數(shù)學之美——黃金分割圖形相似匯總

1、數(shù)學之美黃金分割前 言數(shù)學可以說是各學科的靈魂，數(shù)學中蘊涵著文化價值、美學價值、以及經(jīng)濟價值，而這些價值究竟是如何體現(xiàn)的?隨著我國教育水平的逐步提高，我們對數(shù)學這門科學的學習更加透徹，我們就以數(shù)學中的兩大寶藏之一“黃金分割”為例，黃金分割是我們最常見的一種和諧比例關系，即是畢達哥拉斯學派提出的“黃金分割”又稱“黃金段”或“黃金率”。在初中教學中對黃金分割的了解還不是很深，只是對黃金分割的定義做了簡單的說明和簡單的練習。隨著我們數(shù)學能力水平的提升，我們了解到了許多重要的與黃金分割相關聯(lián)的數(shù)學知識，本節(jié)主要解決楊輝三角形等數(shù)學量與黃金分割的關系，以及與黃金分割有關的一些概念，最后，將進一步闡述黃金

2、分割的實際應用，可見黃金分割用途之廣泛，影響之深遠。另外，我真誠的希望通過本節(jié)學習，能夠讓學生更多的了解黃金分割的實質和內(nèi)涵，對以后的學習有進一步的幫助。一、黃金分割的起源與發(fā)展1.1 黃金分割的定義古希臘雅典學派的第三大數(shù)學家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比。證明方法為：設有一根長為1的線段在靠近端的地方取點，使 則點為的黃金分割點。設，則 代入定義式 可得即 解該二次方程： 其中為負值舍掉。所以 約為.黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比

3、等于整體與較大部分之比，其比值為10.618或1.6181，即長段為全段的0.618。0.618被公認為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。有趣的是，這個數(shù)字在自然界和人們生活中到處可見：人們的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。大多數(shù)門窗的寬長之比也是0.618；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28，這恰好是把圓周分成1:0.618的兩條半徑的夾角。據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，這種角度對植物通風和采光效果最佳。建筑師們對數(shù)學0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的圣母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618有

4、關的數(shù)據(jù)。人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618處。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。1.2 黃金分割的發(fā)展史據(jù)記載黃金分割是在文藝復興前后，經(jīng)過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為“金法”，17世紀歐洲的一位數(shù)學家，甚至稱它為“各種算法中最寶貴的算法”。這種算法在印度稱之為“三率法”或“三數(shù)法則”，也就是我們現(xiàn)在常說的比例方法。 其實有關“黃金分割”，我國也有記載。雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數(shù)學家獨立創(chuàng)造的，后來傳入了印度。經(jīng)考證。歐洲的比例算法是源于我國而經(jīng)過印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的

5、。由于公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。公元前4世紀，古希臘數(shù)學家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了這一問題，并建立起比例理論。公元前300年前后歐幾里得撰寫帕喬利時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。中世紀后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)學家帕喬利稱中末比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國天文學家開普勒稱黃金分割為神圣分割。到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優(yōu)選學中的黃金分割

6、法或0.618法，是由美國數(shù)學家基弗于1953年首先提出的，70年代在中國推廣。其實，黃金分割比在未發(fā)現(xiàn)之前，在客觀世界中就存在的，只是當人們揭示了這一奧秘之后，才對它有了明確的認識。當人們根據(jù)這個法則再來觀察自然界時，就驚奇的發(fā)現(xiàn)原來在自然界的許多優(yōu)美的事物中的能看到它，如植物的葉片、花朵，雪花，五角星許多動物、昆蟲的身體結構中，特別是人體中更是有著豐富的黃金比的關系。當人們認識了這一自然法則之后，就被廣泛地應用于人類的生活之中。此后，在我們的生活環(huán)境中，就隨處可見了，如建處門窗、櫥柜、書桌；我們常接觸的書本、報紙、雜志；現(xiàn)代的電影銀幕。電視屏幕，以及許多家用器物都是近似這個數(shù)比關系構成的。

7、在美術史上曾經(jīng)把它作為經(jīng)典法則來應用。有許多美術家運用它創(chuàng)造了不少不朽的著名。早在公元前六世紀，古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯就發(fā)現(xiàn)了在這種分割狀態(tài)下存在的和諧美，后來古希臘美學家柏拉圖正式將此稱為黃金分割，并一直被認為是最佳比例在藝術，建筑，自然界，甚至我們的生活中，這種0.618的美都處處存在。二、黃金分割在數(shù)學中的滲透2.1 黃金分割在數(shù)學學文化中的應用隨著新課程改革的進行，數(shù)學教學不只是簡單的知識傳授，更加注意對數(shù)學思想方法的總結，使之能被學生完全領悟并應用，進而更好的發(fā)揮數(shù)學的本質。黃金分割就是數(shù)學思想的集中體現(xiàn)，其中特別引人注目的是“數(shù)形結合”的思想，因此，黃金分割被稱之為神圣的比例，“0

8、.618”同時也被譽為黃金數(shù)。數(shù)學有著極其重要的價值，其文化價值的教育目的，就是讓學生在學習的同時能夠鑒賞和體會數(shù)學的美，促進學生形成好的數(shù)學觀念，增加對數(shù)學學習的興趣。下面我們就來了解黃金分割的數(shù)學價值。2.2 黃金分割在初中教材中的地位和作用黃金分割是北師大版八年級數(shù)學下冊第四章相似圖形第二節(jié)的內(nèi)容。本章是繼圖形的全等之后集中研究圖形形狀的內(nèi)容，它與前后有關幾何部分的內(nèi)容都有著密切的關系，是對圖形全等內(nèi)容的進一步拓廣與發(fā)展。整個設計目的是引導學生觀察、分析生活現(xiàn)實和數(shù)學現(xiàn)實中的相似現(xiàn)象，總結圖形相似的有關特征并自覺的應用到現(xiàn)實之中，逐步形成正確的數(shù)學觀。同時，通過“圖形的相似”進一步豐富學

9、生的數(shù)學活動經(jīng)驗，有意識的培養(yǎng)學生積極的情感、態(tài)度，認識數(shù)學豐富的人文價值，促進學生觀察、分析、歸納、概括的一般能力和審美意識的發(fā)展。黃金分割這一節(jié)內(nèi)容通過建筑、藝術等方面的實例讓學生進一步體會數(shù)學與自然及人類社會的密切聯(lián)系，同時在教學中讓學生學會觀察、操作、實驗、合作與交流以及學會學習就變得更為重要。下面我就給大家介紹怎么樣才能計算出黃金分割比（0.618）它的具體做法是：一、作一線段二、過作一條直線垂直于，在此直線上取，使，并聯(lián)結。三、以為圓心，長為半徑作弧，交于。四、以為圓心，長為半徑作弧，交于，則點是線段的黃金分割點。以上這種比例性質產(chǎn)生了黃金分割，把它從線段推廣到平面圖形，可以發(fā)現(xiàn)不

10、少圖形，因此頗有特點。黃金分割中特別引人注目的是“數(shù)形結合”的思想，它被世人稱之為和諧性的最完美的表現(xiàn)，“0.618”被譽為黃金數(shù)、神圣的比例、宇宙的美神。教師在教學中引用學生非常熟悉的五角形和舞臺報幕員所站位置的現(xiàn)實情境，將抽象的數(shù)字與其所反映的圖形有機地結合起來，通過對直觀圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，進一步了解“黃金分割”的數(shù)學特征。數(shù)學教學中用“數(shù)形結合”的思想引導學生思考，在培養(yǎng)形象思維能力的同時，也促進了邏輯思維的發(fā)展。 隨著新課程的改革，挖掘數(shù)學文化在數(shù)學教學中的價值將逐步得到確認，這也是義務教育對數(shù)學課堂教學的時代要求。在畢業(yè)后，我們將會成為數(shù)學教師，所以我們應

11、不斷地加強自身的數(shù)學文化素養(yǎng)，更加深入地研究數(shù)學文化與數(shù)學教學，努力在數(shù)學學習的過程中真正體會到數(shù)學的文化價值。2.3 黃金分割在教材中的實際應用下面繼續(xù)了解黃金分割在教材中的實際作用，我們以實際例題來解決有關黃金分割的理論問題。例1 美是一種感覺，當人體下半身長于高的比值接近時，越給人一種美感。例如，某女士身高，下半身長與身高的比值是，為盡可能達到好的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（ ） 4cm 6cm 8cm 10cm例2 為了弘揚雷鋒精神，某中學準備在校園內(nèi)建造一座高為的雷鋒人體雕像，向全體師生征集設計方案，小兵同學查閱了有關資料，了解到黃金分割數(shù)常用于人體雕像的設計中。小兵同學根據(jù)黃

12、金分割數(shù)設計的雷鋒人體雕像的方案，其中雷鋒人體雕像下部的設計高度（精確到，參考數(shù)據(jù)：，） 0.62m 0.76m 1.24m 1.62m例3 校團委舉辦“五四手抄報比賽”。手抄報規(guī)格統(tǒng)一設計成：長米的黃金矩形（黃金矩形的長與寬的比是），則寬為 米。例4 哥哥身高米，在地面上的影子長是米，同一時間測得弟弟影子長米，則弟弟身高是（） 例5 將一矩形紙片放在平面直角坐標系中，動點從點出發(fā)以每秒1個單位長的速度沿向終點運動，運動23秒時動點從點出發(fā)以相等的速度沿向終點運動。當其中一點到達終點時，另一點也停止運動。設點的運動時間為（秒）。（1）用含的代數(shù)式表示，；（2）當時，如圖1，將沿沿翻折，點恰好落

13、在邊上的點處，求點的坐標；（3）連接，將沿PQ翻折，得到，問：與能否平行？與能否垂直？若能，求出相應的值；若不能，說明理由。我們看完以上幾道題，就可以知道有關黃金分割的實際例子很多，在我們初中數(shù)學教學中有極其廣泛的應用。為我們解決了很多生活中實際的難題和問題。2.4 與黃金分割有關的黃金圖形黃金分割具有很多的優(yōu)點和廣泛的作用，那么黃金分割是如何解決這些問題的，其根本原因是構成黃金分割的重要因素的作用，以下是構成黃金分割的基本元素：（一）黃金分割點：黃金分割點是分一線段為兩部分，使得原來線段的長跟較長的那部分的比為黃金分割的點。線段上有兩個這樣的點。利用線段上的兩個黃金分割點，可以作出正五角星，

14、正五邊形等。（二）黃金分割線：由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，并類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線。（三）黃金分割三角形：正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。黃金分割三角形有一個特殊性，所有的三角形都可以用四個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形，來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的頂角是，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為。黃金分割三角形分為兩種：一種是等腰三角形，兩個底角為72頂角為36這種

15、三角形既美觀又標準。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：。另一種也是等腰三角形，兩個底角為36頂角為108這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：。 （四）黃金矩形：定義：一個矩形，如果從中截去一個最大的正方形，剩下的矩形的寬與長之比，與原來的矩形一樣（及剩下的與原矩形相似）稱具有這種寬與長之比的矩形為黃金矩形。那么如何求得黃金矩形的寬與長之比呢?解：設黃金比為,則有將 變形為 得出 ，負值舍掉那么 .2.5 黃金分割與楊輝三角形的聯(lián)系黃金分割與多種數(shù)學知識有著密切的聯(lián)系，例如我們下面介紹的楊輝三角形，首先了解什么是楊輝三角形：一、楊輝三角形的定義：楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，

16、是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。二、楊輝三角形的性質：1.每行數(shù)字左右對稱，由開始逐漸變大，然后變小，回到2.第行的數(shù)字個數(shù)為個3.第行數(shù)字和為每個數(shù)字等于上一行的左右兩個數(shù)字之和。因此，可用此性質寫出整個帕斯卡三角形。4.將第行第個數(shù)，跟第行第個數(shù)、第行第個數(shù)連成一線，這些數(shù)的和是第個斐波那契數(shù)。將第行第個數(shù)，跟第行第個數(shù)、第行第個數(shù)這些數(shù)之和是第個斐波那契數(shù)。5.第行的第個數(shù)為，第二個數(shù)為，第三個數(shù)為，第四個數(shù)為依此類推?？梢钥闯觯瑮钶x三角形與黃金分割率有著密切的關系。三、生活中的黃金分割 0.618，一個極為迷人而神秘的數(shù)字，而且它還有著一個很動聽的名字黃金分割律，它是古希臘著名哲

17、學家、數(shù)學家畢達哥拉斯于2500多年前發(fā)現(xiàn)的。古往今來，這個數(shù)字一直被后人奉為科學和美學的金科玉律。在藝術史上，幾乎所有的杰出作品都不謀而合地驗證了這一著名的黃金分割律，無論是古希臘巴特農(nóng)神廟，還是中國古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例?？茖W家和藝術家普遍認為，黃金律是建筑藝術必須遵循的規(guī)律。在建筑造型上，人們在高塔的黃金分割點處建樓閣或設計平臺，便能使平直單調的塔身變得豐富多彩；而在摩天大樓的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農(nóng)神殿，法國的巴黎圣母院，當今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國巴黎埃菲爾鐵塔

18、，都是根據(jù)黃金分割的原則來建造的。 除了國外著名的巴特農(nóng)神殿、巴黎圣母院、多倫多電視塔、巴特農(nóng)神殿、埃菲爾鐵塔具有黃金分割外，位于上海黃浦江畔的東方明珠塔同樣有，東方明珠塔是亞洲第一，世界第三高塔，它的塔身竟高達 462.85 米，仿佛一把刺天長劍，直沖云霄。要建造這樣高而瘦長搭塔身，在造型上難免有些單調，然而設計師巧妙地在塔身上裝置了晶瑩耀眼的上球體、下球體和太空艙，它既可供游人登高俯瞰城市景色，又使筆直的塔身有了曲線變化，更妙的是，設計師有意將上球體選在295米之間的位置，這個位置恰好在塔身5比8的地方，這0.618的比值，使塔身顯得非常協(xié)調、美觀。 在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視

19、屏幕、寫字臺面、書籍、衣服、門窗等，其短邊與長邊之比為0.618，你會因此比例協(xié)調而賞心悅目。甚至連火柴盒、國旗的長寬比例設計，都恪守0.618比值。在音樂會上，報幕員在舞臺上的最佳位置，是舞臺寬度的0.618之處；二胡要獲得最佳音色。最有趣的是，在消費領域中也可妙用0.618這個“黃金數(shù)”，獲得“物美價廉”的效果。據(jù)專家介紹，在同一商品有多個品種、多種價值情況下，將高檔價格減去低檔價格再乘以0.618，即為挑選商品的首選價格。體型的標準尺度，以古希臘的藝術珍品“金星女神”為模特兒，具體標準是以肚臍眼為界，向上到頭頂?shù)拈L度是整個身長的0.382倍；向下到腳心的長度是整個身長的0.618倍。人體

20、黃金分割因素包括4個方面，即18個“黃金點”，如臍為頭頂至腳底之分割點、喉結為頭頂至臍分割點、眉間點為發(fā)緣點至頦下的分割點等；15個“黃金矩形”，如軀干輪廓、頭部輪廓、面部輪廓、口唇輪廓等；6個“黃金指數(shù)”，如鼻唇指數(shù)是指鼻翼寬度與口裂長之比、唇目指數(shù)是指口裂長度與兩眼外眥間距之比、唇高指數(shù)是指面部中線上下唇紅高度之比等；3個“黃金三角”，如外鼻正面觀三角、外鼻側面觀三角、鼻根點至兩側口角點組成的三角等。除此之外，近年國內(nèi)學者陸續(xù)發(fā)現(xiàn)有關的“黃金分割”數(shù)據(jù)，如前牙的長寬比、眉間距與內(nèi)眥間距之比等，均接近“黃金分割”的比例關系。專家們認為，這些數(shù)據(jù)的陸續(xù)發(fā)現(xiàn)不僅表現(xiàn)人體是世界上最美的物體，而且為美容醫(yī)學的發(fā)展，為臨床進行人