數(shù)分選講講稿第28講

1、講 授 內(nèi) 容備 注第二十八講§5.2 冪級數(shù)一、冪級數(shù)的收斂半徑與收斂范圍1公式法的收斂半徑可按如下公式計算i）若存在或?yàn)閯t；若，則ii）若存在或?yàn)閯t注：求收斂區(qū)間時，要檢驗(yàn)級數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的收斂性例1求級數(shù)的收斂區(qū)間解令，級數(shù)變?yōu)楫?dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)收斂故原級數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時收斂解不等式知，收斂區(qū)間為例2求級數(shù)的收斂區(qū)間解 收斂，在上收斂解不等式得原級數(shù)的收斂區(qū)間為：2缺項(xiàng)冪級數(shù)的收斂范圍（此時不能用上述公式）例3求級數(shù)的收斂范圍解 看作函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，用根式判別法 其收斂范圍為（時，破壞級數(shù)收斂的必要條件）注：時， 充分大時例4 求級數(shù)的收斂范圍解 看作函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，用根式判別法按根

2、式判別法知，原級數(shù)的收斂范圍為二、初等函數(shù)展為冪級數(shù) 直接展開法：求高階導(dǎo)數(shù)，帶入公式間接展開法：熟記5個基本初等函數(shù)的展開式其收斂域情況如下：當(dāng)時，收斂域?yàn)?；?dāng)時，收斂域?yàn)椋划?dāng)時，收斂域?yàn)殚g接展開法主要是通過變形、轉(zhuǎn)換、利用已知的展開式例5 把下列函數(shù)展成的冪級數(shù)，并說明收斂范圍1）； 2）解1）2）例6設(shè)，求證：證變量替換令，則 例7 試求的冪級數(shù)展開式解顯然同樣方法：將函數(shù)展成關(guān)于的冪級數(shù)例8 求函數(shù)按的冪的展開式至三次項(xiàng)解三、求和問題1利用逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分利用逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分，將級數(shù)化為已知級數(shù)的展開式求和例9 計算無窮級數(shù)之和解I兩邊從0到積分得 再積一次 左邊級數(shù)正是原級數(shù)

3、解II設(shè)則 例10 求級數(shù)的和函數(shù)解該級數(shù)收斂區(qū)間為設(shè)則由逐項(xiàng)積分定理得于是例11 求級數(shù)的和解，上式兩端微分并乘以，有再微分并乘以，有在上式中取，有2方程式法例12 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，令則在上一致收斂于證先證明該級數(shù)一致收斂在上連續(xù)，在上有界，使得由此可知，用數(shù)學(xué)歸納法知而級數(shù)在上處處成立原級數(shù)在上一致收斂從而在上絕對一致收斂（證明和函數(shù)滿足微分方程）記原級數(shù)之和為此式兩端同時加上兩邊在上積分由此求導(dǎo)得而，解此微分方程，得例13 若的收斂半徑為且收斂則也收斂，且證其中（1）且收斂，故在上一致收斂，可逐項(xiàng)積分（2）已知收斂，因此關(guān)于在上一致收斂，故可逐項(xiàng)求極限例14 設(shè)求證：當(dāng)時， 有 證的收斂半徑時，而級數(shù)在內(nèi)可逐項(xiàng)微分，有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)因此令，得即例15 證明：證 考察冪級數(shù)收斂半徑為2，收