數(shù)學(xué)史的教學(xué)價(jià)值

1、 數(shù)學(xué)史的教學(xué)價(jià)值數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。數(shù)學(xué)是人類文明的一個(gè)重要組成部分，幾千年來(lái)人類智慧的結(jié)晶。1972年，在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICMC）成立了“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系國(guó)際研究小組”（The International Study Group on the Relationship between History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱HPM），標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系作為一個(gè)新的研究領(lǐng)域的出現(xiàn)。HMP研究的目標(biāo)是結(jié)合數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)，以便提升數(shù)學(xué)教育的成效。它與國(guó)際數(shù)學(xué)教育會(huì)議（

2、ICMC）同步，每四年舉辦一次國(guó)際性大型研討會(huì)。那么數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的意義有什么意義？它在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)改革中應(yīng)該發(fā)揮怎樣的作用？當(dāng)前正在我國(guó)推進(jìn)的基礎(chǔ)教育改革采取了一系列的措施，加強(qiáng)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的教育。2003年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）前言部分“二.課程的基本理念”第8條“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”，其中指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成爭(zhēng)取到數(shù)學(xué)觀。為

3、此，高中數(shù)學(xué)課程提倡數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)要求，設(shè)立數(shù)學(xué)史選講等專題。”本文結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例探討數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義和作用，從而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程教學(xué)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新精神等方面進(jìn)行了論述。二、數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用1. 數(shù)學(xué)史具有培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維能力的價(jià)值 進(jìn)入21世紀(jì)，數(shù)學(xué)教育界談?wù)撟疃嗟氖侨绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維能力。米山國(guó)藏在分析致力于發(fā)現(xiàn)發(fā)明的數(shù)學(xué)精神時(shí)認(rèn)為：“整個(gè)數(shù)學(xué)幾乎全部都是研究精神的產(chǎn)物，致力于發(fā)明發(fā)現(xiàn)的精神的產(chǎn)物。不能觸及到研究的精神，不知道發(fā)明、發(fā)現(xiàn)的著眼點(diǎn)、方針、法則等，就不可能培養(yǎng)具有創(chuàng)見性的頭腦?！备ベ嚨撬?/p>

4、爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是進(jìn)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生?！币虼?，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先要培養(yǎng)創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)關(guān)系的揚(yáng)棄、發(fā)展和創(chuàng)新的結(jié)果。古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信“萬(wàn)物皆數(shù)”，即宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。但學(xué)派成員希帕蘇斯（Hipasus，公元前470念左右）首先發(fā)現(xiàn)：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示的。希帕蘇斯因觸犯學(xué)派的信條被拋進(jìn)大海。這事例顯示出數(shù)學(xué)的批判思維和批判精神不接受任何未經(jīng)檢驗(yàn)的理論，也不承認(rèn)

5、有絕對(duì)正確的理論，即使是哪些已被證明比較成熟的理論，也不應(yīng)成為束縛甚至禁錮思想的教條，而應(yīng)作為進(jìn)一步探索研究的指南和起點(diǎn)。反駁舊思想，提出新問(wèn)題，引出新成果，正是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性、探索性本質(zhì)上的表現(xiàn)，也是衡量數(shù)學(xué)成果是否先進(jìn)、有無(wú)價(jià)值的尺度。2.數(shù)學(xué)史具有挖掘數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生解決問(wèn)題能力的價(jià)值數(shù)學(xué)教育的根本目的在于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，即運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造的能力，而這種能力，不僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，而且更主要地反映在數(shù)學(xué)思想方法的素養(yǎng)。米山國(guó)藏曾指出：“學(xué)生們?cè)诔踔?、高中接受的?shù)學(xué)知識(shí)，因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以通常是出校門后不到一兩年，很快就

6、忘掉了。然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，只有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身?！睌?shù)學(xué)的發(fā)展，主要是數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，美國(guó)數(shù)學(xué)史家M.克萊因?qū)⑵鋽?shù)學(xué)史名著取名為古今數(shù)學(xué)思想正是為了表達(dá)這一觀點(diǎn)。英國(guó)數(shù)學(xué)史家丹皮爾說(shuō)：“再?zèng)]有什么故事能比科學(xué)思想發(fā)展的故事更有魅力了。”所以，數(shù)學(xué)史是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法最好的素材了。例如，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法化歸方法?！盎瘹w”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，其基本思想：人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常將待解決的問(wèn)題A通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問(wèn)題B，而問(wèn)題B是相對(duì)容易解決或已有固定解決的問(wèn)題，且通過(guò)對(duì)問(wèn)題

7、B的解決可得原問(wèn)題A的解答。在歷史上，歐幾里得的幾何原本對(duì)命題所作的巧妙選擇和合乎邏輯的安排可謂是化歸思想方法的出色應(yīng)用，他把每一個(gè)命題安排為前面某些命題的演繹推理的結(jié)論，而這些作為演繹推理前提的命題則又是它前面的命題演繹推理所得到，如此，將所有當(dāng)時(shí)已知命題的證明歸結(jié)為某幾個(gè)簡(jiǎn)單命題的推證，最后分析這些簡(jiǎn)單命題的特征而選作公理，從而使得幾何變成一個(gè)嚴(yán)密的理論體系。3.數(shù)學(xué)史具有激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的價(jià)值1972年8月24日美國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾德（R.L.Wilder）在全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）大會(huì)演講中稱：大家都知道一項(xiàng)最困難的問(wèn)題是學(xué)生自認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)沒有任何需要，憤恨被迫學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。假如他能夠精神自主的話

8、就不要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這里魏爾德的演講反映了中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的缺失。動(dòng)機(jī)是激勵(lì)人、推動(dòng)人去行動(dòng)的一種力量，從心理學(xué)的觀點(diǎn)上講，動(dòng)機(jī)可以分為兩個(gè)部分，人的好奇心、求知欲、興趣、愛好構(gòu)成了有利于創(chuàng)造的內(nèi)部動(dòng)機(jī)；社會(huì)責(zé)任感構(gòu)成了有利于創(chuàng)造的外部動(dòng)機(jī)。而興趣是最好的動(dòng)機(jī)。布魯納說(shuō)：“學(xué)習(xí)的最好刺激，乃是對(duì)所學(xué)材料的興趣。”而日本中學(xué)生在奪取國(guó)際IEA（國(guó)際教育成就評(píng)價(jià)會(huì)）調(diào)查總分第一名的同時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)日本學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)的比例也是第一，這說(shuō)明他們?nèi)〉玫暮贸煽?jī)是在社會(huì)、學(xué)校、家長(zhǎng)的壓力下獲得的。我國(guó)一個(gè)關(guān)于高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)情況調(diào)查也發(fā)現(xiàn)“我不喜歡數(shù)學(xué)，但為了高考，我必須學(xué)好數(shù)學(xué)”的學(xué)生占被調(diào)查的比例高達(dá)62.21

9、%，而對(duì)數(shù)學(xué)“很感興趣”的只有23.12%。美國(guó)學(xué)者Bidwell曾給傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂打了這樣的比喻：“在課堂里，我們常常這樣看待數(shù)學(xué)，好像我們是在一個(gè)孤島上學(xué)習(xí)似的。我們每天一次去島上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，埋頭鉆進(jìn)一個(gè)純粹的、潔凈的、邏輯上可靠的、只有清晰線條而沒有骯臟角落的書房。學(xué)生們覺得數(shù)學(xué)是封閉的、呆板的、冰冷無(wú)情的、一切都已發(fā)現(xiàn)好了的?！睌?shù)學(xué)史是教育指南針。教師可以利用數(shù)學(xué)史挖掘生動(dòng)的教學(xué)素材，對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行加工處理，會(huì)使數(shù)學(xué)課變成很有興趣的一種探索。數(shù)學(xué)史中有很多能夠培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的內(nèi)容。首先與數(shù)學(xué)有關(guān)的游戲。例如，巧拿火柴棒、幻方、商人過(guò)河問(wèn)題等，它們都有很強(qiáng)的操作性，可以在課堂上

10、或課后研究都可以起到很好的效果。其次是歷史上的一些數(shù)學(xué)名題，例如，七橋問(wèn)題、哥德巴赫猜想等。許多歷史名題的提出與解決與大數(shù)學(xué)家有關(guān)。學(xué)生在探索解決這類問(wèn)題時(shí)感到本人正在探索曾經(jīng)被大數(shù)學(xué)家探索過(guò)的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)有一種智力的挑戰(zhàn)，也會(huì)從中獲得成功的感受，這無(wú)疑可以培養(yǎng)他們的自信心等一系列的積極情感與體驗(yàn)。4.數(shù)學(xué)史具有培養(yǎng)美學(xué)價(jià)值進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的驅(qū)策力是對(duì)美的追求。哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家羅素從現(xiàn)代數(shù)學(xué)角度對(duì)數(shù)學(xué)的美曾直言不諱地說(shuō)：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也有至高無(wú)上的美正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂(lè)的那些華麗的裝飾，它可以純

11、凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識(shí)這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩(shī)里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到?！睌?shù)學(xué)美在早期數(shù)學(xué)中就產(chǎn)生了萌芽。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先提出“美是和諧與比例的合度”的觀點(diǎn)，最早根據(jù)數(shù)與數(shù)的比例論述美及美的形式，認(rèn)為美與事物形式所表現(xiàn)出來(lái)的均衡、對(duì)稱、和諧、多樣統(tǒng)一分不開。歐幾里得是數(shù)學(xué)演繹美與嚴(yán)謹(jǐn)美的鼻祖，他的幾何原本可以說(shuō)是數(shù)學(xué)著作中的美學(xué)典范。他把豐富多彩的幾何知識(shí)按公理系統(tǒng)方式安排，使得反映多種幾何事實(shí)的公理、定理都能用論證串聯(lián)起來(lái)，組成一個(gè)井井有條的統(tǒng)一的有機(jī)整體，給人以多

12、樣統(tǒng)一的形態(tài)美的享受。數(shù)學(xué)美貫穿于數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展歷史的始終，因此有效利用數(shù)學(xué)史，可以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美。教師應(yīng)該從數(shù)學(xué)史中挖掘數(shù)學(xué)家的美學(xué)思想，要善于展示數(shù)學(xué)美的光環(huán)，引導(dǎo)學(xué)生采摘美的花朵，體驗(yàn)美的享受，培養(yǎng)學(xué)生的審美能力，使學(xué)生在接受數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中受到美的陶冶。5.數(shù)學(xué)史具有培養(yǎng)愛國(guó)情操的價(jià)值中國(guó)人在世界數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，做出了偉大的貢獻(xiàn)。歷史上出現(xiàn)了劉徽、祖沖之父子、秦九韶、楊輝等著名數(shù)學(xué)家及九章算術(shù)、數(shù)書九章、測(cè)圓海鏡等名著，創(chuàng)造了許多世界一流的成果。中國(guó)數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)形成了以計(jì)算為中心的機(jī)械化算法體系與歐幾里得幾何原本的公理化演繹體系成為世界數(shù)學(xué)的兩大支柱。針對(duì)一些教學(xué)內(nèi)容，如勾股定理

13、、圓周率、劉徽割圓術(shù)、楊輝三角等，應(yīng)以切實(shí)的史料去豐富他們，使學(xué)生為我們歷史悠久和曾經(jīng)有過(guò)的許多成就而感到自豪。而我們的數(shù)學(xué)教材一直缺少數(shù)學(xué)史方面的內(nèi)容，許多學(xué)生讀完小學(xué)、中學(xué)的課程，卻連幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家也不知道，不清楚數(shù)學(xué)悠久、輝煌而曲折的發(fā)展史，也不了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)最新的發(fā)展情況。正如李元數(shù)教授所說(shuō)，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)一點(diǎn)中國(guó)數(shù)學(xué)史，并不是鉆牛角尖去考證：“我的本家以前是還是怎么樣這么樣”重要的是不要數(shù)典忘祖，被外國(guó)的權(quán)威誤導(dǎo)以為以前我們樣樣不如人。知道我們祖先的成就，再學(xué)習(xí)一些先進(jìn)方法，想念在“戒驕戒躁、不亢不卑”的作風(fēng)下定能迅速成長(zhǎng)。6.有助于提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的價(jià)值教師都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：學(xué)生如果知

14、道知識(shí)的來(lái)龍去脈，那么就能較好地掌握知識(shí)。“數(shù)學(xué)是一個(gè)學(xué)習(xí)如何合情推理的好科學(xué)”。實(shí)際上，許多教師自己對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣為學(xué)生而學(xué)，缺乏背景了解，以致于無(wú)法在課堂上得心應(yīng)手地展現(xiàn)數(shù)學(xué)史的教學(xué)活動(dòng)。作為數(shù)學(xué)教師，不僅要透徹地了解所教的那一部分知識(shí)，而且還要從客觀上人是數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展，這就是知其所以然，從而能教其所以然。數(shù)學(xué)教師應(yīng)研究具體的個(gè)人，數(shù)學(xué)家是數(shù)學(xué)發(fā)展的主體力量，他們的成果與思想方法產(chǎn)生了持久且深刻的影響，他們?cè)跀?shù)學(xué)研究中的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于教師理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，具有極大的啟發(fā)性。三、基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)將數(shù)學(xué)教學(xué)看成數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念，來(lái)源于數(shù)學(xué)觀的轉(zhuǎn)變，即將數(shù)

15、學(xué)看成是一種絕對(duì)真理的靜態(tài)數(shù)學(xué)觀向著承認(rèn)數(shù)學(xué)是人類的一種經(jīng)驗(yàn)或擬經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)變。在這一理念的指引下，出現(xiàn)了“在做中學(xué)”、“數(shù)學(xué)化過(guò)程教學(xué)”等以學(xué)生自主參與活動(dòng)為特征的“數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程教學(xué)”。基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)的要求專業(yè)知識(shí)與歷史知識(shí)總是互補(bǔ)的。就是說(shuō)，不僅研究學(xué)習(xí)歷史需要具備一定的專業(yè)知識(shí)，而且學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)也同樣需要用歷史知識(shí)幫助分析和思考。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南針，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的工具。教師要在教學(xué)中有效發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教學(xué)價(jià)值。1.教師應(yīng)該在課前做好充分準(zhǔn)備，深入研究數(shù)學(xué)知識(shí)，弄清相關(guān)的概念、定理、公理、公式的數(shù)學(xué)史知識(shí)2.數(shù)學(xué)史知識(shí)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有的認(rèn)知水

16、平和特點(diǎn)，適當(dāng)選材，找出其中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)史知識(shí)幫助學(xué)生理解。3.研究數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，制定合理的教學(xué)方法和過(guò)程。確定哪些知識(shí)需要數(shù)學(xué)史的幫助，在何時(shí)穿插教學(xué)才更適當(dāng)。正確把握好數(shù)學(xué)史和課堂教學(xué)的主次，引導(dǎo)學(xué)生更好的學(xué)習(xí)。4.數(shù)學(xué)史是人類智慧的結(jié)晶，教師在給學(xué)生講解數(shù)學(xué)史知識(shí)時(shí)應(yīng)當(dāng)力求簡(jiǎn)單通俗，使學(xué)生易于接受。5.引導(dǎo)學(xué)生閱讀課外讀物，開闊學(xué)生眼界，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確閱讀，使學(xué)生受益終身。四、基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)案例學(xué)習(xí)者的特征分析：本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是高中一年級(jí)的學(xué)生，他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)里還沒有形成“數(shù)學(xué)感”，雖然剛剛學(xué)習(xí)了等差數(shù)列和等比數(shù)列，對(duì)其性質(zhì)有一定掌握，對(duì)函數(shù)、方程思想有

17、一定理解，但他們問(wèn)題解決以及小組合作能力不強(qiáng)，對(duì)知識(shí)缺乏獨(dú)立的見解。學(xué)習(xí)需要分析：1.教學(xué)目標(biāo)：（1）知識(shí)和技能目標(biāo)：掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握錯(cuò)位相消法法，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思。（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高數(shù)學(xué)推理的能力。2.教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思路的獲得；等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用。3.教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思路的獲得；等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用。4.教法分析：教學(xué)過(guò)程分為問(wèn)題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)

18、階段、定理證明階段、應(yīng)用知識(shí)階段。探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路是教學(xué)的重點(diǎn)。如果直接介紹“錯(cuò)位相消法”求和，無(wú)疑就像波利亞所說(shuō)的“帽子里跳出來(lái)的兔子”，所以在教學(xué)中采用以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、層層鋪墊，啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)方法。定理證明階段中融入數(shù)學(xué)史，介紹歐幾里德幾何原本中利用合比定理證明等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。在教學(xué)中介紹古人的證明方法，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理的理解與掌握。5.教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程：?jiǎn)栴}情境古時(shí)候，在某個(gè)王國(guó)里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國(guó)際象棋，獻(xiàn)給了國(guó)王，國(guó)王從此迷上了下棋。為了對(duì)聰明的大臣表示感謝，國(guó)王答應(yīng)滿足這個(gè)大臣的一個(gè)要求。大臣說(shuō)：“就在這個(gè)棋盤上放上一些麥粒吧，第一個(gè)格

19、放1粒，第二個(gè)格放2粒，第三個(gè)格放4粒，然后是8粒，16粒.一直到第六十四個(gè)格?！薄澳阏嫔担【鸵@么一點(diǎn)麥粒？”國(guó)王哈哈大笑。大臣說(shuō)：“就怕您的國(guó)庫(kù)粒沒有這么多麥粒！”你知道棋盤上一共放多少麥粒才能滿足大臣的要求嗎？1，2，4，8，16.構(gòu)成了一個(gè)等比數(shù)列。要求一共放多少麥粒，也就是要求該等比數(shù)列前64項(xiàng)的和。那么，怎么來(lái)求該等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和呢？（讓學(xué)生帶著疑問(wèn)進(jìn)入下一階段的學(xué)習(xí)）探索發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列：1，2，4，8，.的和即 如果對(duì)等式兩邊同時(shí)乘以2，會(huì)產(chǎn)生什么情況？ -，得到 （粒）1000粒小麥約40克，18446744073709600000粒小麥約合737869762968噸小麥。

20、若將這些鋪在地面上，可講整個(gè)地球表面鋪上3厘米厚，國(guó)王怎么能滿足大臣的要求呢？對(duì)于一般情形，我們?cè)O(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則其前n項(xiàng)和 由學(xué)生討論得出結(jié)果 將等式兩邊同乘以公比q，則有 -，得到即 （1）此即為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得到 （2）要求學(xué)生思考：在上述公式中，那么等比數(shù)列的公比q為1，則會(huì)出現(xiàn)什么情形？又如何求它的前n項(xiàng)呢？學(xué)生們討論得出結(jié)果此時(shí)，（設(shè)為a），也就說(shuō)，這一數(shù)列的每一項(xiàng)都相同，我們稱之為常數(shù)數(shù)列，它的前n項(xiàng)和教師穿插入歷史中的等比數(shù)列九章算術(shù)中的第三章“衰分”章第二題：今有牛、馬、羊食人苗。苗主責(zé)之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬“。馬主曰：”我馬食半牛“。今欲衰償之，問(wèn)各出幾何。術(shù)曰：置牛四、馬二、羊一，各自為列衰，副并為法。以五斗乘未并者各