必修四平面幾何中的向量方法附答案

1、平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及其它一些實(shí)際問題的過程.2.體會(huì)向量是一種處理幾何問題的有力工具.3.培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問題的能力知識(shí)點(diǎn)一向量方法在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a，b，aba·b0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos .(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|.思考ABC中，M、

2、N分別為AB、AC的中點(diǎn)求證：MNBC.證明設(shè)a，b，則ba，又M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)a，b.AMN中，ba(ba)，即與共線，MNBC.知識(shí)點(diǎn)二直線的方向向量(1)直線AxByC0的方向向量為(B，A)；直線ykxb的方向向量為(1，k)(2)應(yīng)用直線的方向向量求兩直線的夾角已知直線l1：yk1xb1與直線l2：yk2xb2，它們的方向向量依次為v1(1，k1)，v2(1，k2)當(dāng)v1v2，即v1·v21k1k20時(shí)，l1l2，夾角為直角；當(dāng)k1k21時(shí)，v1·v20，直線l1與l2的夾角為(0°<<90°)不難推導(dǎo)利用k1、k2表示

3、cos 的夾角公式：cos .思考1已知直線l：2xy10，在下列向量： v1(1,2)；v2(2,1)；v3；v4(2，4)其中能作為直線l方向向量的有：_.答案思考2直線x2y10與直線2xy30的夾角為_；直線2xy10與直線3xy10的夾角為_答案90°45°知識(shí)點(diǎn)三直線的法向量(1)直線AxByC0的法向量為(A，B)；直線ykxb的法向量為(k，1)(2)直線法向量的簡單應(yīng)用：利用直線的法向量判斷兩直線的位置關(guān)系：對(duì)于直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它們的法向量分別為n1(A1，B1)，n2(A2，B2)當(dāng)n1n2時(shí)，l1l2或l1與l2

4、重合即A1B2A2B10l1l2或l1與l2重合；當(dāng)n1n2時(shí)，l1l2.即A1A2B1B20l1l2.思考直線l1：(a2)x(1a)y30與直線l2：(a1)x(2a3)y20垂直，則a的值為_答案±1解析n1(a2,1a)，n2(a1,2a3)，l1l2，n1·n2(a2)(a1)(1a)(2a3)(a1)(a1)0，a±1.題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用例1求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值解如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)A(2a,0)，B(0,2a)，則D(a,0)，C(0，a)，從而可求：(2a，a)，

5、(a，2a)，不妨設(shè)、的夾角為，則cos .故所求鈍角的余弦值為.跟蹤訓(xùn)練1已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BECF；(2)APAB.證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0,1)(1)(1,2)，(2，1)·(1)×(2)2×(1)0，即BECF.(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y1)，(2,1)，x2(y1)，即x2y2，同理，由，得y2x4，由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)| 2|，即APAB.題型二向量在解析幾何中的應(yīng)用例2已知ABC的三個(gè)頂

6、點(diǎn)A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點(diǎn)(1)求直線DE、EF、FD的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在直線方程解(1)由已知得點(diǎn)D(1,1)，E(3，1)，F(xiàn)(2，2)，設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點(diǎn)，則.(x1，y1)，(2，2)(2)×(x1)(2)(y1)0，即xy20為直線DE的方程同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x5y80，xy0.(2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在直線上任意一點(diǎn)，則.·0.又(x6，y2)，(4,4)4(x6)4(y2)0，即xy40為所求直線CH的方程跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,

7、4)，C(2,6)，試用向量方法求直線AC和OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的交點(diǎn)P的坐標(biāo)解設(shè)P(x，y)，則(x，y)，(x4，y)，因?yàn)镻是AC與OB的交點(diǎn)，所以P在直線AC上，也在直線OB上，即得，由點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)得，(2,6)，(4,4)，得方程組解得故直線AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)題型三平面向量的綜合應(yīng)用例3如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC2BA，ABC60°，作AEBD交BC于E，求的值解方法一(基向量法)設(shè)a，b，|a|1，|b|2.a·b|a|b|cos 60°1，ab.設(shè)b，則ba.由AEBD，得·0.即

8、(ba)·(ab)0.解得，.方法二以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，設(shè)B(0,0)，C(2,0)，A，D.又設(shè)E(m,0)，則，.由AEBD，得·0.即×0，得m，所以.跟蹤訓(xùn)練3已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PFCE為矩形求證：PAEF且PAEF.證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy(如圖所示)，設(shè)正方形邊長為1，|，則A(0,1)，P，E，F(xiàn)，于是，.| ，同理|，|，PAEF.·0，.PAEF.轉(zhuǎn)化條件證“三心”例4(1)已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面

9、上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足()，其中(0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A重心 B垂心 C外心 D內(nèi)心(2)已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足()，其中(0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A重心 B垂心 C外心 D內(nèi)心(3)已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足()，其中(0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A重心 B垂心 C外心 D內(nèi)心解析(1)由已知得()，兩邊同向量取數(shù)量積，得·()(|)0，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的垂心，故選B.(2)對(duì)()，其中(0，)進(jìn)行移項(xiàng)轉(zhuǎn)化，設(shè)ABC的B

10、C邊上的高為h，BC邊上的中點(diǎn)為D，則由已知得()，即，向量與向量共線，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的重心，故選A.(3)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則由已知得()，兩邊同時(shí)與向量取數(shù)量積，得·()(|B|)0，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的外心，故選C.答案(1)B(2)A(3)C1已知ABC，a，b，且a·b<0，則ABC的形狀為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D不能確定2已知A(1,2)，B(2,1)，以AB為直徑的圓的方程是_3在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(3,4)，若點(diǎn)C在AOB的平分線上且|2，則_.4正方形OABC的邊長為1，點(diǎn)D，E

11、分別為AB，BC的中點(diǎn)，試求cosDOE的值5已知直線l1：3xy20與直線l2：mxy10的夾角為45°，求實(shí)數(shù)m的值一、選擇題1在ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(4,7)，則BC邊的中線AD的長是()A2 B. C3 D.2點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足···，則點(diǎn)O是ABC的()A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)3在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D104若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|2|，則ABC的形狀是()A等腰三角形

12、 B直角三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形5已知點(diǎn)A(，1)，B(0,0)，C(，0)，設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有，其中等于()A2 B. C3 D6若四邊形ABCD滿足0，()·0，則該四邊形一定是()A正方形 B矩形C菱形 D直角梯形7已知直線axbyc0與圓x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|，則·_.8已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|3，|4，|5.則···_.9.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若m，n，則mn的值為_10已知P、Q為ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且，則AP

13、Q的面積與ABC的面積之比為_三、解答題11過點(diǎn)A(2,1)，求：(1)與向量a(3,1)平行的直線方程；(2)與向量b(1,2)垂直的直線方程12三角形ABC是等腰直角三角形，B90°，D是BC邊的中點(diǎn)，BEAD，延長BE交AC于F，連接DF.求證：ADBFDC.13.如圖所示，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AE、CD交于點(diǎn)P.求證：BPDC.當(dāng)堂檢測答案1答案A2答案x2y2x3y0解析設(shè)P(x，y)為圓上任一點(diǎn)，則(x1，y2)，(x2，y1)，由·(x1)(x2)(y2)(y1)0，化簡得x2y2x3y0.3答案解

14、析已知A(0,1)，B(3,4)，設(shè)E(0,5)，D(3,9)，四邊形OBDE為菱形AOB的角平分線是菱形OBDE的對(duì)角線OD.設(shè)C(x1，y1)，|3，.(x1，y1)(3,9)，即.4解以O(shè)A，OC所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知：，故cosDOE.即cosDOE的值為.5解設(shè)直線l1，l2的法向量為n1，n2，則n1(3,1)，n2(m，1)由題意：cos 45°.整理得：2m23m20，解得：m2或m.課時(shí)精練答案一、選擇題1答案B解析BC中點(diǎn)為D，|.2答案D解析··，()·0.·0.OBAC.同理OABC，OCAB

15、，O為三條高的交點(diǎn)3答案C解析·(1,2)·(4,2)440，S四邊形ABCD|·|××25.4答案B解析|，|2|，|，四邊形ABDC是矩形，且BAC90°.ABC是直角三角形5答案C解析如圖所示，由題知ABC30°，AEC60°，CE，3，3.6答案C解析0，四邊形ABCD是平行四邊形，由()·0，得·0，即此四邊形對(duì)角線互相垂直，故為菱形7答案解析如圖，作ODAB于D，則在RtAOD中，OA1，AD，所以AOD60°，AOB120°，所以·|·|co

16、s 120°1×1×().8答案25解析ABC中，B90°，cos A，cos C，·0，·4×5×16，·5×3×9.···25.9.答案2解析O是BC的中點(diǎn)，()又m，n，.M，O，N三點(diǎn)共線，1.則mn2.10答案解析如圖，根據(jù)題意，P、Q為ABC中位線DE、DF的中點(diǎn)，PQEFBC，而A到PQ的距離是到BC距離的，根據(jù)三角形的面積公式可知，SAPQSABC.三、解答題11解設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，A(2,1)，(x2，y1)(1)由題意知a，(x2)×13(y1)0，即x3y50.所求直線方程為x3y50.(2)由題意，知b，(x2)×(1)(y1)×20，即x2y40，所求直線方程為x2y40.12證明如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0)，C(0,2)，則D(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，設(shè)F(x，y)，由，得·0，即(x，y)·(2,1)0，2xy