一元函數(shù)積分學的應用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元函數(shù)積分學的應用一元函數(shù)積分學研究的是研究函數(shù)的整體性態(tài)，一元函數(shù)積分的本質(zhì)是計算函數(shù)中分劃的參數(shù)趨于零時的極限。一元積分主要分為不定積分和定積分?；癁楹瘮?shù)圖像具體來說，不定積分是已知導數(shù)求原函數(shù)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導數(shù)也是f(x)（C是任意常數(shù)）。所以f(x)積分的結(jié)果有無數(shù)個，是不確定的。而定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間a,b中圖線下包圍的面積，可以說是不定積分在給定區(qū)間的具體數(shù)值化。因為積分在其它方面應用時一般都有明確的區(qū)間，所以本文主要研究定積分的各種應用。積分的應用十分巧妙便捷，能解決許多不直觀、不規(guī)則的或

2、是變化類型的問題。故其主要應用在數(shù)學上的幾何問題和物理上的各種變量問題和公式的證明以及解決一些實際生活問題。微元法建立積分表達式 在應用微積分于實際問題時，首先要建立積分表達式，一般情況下，只要具備都是給定區(qū)間上的非均勻連續(xù)分布的量和都具有對區(qū)間的可加性這兩個條件就都可以用定積分來描述（以下的討論都是建立在這兩個條件下，因此不再提示此條件）。而建立積分表達式的方法我們一般用微元法。其分為兩個步驟：（1）任意分割區(qū)間為若干子區(qū)間，任取一個子區(qū)間，求在該區(qū)間上局部量的的近似值；（2）以為被積式，在上作積分即得總量的精確值。（分割，近似，求和，取極限）在實際應用中，通過在子區(qū)間上以“勻”代“非勻”或

3、者把子區(qū)間近似看成一點，用乘法所求得的近似值就可以作為所需要的近似值，即為所尋求的積分微元。定積分在幾何中的應用在幾何中，定積分主要應用于平面圖形的面積、平面曲線的弧長、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。下面我們來分類討論：1、 平面圖形的面積求圖形面積是定積分最基本的應用，因為定積分的幾何意義就是在給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)曲線與x軸所圍成圖形的面積。而求面積時會出現(xiàn)兩種情況：直角坐標情形和極坐標情形。1、直角坐標情形在求簡單曲邊圖形（能讓函數(shù)圖像與之重合）的面時只要建立合適的直角坐標系，再使用微元法建立積分表達式，運用微積分基本公式計算定積分，便可求出平面圖形的面積。如設曲線與直線及 x

4、 軸所圍曲邊梯形面積為 A ,則 右圖所示圖形面積為 2、 極坐標情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積 .在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為2、 平面曲線的弧長定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,當折線段的最大邊長 l0 時,折線的長度趨向于一個確定的極限 ,則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長 ,即并稱此曲線弧為可求長的.定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的. (1) 曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素(弧微分) :因此所求弧長(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分) :因此所求弧長(3) 曲線弧由極坐標方程給出:則得弧長元素(弧微分) :因此

5、所求弧長3、 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), 上連續(xù),則對應于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為特別 , 當考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當考慮連續(xù)曲線段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有dx說明: （以擺線為例）4、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設平面光滑曲線求它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:位于【x，x+dx】上的圓臺的側(cè)面積dS=2yds=2f（x）積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積注意：側(cè)面積元素2ydx不是薄片側(cè)面積S 的線性主部。若光滑曲線由參數(shù)方程給出，則它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為小結(jié)：1、平面圖形的面積 邊界方程：直角坐標方程 參數(shù)方程 極坐標方程2、 平面曲線的弧長弧微分：曲線方程：直角坐標方程 參數(shù)方程 極坐標方程3. 已知平行截面面積函數(shù)的立方體體積旋轉(zhuǎn)體的體積：繞x軸： 繞y軸：（柱殼法）4、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積繞x軸旋轉(zhuǎn)，側(cè)面積元素為dS=2yds（注意在不同坐標系下ds的表達式）定積分在物理學中的應用在物理學中，一元積分主要應用于變力沿直線做功、液體的靜壓力、連續(xù)函數(shù)的平均值。下面讓我們來分類討論：1、