北航空氣動力學(xué)答案(三章)

1、第三章理想不可壓縮流體平面位流3-1設(shè)有直勻流V二以正X軸方向流過位于原點的點源，點源的強度為 Q，試求 半無限體表面上最大垂直分速度Vmax的位置及速度值，并證明，在該點處合速度的大小正好等于直勻流速度V：解：根據(jù)疊加原理，流函數(shù)為'- My =Vy arctg- cCX(1)利用流函數(shù)表達式（1），可以寫出合速度場中的速度分量為UV22cy 2兀 x+ yy2 2x yVx(2)由（2）式可以確定流場中駐點 A （即Ua二Va =0的點）位置為22：(3)(4)過駐點A的流線，即為半無限體的表面，其方程為2 二 V：半無限體表面上的垂直分速度為v，Q sin V sin22二 x2

2、y2(5)可得dv _ d Vsin _2V：sincosT 亦_亦 二"一V：si n2r(6)ji -0當(dāng) si nr-0 時，v -二，v =VSin =oIT -8tg =當(dāng)二-=_2 時，v =H-0V* 2VsinJ_v：si任，即tg=1.9760315 = 113.2183 ,v - -V.sin2v - 0.72461M：匕=4.3071538=246.7817：,v = -V：si n2 -0.72461M：所以，半無限體表面上最大的垂直分速度為Vmax =0.724611/：(8)該點的位置為(9)Q1.9760315 = 113.2183，y 二在半無限體表面

3、的水平速度分量為Q xQ cos *V：sicost7旳 二VaQ2二 x2y2ji -0(10)在該點處的水平速度分量為u =V：十=0.68915牡(11)則該點處的合速度為(12)3-2令G x,y是二維拉普拉斯方程的解，請證明 G x, y可以代表二維無粘不可 壓縮流動的位函數(shù)或流函數(shù)。證明：G x,y =0a fcG& 1 £xWy丿cGu =次Gv 二:y有：i"二衛(wèi)趙八g=o -z 丫_衛(wèi) #一空=ox；:y；x .y :xy ：x_：y7同時滿足不可壓及無旋條件，所以可以代表二維無粘不可壓縮流動位函數(shù)cGu 二J ZV至:：X有：Idxby：x：y：

4、x：y=0.x:y：2G：2g:x :x :：yy滿足不可壓平面流動條件，所以可以代表二維無粘不可壓縮流動流函數(shù)3-3在正三角形的三個角點a,0， -a,0， 0, .3a處放入三個等強度的點源,試寫出該流動的流函數(shù)，確定其駐點坐標，并粗略地勾畫出對應(yīng)的流譜。解：設(shè)點源的強度為Q，根據(jù)疊加原理，該流動的流函數(shù)為arctg arctgx ax + a+ arctg _3a（ 1）x由（1）可以給出流動的速度分量x + a+2 2x a 1 亠 yf評 Qu =一dyx ay_2y -43a x2 y - . 3ay_ 2 2 2x_ai 亠 y x ai 亠y由（2）式可以確定流場中駐點 A （

5、即Ua =Va =0的點）位置為匚 Xa 二 0I a (3)*一33-4疊加中心在原點的點渦和點源，試證其合成流動是一種螺旋形流動。 在這一種流動中，速度與極半徑之間的夾角處處相等，其值等于arctg -二Q解：根據(jù)疊加原理，合成流動的位函數(shù)為lnr 2(1)由（1）可以給出流動的速度分量V亠cr 2兀 r(2)速度與極半徑之間的夾角:為V r- - arctg arctgQ2- r2 - rVraQ(3)3-5在-a,0和a,0分別放入強度相等的點源和點匯，直勻流 V：沿x軸流來。設(shè)點源的強度為Q=2；V：a，試求流動的流函數(shù)、前后駐點的位置和零流線的形 狀。該零流線所代表的封閉物體稱之為

6、蘭金卵形，試確定該蘭金卵形的短半軸 值。解：根據(jù)疊加原理，該流動的流函數(shù)為- =V y Q i arctg-arctg2兀 Ix + ax-a丿.（1） （ yy '二 V y Vai arctg-arctg:V x+a x-a丿由（1）可以給出流動的速度分量v/aV/-GVcy-uv = V .acX°°x ax-ax a 2y2x _a 2 y2y前后駐點的位置為2 - 3a( 3)yA = °零流線的形狀為2 2 x_a)+y (4)y -arctg:x - a當(dāng)x = 0時，數(shù)值求解得 -1.3065a，所以該蘭金卵形的短半軸為1.3065a。3-

7、6設(shè)有直勻流* =V-y繞過兩種物體，一種是蘭金卵形封閉物體，另一種是半 徑等于蘭金卵形物體短軸的圓柱體，試比較在這兩種物體表面上所產(chǎn)生的最大 速度之比，并給出適當(dāng)?shù)奈锢斫忉?。解：由于蘭金卵形和圓柱物體均為左右對稱，因此最大速度位置均出現(xiàn)在左右的對稱面上。蘭金卵形物體表面上對稱面位置的坐標為0, 1.3065a，該點處的速度為Ui =v比十J| x +aI22*22x a y x_a y= 1.738841/：(1)-0yy2 2 2 2x a I 亠 y x-a1 亠 y蘭金卵形物體表面上所產(chǎn)生的最大速度為 Vmax=口 = 1.738841/好根據(jù)疊加原理，圓柱繞流的流函數(shù)為' -

8、V7 -M 2 7 2 (2)x + yy2v 二一 ex2xy圓柱表面上左右對稱面位置的坐標為0, 1.3065a，該點處的速度為x2 - y2U2=V：-M尹二 V：(x +y )Mxox2 y2圓柱表面上所產(chǎn)生的最大速度為Vmax,2 = U2 = 2VJOo蘭金卵形物體和圓柱物體表面上所產(chǎn)生的最大速度之比為沁=1.738841 =0.869721Vmax,22(4)(5)3-7在-a,0和a,0有等強度的點源和點匯，試證明它們對無窮遠處(即x,yL a )的作用和一個位于原點的偶極子的作用完全一樣。證明：位于原點的強度為M =2Qa =Qa的偶極子的位函數(shù)為2兀兀=M 2 x 2 x

9、2 ( 1)x y - x根據(jù)疊加原理,強度為Q的分別位于在-a,0和a,0的點源和點匯構(gòu)成的流動的位函數(shù)為一乎 Inx a $ y22 2Q t x a y Q ln 4 :1(x + a)2+y244 :4:In -arln 1 +4ax(2)當(dāng)x, yL a時,4ax4ax 小有xJy固有-(x-af + y2jIn4ax I Q4ax 廠7卞ErQ 4ax Qa x4 x2 y2二 x2 y23-8位于0,a和0,-a處有兩個強度相等的旋轉(zhuǎn)方向相反的點渦，當(dāng)a > 0時保持2二al為常數(shù)，試證其對應(yīng)的流動與軸線在 x軸的偶極子完全相同。證明：位于原點的軸線沿-X軸方向的強度為M的

10、偶極子的流函數(shù)為=M2 ( 1)x y根據(jù)疊加原理，位于 0,a和0,-a處的強度為-的旋轉(zhuǎn)方向相反的點渦產(chǎn)生的復(fù)合流場的流函數(shù)為4 二r 一 =In - 4兀-22-2In x +(y_a)丨 + In x +(y+a-4兀-X2 y a 222 =x y-a4兀 -r 一 In 1 + 4兀4ay22x y-a(2)對（2）式兩端取極限，有r lim In 1 + aT 4兀'li4ay22xTim °2+ (y_a t 兀 x2+(y_a)(3)V：沿當(dāng) M a 時，二' i。3-9在-a,0和a,0處分別布置強度為Q的等強度的點匯和點源，直勻流x軸方向流來，試

11、寫出合成流動的流函數(shù)，并證明其包含駐點的流線方程為2 2 2x y a2aytan 2 V：y Q設(shè)a =V：-Q；2二=1，請畫出合成流動對應(yīng)的物體形狀。證明：合成流動的流函數(shù)為屮 =Vcy' arctg _arctg（ 1）2兀 Ix ax + a丿流場中各點的速度分量為yQ （x_a） 珂（x a"Q yy-X 2- x-a 亠 y2x a i 亠 y2由（2）可求得駐點的位置為遵歹因此包含駐點的流線方程Qi'yy V y arctgarctg0 （ 3）2兀 Ix-ax+a 丿流線方程（3）可以進一步改寫為2 二 V_yyy /八arctgarctg （ 4）

12、Qx ax-atan 淖=tan arctg 丄-arctg 丄 L 2 寫 2（ 5） QV xa x + a 丿 x + y -a所以，包含駐點的兩條流線方程為y=0（6-1）2222ayx y -a（6-2）tan （2兀 Q ）當(dāng)a二V： -Q：2二=1時，包含駐點的流線方程（6-2）簡化為x2 y2 = 1 2y （ 6-2） tan y3-10相距2a、強度為Q的等強度點源和點匯，位于一條與正 x軸成45度的直線上,點源和點匯相對于原點對稱。試證當(dāng)a > 0時，并保持2二aQ等于常數(shù)M時， 此時形成的偶極子的流函數(shù)為證明:動的流函數(shù)為M、2 y - x2 22- 2 x2 y

13、22 血、-一a, _a，點匯位于' 返a,返a1 2 2丿I22丿,則點源與點匯合成流設(shè)點源位于arctgI x +ytarctgy-密燈2ax-V22a ,(1)對（1）式進行變換有y 、2 2a y -、2 2atan "屮 x+Q2a x_Q2aV2a(x_y)an Q y .2 2a y - 2 2a x2 y2 _a2 1亠x 2 2a x- ,2 2a(2)Jarctgx y2二x2y2 -a2(3)對（3）式兩端取極限，有x2y2 - a22二x2y2M 2 y - x(4)r 嚴ctg2a -y Qa、2 y - x 3-11試證在直勻流中，半徑為a的圓柱體表面上的壓強系數(shù)為C°=14s in2 日 1+、