拋物線典型例題例含標準答案

1、拋物線典型例題12例典型例題一例1 指出拋物線的焦點坐標、準線方程（1） （2）分析：（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點坐標和準線方程（2）先把方程化為標準方程形式，再對a進行討論，確定是哪一種后，求p及焦點坐標與準線方程解：（1），焦點坐標是（0，1），準線方程是：（2）原拋物線方程為：，當(dāng)時，拋物線開口向右，焦點坐標是，準線方程是：當(dāng)時，拋物線開口向左，焦點坐標是，準線方程是：綜合上述，當(dāng)時，拋物線的焦點坐標為，準線方程是：典型例題二例2 若直線與拋物線交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2，求此直線方程分析：由直線與拋物線相交利用韋達定理列出k的方程求解另

2、由于已知與直線斜率及弦中點坐標有關(guān)，故也可利用“作差法”求k解法一：設(shè)、，則由：可得：直線與拋物線相交，且，則AB中點橫坐標為：，解得：或（舍去）故所求直線方程為：解法二：設(shè)、，則有兩式作差解：，即，故或（舍去）則所求直線方程為：典型例題三例3 求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓心與拋物線的準線相切分析：可設(shè)拋物線方程為如圖所示，只須證明，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準線相切證明：作于于M為AB中點，作于，則由拋物線的定義可知：在直角梯形中：，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準線相切說明：類似有：以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準線相離，以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)的準線相交典型例題四例4（

3、1）設(shè)拋物線被直線截得的弦長為，求k值（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點P為頂點作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時，求P點坐標分析：（1）題可利用弦長公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點到直線距離求P點坐標解：（1）由得：設(shè)直線與拋物線交于與兩點則有： ，即（2），底邊長為，三角形高點P在x軸上，設(shè)P點坐標是則點P到直線的距離就等于h，即或，即所求P點坐標是（1，0）或（5，0）典型例題五例5 已知定直線l及定點A（A不在l上），n為過A且垂直于l的直線，設(shè)N為l上任一點，AN的垂直平分線交n于B，點B關(guān)于AN的對稱點為P，求證P的軌跡為拋物線分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個途徑，一個

4、證明P點的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A為定點，l為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明且即可證明：如圖所示，連結(jié)PA、PN、NB由已知條件可知：PB垂直平分NA，且B關(guān)于AN的對稱點為PAN也垂直平分PB則四邊形PABN為菱形即有則P點符合拋物線上點的條件：到定點A的距離與到定直線的距離相等，所以P點的軌跡為拋物線典型例題六例6 若線段為拋物線的一條焦點弦，F(xiàn)為C的焦點，求證：分析：此題證的是距離問題，如果把它們用兩點間的距離表示出來，其計算量是很大的我們可以用拋物線的定義，巧妙運用韋達定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識，把結(jié)論

5、證明出來證法一：，若過F的直線即線段所在直線斜率不存在時，則有,若線段所在直線斜率存在時，設(shè)為k，則此直線為：，且設(shè)由得： 根據(jù)拋物線定義有：則請將代入并化簡得：證法二：如圖所示，設(shè)、F點在C的準線l上的射影分別是、，且不妨設(shè)，又設(shè)點在、上的射影分別是A、B點，由拋物線定義知，又，即故原命題成立典型例題七例7 設(shè)拋物線方程為，過焦點F的弦AB的傾斜角為，求證：焦點弦長為分析：此題做法跟上題類似，也可采用韋達定理與拋物線定義解決問題證法一：拋物線的焦點為，過焦點的弦AB所在的直線方程為：由方程組消去y得：設(shè)，則又即證法二：如圖所示，分別作、垂直于準線l由拋物線定義有：于是可得出：故原命題成立典型

6、例題八例8 已知圓錐曲線C經(jīng)過定點，它的一個焦點為F（1，0），對應(yīng)于該焦點的準線為，過焦點F任意作曲線C的弦AB，若弦AB的長度不超過8，且直線AB與橢圓相交于不同的兩點，求（1）AB的傾斜角的取值范圍（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點，求CD中點M的軌跡方程分析：由已知條件可確定出圓錐曲線C為拋物線，AB為拋物線的焦點弦，設(shè)其斜率為k，弦AB與橢圓相交于不同的兩點，可求出k的取值范圍，從而可得的取值范圍，求CD中點M的軌跡方程時，可設(shè)出M的坐標，利用韋達定理化簡即可解：（1）由已知得故P到的距離，從而曲線C是拋物線，其方程為設(shè)直線AB的斜率為k，若k不存在，則直線AB與無交點k存在設(shè)A

7、B的方程為由可得：設(shè)A、B坐標分別為、，則：弦AB的長度不超過8，即由得：AB與橢圓相交于不同的兩點，由和可得：或故或又，所求的取值范圍是：或（2）設(shè)CD中點、由得：則即化簡得：所求軌跡方程為：典型例題九例9定長為3的線段的端點、在拋物線上移動，求的中點到軸的距離的最小值，并求出此時中點的坐標分析：線段中點到軸距離的最小值，就是其橫坐標的最小值這是中點坐標問題，因此只要研究、兩點的橫坐標之和取什么最小值即可解：如圖，設(shè)是的焦點，、兩點到準線的垂線分別是、，又到準線的垂線為，、和是垂足，則設(shè)點的橫坐標為，縱坐標為，則等式成立的條件是過點當(dāng)時，故，所以，此時到軸的距離的最小值為說明：本題從分析圖形

8、性質(zhì)出發(fā)，把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中，解法較簡典型例題十例10過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，交拋物線于、兩點，求的最小值分析：本題可分和兩種情況討論當(dāng)時，先寫出的表達式，再求范圍解：(1)若，此時(2)若，因有兩交點，所以，即代入拋物線方程，有故，故所以因，所以這里不能取“=”綜合(1)(2)，當(dāng)時，說明：(1)此題須對分和兩種情況進行討論；(2)從解題過程可知，拋物線點弦長公式為；(3)當(dāng)時，叫做拋物線的通徑通徑是最短的焦點弦典型例題十一例11過拋物線的焦點作弦，為準線，過、作的垂線，垂足分別為、，則為（），為（）A大于等于B小于等于C等于D不確定分析：本題考查拋物線的定義、直線與圓的位置關(guān)系等方面的知識，關(guān)鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切解：點在拋物線上，由拋物線定義，則，又軸，同理，而，選C過中點作，垂中為，則以為直徑的圓與直線相切，切點為又在圓的外部，特別地，當(dāng)軸時，與重合，即，選B典型例題十二例