轉(zhuǎn)化，提出新的觀點，新的思想。培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造精神是實施創(chuàng)新教育中最為重要的一步。教師要啟迪學(xué)生創(chuàng)造性地“學(xué)”，標(biāo)新立異，打破常規(guī)，克服思維定勢的干擾，善于找出新規(guī)律，運用新方法。激發(fā)學(xué)生大膽探討問題，增強學(xué)生思維的靈活性、開拓性和創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)教學(xué)中的切入點很多：此題按常規(guī)思路,解題感到比較繁瑣，應(yīng)教授學(xué)生及時改變思路，另選突破口，這樣利于創(chuàng)造性思維

8、的培養(yǎng)。題目的新穎解法來源于觀察分析題目的特點，以及對隱含條件的挖掘。因此，教師應(yīng)從開發(fā)智能、培養(yǎng)能力這一目標(biāo)著眼，有意識地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，通過訓(xùn)練把學(xué)生的思維引到一個廣闊的空間，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度。數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力是能力培養(yǎng)的核心，而逆向思維、發(fā)散思維和求異思維是創(chuàng)新學(xué)習(xí)所必備的思維能力。數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生逐步樹立創(chuàng)新意識，獨立思考，這應(yīng)成為我們教與學(xué)的著力點。教學(xué)要創(chuàng)新，教學(xué)思維要創(chuàng)新，教師能力和教學(xué)水平要提高，對教師的要求；（1）教師的基本功扎實，廣博的專業(yè)知識，（2）教師具有駕御全局，隨機應(yīng)變的能力；（3）教師具有開展數(shù)學(xué)活動的能力，創(chuàng)設(shè)“問題情境”的能力。 教師通過教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識是一個重大的課題，需要我們不懈的努力，共同研討，交流；教師要