最短路線和最速降線

1、最短路線和最速降線一、最短路線1問(wèn)題 設(shè)一輛汽車(chē)停止于處并垂直于方向，此汽車(chē)可轉(zhuǎn)彎的最小圓半徑為,求不倒車(chē)時(shí)由移到的最短路線。（1）討論的情形。（2）簡(jiǎn)單討論的情形。2假設(shè) 將汽車(chē)視為一個(gè)點(diǎn)，汽車(chē)行走的路線視為一條曲線。3建模 （1）討論的情形。以為軸正向，作一半徑為的圓與軸切于點(diǎn)，問(wèn)題就是要找一條最短曲線連結(jié)，在點(diǎn)切于軸正向，且任一點(diǎn)的曲率半徑不小于。直觀上不難猜測(cè)出最短路徑。從點(diǎn)向圓做切線，那么由點(diǎn)沿圓弧移到點(diǎn)，再沿直線移到點(diǎn)，這就是最短路徑（如圖1所示）。為了證明這一事實(shí)，作一條直線通過(guò)圓的中心和點(diǎn)。假設(shè)汽車(chē)沿某一條曲線由點(diǎn)移到點(diǎn)，因、分別在直線兩側(cè)，與必有一交點(diǎn)被分成弧和弧兩段。因與垂

2、直，弧的長(zhǎng)度必不小于線段的長(zhǎng)度（當(dāng)且僅當(dāng)弧與線段重合時(shí)才可能相等）。設(shè)弧的參數(shù)方程為 圖1其中為弧長(zhǎng)。在點(diǎn)處，曲線的切線與軸的夾角記為，依條件有當(dāng)時(shí)，故從而。研究曲線上的點(diǎn)與直線的距離（在的右邊為正）因?yàn)?故 因此當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí),。故故當(dāng)時(shí)，這就是說(shuō)，當(dāng)汽車(chē)移動(dòng)距離不超過(guò)（就是弧的長(zhǎng)度）時(shí)，它不可能越過(guò)直線。因此弧的長(zhǎng)度至少為,并且只有當(dāng)弧與完全重合時(shí)，它的長(zhǎng)度才能等于?？偨Y(jié)上述討論，知曲線的長(zhǎng)度必不小于并且只有當(dāng)與重合時(shí)才可能相等。因此是唯一的最短路徑。（2）若點(diǎn)在圓內(nèi)，即則應(yīng)過(guò)點(diǎn)作一半徑的圓，其圓心在延長(zhǎng)線上，再過(guò)點(diǎn)作一圓，半徑為，且與前圓切于點(diǎn)，則最短路徑是弧和弧所組成的曲線（如圖2所示）

3、。圖2二、最速降線 1問(wèn)題 意大利科學(xué)家伽利略在1630年提出一個(gè)分析學(xué)的基本問(wèn)題“鉛直平面內(nèi)給定不在一條垂直線上的兩個(gè)點(diǎn)A,B, 如圖3,求連接它們的光滑曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿該曲線以最短時(shí)間從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)（摩擦力不計(jì)）”。他說(shuō)這曲線是圓，可是這是一個(gè)錯(cuò)誤的答案。 瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利在1696年再提出這個(gè)最速降線的 圖3問(wèn)題（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位數(shù)學(xué)家得到正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達(dá)和伯努利兄弟。牛頓用非凡的微積分技巧解出了最速降線方程，約翰·伯努利用光學(xué)的辦法巧妙的也解出最速降線方程，雅各布&

4、#183;伯努利用比較麻煩的辦法解決了這個(gè)問(wèn)題。這問(wèn)題的正確答案是連接兩個(gè)點(diǎn)上凹的唯一一段旋輪線或圓滾線。 旋輪線與1673年荷蘭科學(xué)家惠更斯討論的擺線相同。因?yàn)殓姳頂[錘作一次完全擺動(dòng)所用的時(shí)間相等，所以擺線（旋輪線）又稱(chēng)等時(shí)曲線。 數(shù)學(xué)家十分關(guān)注最速降線問(wèn)題，大數(shù)學(xué)家歐拉也在1726年開(kāi)始發(fā)表有關(guān)的論著，在雅各布·伯努利方法的基礎(chǔ)上，1744年最先給了這類(lèi)問(wèn)題的普遍解法，并產(chǎn)生了變分法這一新數(shù)學(xué)分支?，F(xiàn)在來(lái)看，雅各布的方法是最有意義和價(jià)值的。2假設(shè) 質(zhì)點(diǎn)在滑動(dòng)過(guò)程中不考慮空氣阻力。3模型 盡管A，B兩點(diǎn)間的最短距離是連接它們的直線，但是沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)速度增長(zhǎng)較慢，如果沿一條陡峭的曲線

5、下滑，雖然路徑加長(zhǎng)，但運(yùn)動(dòng)速度增長(zhǎng)很快。為了求這條運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的曲線，在圖3中將A點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x1,y1），連接A，B的曲線記為y(x)，于是曲線上的弧長(zhǎng)為.根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)點(diǎn)在曲線y(x)上任一點(diǎn)的速度滿足,其中m是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，g是重力加速度。將上面ds的關(guān)系代入，得到,于是質(zhì)點(diǎn)沿曲線y(x)從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的時(shí)間可表示為(1)y(x)在A，B兩個(gè)端點(diǎn)應(yīng)有y(0)=0,y(x1)=y1(2)最速降線問(wèn)題歸結(jié)為求y(x)，在滿足（2）的條件下，使（1）的J(y(x)達(dá)到最小。4求解 約翰·伯努利設(shè)想質(zhì)點(diǎn)也像光線那樣按從A到B耗時(shí)最少的路徑滑行，根據(jù)光學(xué)原理（史奈爾折射定律）得 （3） 由能量守恒定律得 （4） 由幾何關(guān)系得 （5） 由（3）、（4）、（5）得 （6）上述解法讓我們見(jiàn)識(shí)了數(shù)學(xué)建模中的類(lèi)比想象能力是何等的寶貴?，F(xiàn)實(shí)世界各種現(xiàn)象之間的模擬是一種重要的科研方法。約翰·伯努利解決最速降線的方法非常奇妙，表現(xiàn)出驚人的想象力，可以說(shuō)是一項(xiàng)水平極高的藝術(shù)工作。5應(yīng)用 滑梯是兒童樂(lè)園中常見(jiàn)的玩具。有的滑梯的滑板是平直，還有一種滑梯是彎曲的，它的滑面是旋輪線。旋輪線滑面上的小朋友可以最短時(shí)間到達(dá)地面。 最速降線在建筑中也有著美妙的應(yīng)用。我國(guó)古建筑中的