數(shù)項級數(shù)習題課

1、第八章 數(shù)項級數(shù)習題課一、主要內(nèi)容 1、基本概念 數(shù)項級數(shù)及其部分和、正項級數(shù)、交錯級數(shù)、正部級數(shù)、負部級數(shù)、級數(shù)的斂散性、絕對收斂、條件收斂2、性質(zhì)收斂級數(shù)的運算性質(zhì)、級數(shù)收斂的必要條件、各種收斂關(guān)系3、判別法則任意項級數(shù)的判別法則：定義法 定量和定性分析，既可以判斷級數(shù)的收斂性、也可以判斷級數(shù)的發(fā)散性，收斂的情形下，還可以求和；Cauchy收斂準則 定性分析，可以判斷級數(shù)的收斂和發(fā)散性；必要條件用于判斷級數(shù)的發(fā)散性；正項級數(shù)的各種判別法 判別正項級數(shù)的斂散性；交錯級數(shù)的判別法 判斷交錯級數(shù)的斂散性；Abel判別法和Dirichlet判別法 判斷通項可以視為兩個因子乘積形式的任意項級數(shù)的收斂

2、性。4、判別原則A）、抽象和半抽象級數(shù)的基本判別法 1）、比較判別法定性判別法 通常選擇幾何級數(shù)和調(diào)和級數(shù)為比較對象，也用于兩個相互關(guān)聯(lián)的級數(shù)間的比較。 2）、Cauchy收斂準則定性判別方法，常用于簡單級數(shù)的判斷，也可以判斷發(fā)散性。 3）、定義法定量和定性，用于簡單級數(shù)的判別。 B）、簡單的具體級數(shù)的判別法 1）、定義法 特別時要求計算和或有和的關(guān)系式時，多用此法； 2）、Cauchy收斂準則 C）、一般的具體級數(shù)1)、正項級數(shù)判別法2）、交錯級數(shù)判別法 3）、Abel判別法和 Dirichlet判別法5、判斷級數(shù)斂散性的一般程序1）、檢驗通項是否收斂于02）、能否計算部分和3）、是否可以與

3、幾何級數(shù)作比較4）、能否用比較、根式或Raabe判別法5）、能否用積分判別法6）、考慮用Cauchy收斂準則7）、更精細的判別法如Kumer 、Gauss判別法等、注、對較為復雜的數(shù)項級數(shù)，在使用上述一般程序前，一定要充分利用已經(jīng)掌握的知識如微積分公式、增量公式、Taylor展開等，先分析結(jié)構(gòu)，由結(jié)構(gòu)決定方法。二、典型例子例1、若收斂，證明也收斂。分析 這是一個半抽象級數(shù)，由于已知另一個級數(shù)的收斂性，因此，可以通過考察二者的關(guān)系，從而利用比較判別法證明結(jié)論，此時通常需要確定一個作對比的級數(shù)，這需要分析通項結(jié)構(gòu)，確定相關(guān)的對比級數(shù)，然后尋求為此所需的各個條件，對本題，作為對比的級數(shù)顯然是或，分析

4、條件可以發(fā)現(xiàn)，后者可以作為對比級數(shù)，此時需要對進行有界性估計；當然，若為正項級數(shù)或絕對收斂，也可以旋轉(zhuǎn)前者為對比級數(shù)。證明：由于收斂，因而，收斂于0，故，存在N，使得nN時，因而，nN時，故，由比較判別法得：收斂。例2、證明：若收斂，則收斂。分析 這是一個抽象的數(shù)列和級數(shù)，且條件類型相當于知道相鄰兩項的估計，由此可得任意兩項差的估計，故，考慮用Cauchy收斂準則。證明：由于收斂，則由Cauchy收斂準則，對，存在N，當nN時，對任意的正整數(shù)p，成立，因而，再次用數(shù)列收斂的Cauchy收斂準則得：收斂。例3、若收斂，則發(fā)散。分析 證明級數(shù)的發(fā)散性，首選工具是級數(shù)收斂的必要條件。證明：由于收斂，

5、故，因而，故，發(fā)散。例4、判斷下列具體級數(shù)的斂散性 1、； 2、；3、； 4、；5、； 6、。分析 對具體的級數(shù)，按照判別斂散性的一般程序，先考察通項的極限，在通項極限為0的情形下，考慮比較判別法，常用的作為比較的級數(shù)的形式為、，通過對通項的結(jié)構(gòu)分析，選擇合適的對比級數(shù)，此時，已經(jīng)學習過的數(shù)列的速度關(guān)系或階的關(guān)系，有利于我們確定對比級數(shù)；對通項中含有n冪次或n！形式的級數(shù)常用Cauchy判別法或DAlembert判別法，更復雜的題目則需選用更精細的判別法。解、1）、， 不收斂于0，此時，級數(shù)發(fā)散；時， ，由比較判別法得收斂。 2、分析結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)對比級數(shù)為的形式，只需比較通項收斂于0的速度。由于

6、對任意的p0,故 ，由比較判別法可知：發(fā)散。3）、通項含有階層形式，故采用比值判別法。記，則 ，故，該級數(shù)發(fā)散。4）、由通項結(jié)構(gòu)為n冪次形式，采用Cauchy判別法。記，則，故，由Cauchy判別法知該級數(shù)收斂。5）、由通項結(jié)構(gòu)可知用DAlembert判別法。記，則，故，該級數(shù)發(fā)散。6）、用Cauchy判別法。記，則，故，該級數(shù)收斂。例5、判斷下列具體級數(shù)的斂散性。1）、 2）、3）、分析通項為積分形式的級數(shù)斂散性的判別，通常有3種方法：1、利用積分判別法，轉(zhuǎn)化為廣義積分的斂散性，此時通項常具有形式 遞增趨于。2、直接計算積分轉(zhuǎn)化為一般形式的數(shù)項級數(shù)。3、通過對積分進行估計，用比較判別法判斷，

7、此時通項常具有形式，其中單減趨于0。在上述3種方法中，常用1、3兩種方法，這是考點。解：1）、從類型看，適用于第一種方法。此級數(shù)與廣義積分具相同的斂散性，由于 收斂，因而由比較方法，收斂，故，該級數(shù)也收斂。2）、典型的第3種方法處理的題型。由于積分上限趨于0，考察被積函數(shù)在0點附近的性質(zhì)，由于時，因而，故此級數(shù)應(yīng)收斂。 上述可以視為結(jié)構(gòu)特征分析，知道了結(jié)構(gòu)特征，具體的驗證方法可以靈活選擇，下面的方法屬于直接比較法。對充分大的n，當時，故，且級數(shù)收斂，因而，原級數(shù)收斂。當然，用比較方法的極限形式更直接，如 由于，因而，原級數(shù)收斂。 注、我們選擇作為對比級數(shù)，是由于結(jié)構(gòu)特征分析為選擇判斷標準提供了

8、依據(jù)，而數(shù)列極限的連續(xù)化處理使得我們能夠利用高級的極限計算方法如LHospital法則。3）、與2）類似，當n充分大時，故收斂?；蛘哂嬎惴椒?或者 ，都可以得到級數(shù)的收斂性。例6、判斷斂散性 1）、 2）、分析典型的積分判別法處理的題型結(jié)構(gòu)。解：1）、由于，因此，由積分判別法，該級數(shù)發(fā)散。2）、分析結(jié)構(gòu)特點，由積分判別法發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。事實上，由于，故，和具有相同的斂散性，由于，因而，由積分判別法，原級數(shù)發(fā)散。例7、判斷斂散性 1）、； 2）、； 3）、。分析這類題目較難，因為所用到的是分析學中最難的“階”的比較或函數(shù)展開理論。注意，展開過程中選擇適當?shù)恼归_項。解：1）、先作“階”的分析。

9、由于故級數(shù)應(yīng)該收斂。驗證這個事實：由于，且收斂，故原級數(shù)收斂。2）、類似，由于，故，該級數(shù)收斂。3）、利用函數(shù)展開則故， ，因而，該級數(shù)收斂。例8 設(shè)，且，證明收斂。分析 這是一個正項級數(shù)，從所給條件看，需借助Taylor展開研究函數(shù)的性質(zhì)，利用展開式得我們試著從上式中分析的性質(zhì)，顯然，估計，則，為估計，需削去，注意到要估計的量的形式為，因此，可取xn1，由此得到一個估計式，注意到右端是相鄰兩項差的形式，由此可以得到一個和式估計，左端正是級數(shù)的部分和，注意到函數(shù)給定的性質(zhì)，至此問題已經(jīng)解決。 證明：任取，在此點展開，則，其中在x和之間，利用條件，則于是，取，xn1，則，因而，由于，故，正項級數(shù)

10、滿足，因而，收斂。例9、給定方程，其中n為正整數(shù)，證明： 1）、方程存在唯一的正實根； 2）、對任意的p1，收斂。分析 采用標準的方法可以證明方程存在唯一的根，剩下的工作就是對根作估計，從方程中很容易得到所要求的估計。證明：1）、記，則，且，因而，方程存在唯一的根。 顯然，根滿足方程，于是，因而，由此得，故，收斂。例10 設(shè)，討論的斂散性。分析 研究級數(shù)的斂散性，其本質(zhì)還是考察其通項是否收斂于0以及收斂于0的速度，因此，必須利用掌握的結(jié)論對通項進行結(jié)構(gòu)分析，挖掘其結(jié)構(gòu)特征，即用最簡單直觀的形式反映出通項收斂于0的特性，從而確定相關(guān)的對比級數(shù)。對本例，其結(jié)構(gòu)和重要的極限公式結(jié)構(gòu)類似，從而利用這個

11、已知的結(jié)論尋找結(jié)構(gòu)特點。事實上，由于有推廣的結(jié)論為，其中，注意到，因而，至此，我們了級數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。證明過程就是利用各種技術(shù)手段驗證上面的結(jié)構(gòu)特征。證明：記，為考察數(shù)列的極限，將離散變量用連續(xù)變量x代替，引入相應(yīng)函數(shù)計算函數(shù)極限的有效工具就是LHospital法則，由于函數(shù)結(jié)構(gòu)較為復雜，涉及到冪指函數(shù)，直接計算極限仍很困難，我們利用求導方法，考察如下的極限：，故，因而，因此，與具有相同的斂散性，即當p1時收斂，當時發(fā)散。 注、也可以用Taylor展開式進行階的比較：由于， ， ，因而，。例11 設(shè)正項級數(shù)發(fā)散，證明：。分析 從所給的條件中，我們得到的信息只有，從要證明的結(jié)論形式中可以發(fā)現(xiàn)，此條

12、件下的結(jié)論極限形式用Stolz定理處理。證明：記，則，因而，由Stolz定理，。 例12 如下構(gòu)造數(shù)列：，證明： 1）收斂，并求其極限；2）、收斂。分析 從題型上看，問題1是用單調(diào)收斂定理來解決，問題2的解決相對簡單，只需對通項進行簡單的性質(zhì)分析即可。證明：1）、記，則因而，單調(diào)遞增。容易驗證，因此，利用上述的單調(diào)性，可以歸納證明單調(diào)遞增，顯然，因而，利用單調(diào)有界收斂定理，收斂，設(shè)其收斂于a，則舍去負根，得。2）、由于對級數(shù)，則其部分和，因此，收斂，故，收斂。例13 證明：，當時收斂，時發(fā)散。分析 我們知道發(fā)散到正無窮，因此，解決本題的關(guān)鍵是對此項趨于無窮的速度估計，如果我們掌握以前學習過的結(jié)

13、論：其中，為Euler常數(shù)，則立即可得原級數(shù)與級數(shù)同時斂散，注意到因而，推斷出：即時收斂；即時發(fā)散。有了上述的分析，具體的證明就很簡單了。證明：由于，因而，存在，使得，記，則，因而，與同時斂散，故，時原級數(shù)收斂；時原級數(shù)發(fā)散。例14 設(shè)收斂，證明 。分析 從題型上看，似乎利用Stolz定理，但是，由于沒有結(jié)論，因而，Stolz定理不可直接用。我們在從條件入手，分析進一步的信息。由條件，我們可以獲得兩條定量信息：、，由此條件出發(fā)，得到與結(jié)論相似的結(jié)論有：，從第二個結(jié)論稍加修改，就可以很容易證明結(jié)論。證明：記級數(shù)的部分和為且收斂于，則由Stolz定理，由于于是，因而，。注、也可以直接從 出發(fā)證明結(jié)

14、論：事實上，利用形式統(tǒng)一法，代入即得結(jié)論。例15 設(shè)且滿足，定義，證明：絕對收斂。分析 解題的關(guān)鍵仍是利用微分性質(zhì)對通項進分析分析。證明: 利用微分中值定理，則其中在與之間。因而，由此遞推可得，由比較判別法得，絕對收斂。例16 設(shè)在單調(diào)遞減，收斂，證明：。分析 從要證明的結(jié)論形式看，處理的方法應(yīng)該是形式統(tǒng)一法，需要將右端的廣義積分分割為無限和的形式，證明的關(guān)鍵也正是選擇一個合適的分割。證明：對任意的h0, 則 ，類似的思想方法得，利用的收斂性和極限的夾逼定理既得結(jié)論。 下面通過級數(shù)間的相互關(guān)系討論斂散性。例171）、設(shè)收斂，證明收斂；2）、討論級數(shù)絕對收斂性。證明：1）、分析 題目中實際給出兩

15、個條件，一個是抽象級數(shù)，另一個是具體級數(shù)，因此，證明的思路是如何利用兩個已知的級數(shù)控制待研究的級數(shù)，從通項形式中可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該是從中分離出形式，常用的工具就是Cauchy不等式。由于，且利用積分判別法可以證明：收斂，因而，由比較判別法，則收斂。 2）、這是一個具體的級數(shù)，按常規(guī)的程序分析。首先證明原級數(shù)的收斂性。由于，且單調(diào)遞減趨于0，因而，由Dirichlet判別法，收斂。其次，考慮絕對級數(shù)的收斂性。由于，類似前述證明：收斂，而發(fā)散（積分判別法），因而，發(fā)散，故，原級數(shù)條件收斂。注、上述方法是處理這類題目的典型處理方法，特別要掌握三角函數(shù)的部分和公式：，因此，成立 ，。注、從上述證明中可知，

16、收斂，而發(fā)散。我們知道，當p1時收斂，當時發(fā)散，p1是臨界指標，并且我們知道，級數(shù)是否收斂和通項收斂于0的速度有關(guān)，因此，上述幾個結(jié)論表明，的通項收斂于的速度不能保證級數(shù)的收斂性，分母上貢獻一個因子lnn后，仍不足以保證級數(shù)的收斂性，但是，一旦這個因子的冪次大于1，級數(shù)就收斂了，因而，p1也是的臨界指標。例18證明：若與都收斂，則也收斂。分析這是抽象級數(shù)斂散性的判別，通過已知級數(shù)和待研究級數(shù)的形式可以看出，借助部分和可以將它們聯(lián)系起來，因而用定義法判別其收斂性。證明：設(shè)、的部分和分別為、，且設(shè)，則故，因而，收斂。下面兩個例子與例18結(jié)構(gòu)相同，處理方法與例18類似。例19證明：若收斂，且，則收斂

17、。證明：設(shè)、的部分和分別為，則，故 ，因此，收斂。例20 設(shè)收斂且，證明：。證明：記的部分和為，則取極限即可得到結(jié)論。 注、從證明過程中發(fā)現(xiàn)，除去定量關(guān)系，上述結(jié)論的逆也成立，即在條件下，若收斂，則也收斂。注、同樣，在、都收斂的條件下，也收斂。下面我們研究級數(shù)更進一步的性質(zhì)。例21設(shè)正項級數(shù)發(fā)散，為其部分和，證明：發(fā)散。分析仍是抽象級數(shù)，考慮用定義方法或Cauchy收斂準則。證明：考察其Cauchy片段因為，故對任意n，存在p0，使得，因此，故，發(fā)散。更一般的結(jié)論是：例22設(shè)正項級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)當p1時收斂，當p時發(fā)散。其中仍是級數(shù)的部分和。證明：利用第16題的結(jié)論知，當時，由比較判別法，此時級數(shù)發(fā)散。下證 當p1時，收斂。事實上，由于， 另一方面，因而；另外，由于級數(shù)的部分和，因而其收斂，由比較判別法，當p1時收斂。注、當p=2時，利用下式有更簡單的證明方法：而用定義可以證明級數(shù)收斂。注、用余和代替部分和還有下述結(jié)論。例23設(shè)是收斂的正項級數(shù)，為余和，則級數(shù)當p1時，對充分大