整數(shù)分拆之最值與應用強化篇

1、整數(shù)分拆之最值與應用一、拆分的基礎知識整數(shù)的拆分問題常常以計數(shù)問題、最值問題等形式出現(xiàn)，因此除了掌握有關的等差數(shù)列、數(shù)的整除、平均數(shù)等基本知識外，還要求掌握加法原理、乘法原理、枚舉法、篩選法等基本的記數(shù)原理和方法。二、拆分基本方法1.題目要求拆質(zhì)數(shù)且乘積最大若可以拆相同的數(shù)字就按照“多拆3，少拆2，不拆1拆分后乘積最大”原則。2.若題目要求拆成若干個互不相同的自然數(shù)之和要求這些自然數(shù)的乘積盡量大應將數(shù)列拆分成：a234的形式，但是實際計算的時候會發(fā)現(xiàn)一般不能拆成恰好相同，則：當多0時，將a拆成a234 (n-1) n；當多1時，將a拆成a345 (n-1) ( n-1)；當多2，3，n1中的數(shù)

2、時，就將該數(shù)從2，3，n1，n中刪除，其余數(shù)即為所拆之數(shù)。 例如：將30拆成若干個互不相同的自然數(shù)之和，要求這些自然數(shù)的乘積盡量大，應怎樣拆？234567835比30大5，故將5去掉30被拆成234678【例1】將15拆分成2個數(shù)的和，并且使這2個數(shù)的乘積最大，應該怎樣拆分？最大值是多少？【鞏固1】把11拆分成兩個自然數(shù)的和，再求出這兩個自然數(shù)的積，要使這個積最大，應該如何拆分？【鞏固2】試把14拆分為兩個自然數(shù)之和，使它們的乘積最大?！纠?】試把14拆分為3個自然數(shù)之和，使它們的乘積最大?！眷柟獭吭嚢?9拆分為3個自然數(shù)之和，使它們的乘積最大。【例3】試把1999拆分為8個自然數(shù)的和，使其乘

3、積最大?！眷柟獭吭嚢?553拆分為6個自然數(shù)的和，使其乘積最大?！纠?】將一根長144厘米的鐵絲,做成長和寬都是整數(shù)的長方形,共有 種不同的做法，其中面積最大的是哪一種長方形？【鞏固】有長方形和正方形三塊地。它們的周長是100米，它們的一條邊長分別是30米，28米和25米。這三塊中哪一塊地最大？面積是多少？【例5】把14拆分成若干個自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的積，要使得到的積最大，應該把14如何拆分？這個最大的乘積是多少？【鞏固】分別拆分2001、1994、1993三個數(shù)，使拆分后的積最大。【例6】把72拆分成若干個互不相等的自然數(shù)之和，且使所有加數(shù)的乘積盡可能大，如何拆分？【鞏固】把1993拆

4、分成若干個互不相等的自然數(shù)的和，且使這些自然數(shù)的乘積最大，該乘積是多少？答案【例1】將15進行拆分，并計算乘積15114 11414 15213 2132615312 31236 15411 41144 15510 51050 1569 6954 1578 7856 15拆分成7和8的和，乘積最大，是56 【鞏固1】把11拆分成兩個自然數(shù)的和，當不考慮加數(shù)的順序時有110，29，38，47，56五種方法它們的乘積分別是：11010，2918，3824，4728，5630 顯然，把11拆分成56時有最大的積5630【鞏固2】把14拆分成兩個自然數(shù)之和，共有7種不同的方式若想乘積最大 1477，7

5、749 因此，當把14拆分為兩個7之和的時候，乘積(7749)最大【例2】由例1的說明對于兩個數(shù)可知，假設nab (ab)且ab1時，乘積ab不是最大的。換句話說，若nab (ab)，當a、b兩數(shù)相等或差為1時，乘積ab取最大值。那么對于三個數(shù)呢？假設nabc (abc)且ac1時，乘積abc不是最大的。若nabc (abc)，當a、b、c中的任意兩數(shù)相等或差為1時，乘積abc取最大值。 因為14342，由分析可知：當ab5且c4時乘積abc554100為最大值【鞏固】利用上面的結論可知，若nabc (abc)當a、b、c中的任意兩數(shù)相等或差為1時，乘積abc取最大值由分析可知：當ab6且c7

6、時乘積abc667252為最大值【例3】反復使用上述結論，可知要使拆分成的8個自然數(shù)的乘積最大必須使這8個數(shù)中的任意兩數(shù)相等或差數(shù)為1因為199982497，199982497由上述分析，拆法應是1個249，7個250其乘積2492507為最大【鞏固】利用例題3的結論：可知要使拆分成的6個自然數(shù)的乘積最大必須使這6個數(shù)中的任意兩數(shù)相等或差數(shù)為1因為155362585由上述分析，拆法應是1個258，5個259其乘積2582595為最大【例4】36種，當長與寬都是36厘米時,面積最大 【鞏固】邊長是25的正方形的地面積最大，是625平方米【例5】根據(jù)上面的討論結果，我們應該把14拆分成四個3與一個2之和即1433332這五數(shù)的積有最大值33332162 【鞏固】20016673 2001拆分成(667個3的和)時，其積最大199466432 1994拆分成(664個3的和) 2時，其積最大 199366431 1993拆分成時，其積最大【例6】為使所有加數(shù)的乘積最大，顯然要使加數(shù)的個數(shù)盡可能多，每個加數(shù)盡可能小，但又不能