必修二第三章直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)(答案)

1、必修二 第三章 直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), =0, k = tan0=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), = 90, k 不存在.當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過兩點(diǎn)的直線的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2）注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率

2、不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（

3、b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （6）兩直線平行與垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點(diǎn) 相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則 （9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（10）兩平行直線距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為直線的方程1. 設(shè)a，b，c是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明 A、B、C三點(diǎn)共線，kAB=kAC，化簡得a2+ab+

4、b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，b-c0，a+b+c=0.2.若實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為（ ）A. B.C. D.答案D3.求經(jīng)過點(diǎn)A（-5，2）且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程； 解 當(dāng)直線l在x、y軸上的截距都為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為y=kx,將（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此時(shí)，直線方程為y=-x, 即2x+5y=0.當(dāng)橫截距、縱截距都不是零時(shí)，設(shè)所求直線方程為=1，將（-5，2）代入所設(shè)方程，解得a=-，此時(shí)，直線方程為x+2y+1=0.綜上所述，所求直線方

5、程為x+2y+1=0或2x+5y=0.4.直線l經(jīng)過點(diǎn)P（3，2）且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，OAB的面積為12，求直線l的方程. 解 方法一 設(shè)直線l的方程為（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直線方程為=1,即2x+3y-12=0.方法二 設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3),令y=0,得直線l在x軸上的截距a=3-,令x=0,得直線l在y軸上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直線方程為y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.9.已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，求m

6、的取值范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A（0，-1）點(diǎn).kAP=-2，kAQ=，則-或-2，-m且m0.又m=0時(shí)直線x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，所求m的取值范圍是-m.方法二 過P、Q兩點(diǎn)的直線方程為y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-. 由已知-1-2, 解得-m.兩直線方程例1 已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；（2）l1l2時(shí)，求a的值.解 （1）方法一 當(dāng)a=1時(shí)，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時(shí)，l1:y=-3,l2:x-y-

7、1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a1且a0時(shí)，兩直線可化為l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 綜上可知，a=-1時(shí)，l1l2，否則l1與l2不平行. 方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-12=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1)-160,l1l2a=-1,故當(dāng)a=-1時(shí)，l1l2，否則l1與l2不平行.（2）方法一 當(dāng)a=1時(shí)，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直，故a=1不成立.當(dāng)a1時(shí)，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由=-1a=.方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.例3 已知直線l過點(diǎn)

8、P（3，1）且被兩平行線l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的方程.解 方法一 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3,此時(shí)與l1,l2的交點(diǎn)分別是A（3，-4），B（3，-9），截得的線段長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.若直線l的斜率存在時(shí)，則設(shè)直線l的方程為y=k(x-3)+1,分別與直線l1,l2的方程聯(lián)立，由,解得A.8分由,解得B, 由兩點(diǎn)間的距離公式，得+=25，解得k=0,即所求直線方程為y=1. 綜上可知，直線l的方程為x=3或y=1. 方法二 設(shè)直線l與l1,l2分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+y1+1=0,

9、x2+y2+6=0,兩式相減，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 6分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25聯(lián)立可得或, 10分由上可知，直線l的傾斜角分別為0和90，故所求的直線方程為x=3或y=1.例4 求直線l1:y=2x+3關(guān)于直線l:y=x+1對(duì)稱的直線l2的方程.解 方法一 由 知直線l1與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），設(shè)直線l2的方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線l上任取一點(diǎn)（1，2），由題設(shè)知點(diǎn)（1，2）到直線l1、l2的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得=，解得k=(k=2舍去)，直線l2的方程為x-2y=0.方法二 設(shè)所求直線上一點(diǎn)P（x,y）

10、,則在直線l1上必存在一點(diǎn)P1（x0,y0）與點(diǎn)P關(guān)于直線l對(duì)稱.由題設(shè)：直線PP1與直線l垂直，且線段PP1的中點(diǎn)P2在直線l上.，變形得,代入直線l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直線方程為x-2y=0.直線與方程1.設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P，且傾斜角為,若將此直線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線的傾斜角為+45，則（ ）A.0180B.0135C. 0135D. 0135 答案 D2.曲線y=x3-2x+4在點(diǎn)（1，3）處的切線的傾斜角為（ ）A.30B.45C.60D.120答案 B3.過點(diǎn)M（-2，m），N（m，4）的直線的斜率等于1，則

11、m的值為( )A.1B.4C.1或3D.1或4答案 A4.過點(diǎn)P（-1，2）且方向向量為a=（-1，2）的直線方程為（ ）A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0D.x+2y-5=0答案 A5.一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，2），并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1 已知三點(diǎn)A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上.證明A（1，-1），B（3，3），C（4，5），kAB=2,kBC=2，kAB=kBC，A、B、C三點(diǎn)共線.例2已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2 (-1x1).試求

12、：的最大值與最小值.解 由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點(diǎn)P（-2，-3）與曲線段AB上任一點(diǎn)（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8，故的最大值為8，最小值為.例3 求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；（2）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-3），傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.解 （1）方法一 設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0，即l過點(diǎn)（0，0）和（3，2），l的方程為y=x，即2x-3y=0.若a0，則設(shè)l的方程為，l過點(diǎn)（3，2），a=5，l的方程為x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為

13、2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由題意知，所求直線的斜率k存在且k0,設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直線l的方程為：y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2. tan=3,tan2=-.又直線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-3），、因此所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例4 （12分）過點(diǎn)P（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：（1）AOB面積最小時(shí)l的方程；（2）|

14、PA|PB|最小時(shí)l的方程.解 方法一 設(shè)直線的方程為 (a2,b1),由已知可得（1）2=1，ab8.SAOB=ab4. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=4,b=2時(shí)，SAOB取最小值4，此時(shí)直線l的方程為=1,即x+2y-4=0. 6分（2） 由+=1,得ab-a-2b=0,變形得(a-2)(b-1)=2,|PA|PB|=.當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時(shí)，|PA|PB|取最小值4.此時(shí)直線l的方程為x+y-3=0.方法二 設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2) (k0),則l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B（0，1-2k）.（1）SAOB=（1-2k）=（4+4）=4.當(dāng)且僅當(dāng)-4k=

15、-,即k=-時(shí)取最小值，此時(shí)直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.6分（2）|PA|PB|=4,當(dāng)且僅當(dāng)=4k2,即k=-1時(shí)取得最小值，此時(shí)直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 一、選擇題1.過點(diǎn)（1，3）作直線l，若經(jīng)過點(diǎn)（a，0）和（0，b），且aN*，bN*，則可作出的l的條數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4答案B2.經(jīng)過點(diǎn)P（1，4）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案B3.若點(diǎn)A（2，-3）是直線a1x+b1y+1=0和a2

16、x+b2y+1=0的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是（ ）A.2x-3y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0答案A二、填空題4.已知a0,若平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共線，則a= .答案 1+5.已知兩點(diǎn)A（-1，-5），B（3，-2），若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則l的斜率是 .答案 三、解答題6.已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，求m的取值范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A（0，-1）點(diǎn).kAP=-

17、2，kAQ=，則-或-2，-m且m0.又m=0時(shí)直線x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn)，所求m的取值范圍是-m.方法二 過P、Q兩點(diǎn)的直線方程為y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-.由已知-1-2, 解得-m.7.已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：（1）過定點(diǎn)A（-3，4）；（2）斜率為.解 （1）設(shè)直線l的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是-3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=6，解得k1=-或k2=-.直線l的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）設(shè)直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程是y=x+b,它在x軸上的截距是-6b,由已知，得|-6bb|=6，b=1.直線l的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0.8.已知兩點(diǎn)A（-1，2），B（m，3）.（1）求直線AB的方程；（2）已知實(shí)數(shù)m，求直線AB的傾斜角的取值范圍.解 （1）當(dāng)m=-1時(shí)，直線AB的方程為x=-1,當(dāng)m-1時(shí)，直線AB的方程為y-2=(x+1).（2）當(dāng)m=-1時(shí)，=;當(dāng)m-1時(shí)，m+1，k=（-，-，.綜合知，直線