高價(jià)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)歸納與總結(jié)

1、高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則對高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)問題是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn)，對其求導(dǎo)數(shù)具有運(yùn)算量大、技巧性強(qiáng)的特點(diǎn)，尤其值得歸納與研究，以便找到合適的求解方法，這樣才能達(dá)到事半功倍，觸類旁通的效果。下面就詳細(xì)闡述幾種求解高階導(dǎo)數(shù)的常用方法，希望對大家有所幫助和啟發(fā)。71 先拆項(xiàng)再求導(dǎo)法這種方法適用于這樣的一些函數(shù)，它們那些經(jīng)拆項(xiàng)后，變成了易于求解高階導(dǎo)數(shù)的一些基本形式之和，然后利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算中和的法則來分項(xiàng)求導(dǎo)。例如在求有理分式函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可先化為部分分式，然后求導(dǎo)。要想熟練的掌握這種方法，就要求我們記得一些基本函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的基本形式，例如下面這些基本形式；。例3.1.1 求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

2、。解 ， 。例3.1.2 求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解 ； 2 直接利用Leibniz公式求高階導(dǎo)Leibniz公式：設(shè)與都是階可導(dǎo)函數(shù)，則它們的積函數(shù)也階可導(dǎo)，且成立公式這里是組合系數(shù)。在利用Leibniz公式求解高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用，其主要的思想就是將所要求導(dǎo)的函數(shù)，化成兩個(gè)函數(shù)乘積的形式，然后利用Leibniz公式。 例3.2.1  驗(yàn)證函數(shù) 滿足微分方程 并依此求。 解   ，再兩端求導(dǎo)，得     化簡，可得 對上式兩端求n 階導(dǎo)數(shù),  利用Leibniz公式,&#

3、160; 有      ?？梢姾瘮?shù)滿足所指的微分方程。  在上式中令得遞推公式， 注意到  和 ，所以， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)  ；當(dāng)  時(shí),  ；綜上， 。3 用數(shù)學(xué)歸納法求高階導(dǎo)數(shù)在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們常常是由低階到高階逐步求導(dǎo)，先求出函數(shù)的前幾階導(dǎo)數(shù)，再觀察思考，總結(jié)歸納，如果發(fā)現(xiàn)其中有遞推的規(guī)律，就可以先列出遞推公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例子3.3.1 試證明：試證明等式 。證明 當(dāng) 時(shí)， ， 等式成立； 當(dāng) 時(shí) ， 等式成立；假設(shè) 時(shí)等式成立，即； ；現(xiàn)來驗(yàn)證時(shí)，等式也成

4、立。可見，時(shí)，等式也成立。綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知，等式成立。4 用遞推公式求高階導(dǎo)方法要點(diǎn)，當(dāng)高階導(dǎo)數(shù)無法直接求出時(shí)，可考慮先求出導(dǎo)數(shù)的遞推公式，方法是先求前幾階的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，然后設(shè)法將等式作適當(dāng)處理，使兩端同時(shí)求導(dǎo)時(shí)能得到一般的遞推關(guān)系。例3.4.1 設(shè)， 求。解 化簡，可得， （1）兩邊再求導(dǎo)并化簡，得， （2）應(yīng)用Leibni公式對（2）式兩邊求階導(dǎo)數(shù)，得； （3）在（1）、（2）、（3）中，令，得, ，從而，有 ，。綜上，有 。5 利用Taylor級數(shù)的展開式求導(dǎo)數(shù)利用Taylor展開的唯一性，可以方便地求出函數(shù)在某一點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)。如果將按的冥展開成冥級數(shù)，那么它必定是的Taylor展開式 （1）因此，若一旦得到展開式 （2）比較（