凸函數(shù)的性質及其應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 編號 學士學位論文凸函數(shù)的性質及其應用學生姓名： 胡 金 學 號： 系 部： 數(shù)學系 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級： 08級 指導教師： 宋愛麗 完成日期： 2012 年 4 月 30 日專心-專注-專業(yè)摘要凸函數(shù)是數(shù)學分析中的一個重要的概念，本文首先給出了凸函數(shù)的定義，然后給出了凸函數(shù)的幾種性質及其等價性質，其次敘述凸函數(shù)常用的幾種判別方法，最后給出凸函數(shù)在微分學，積分學，不等式證明及在高考數(shù)學中的應用。關鍵詞：凸函數(shù)；定義；性質；判別；The nature of the convex function and its applicationAbstractC

2、onvex function is one of the important mathematical analysis of the concept, this paper presents the definition of the convex function, and then gives some properties of convex function and its equivalent properties, second narrative convex function of several normal identifying method, and finally

3、gives convex function in differential calculus, the integral calculus, inequality certificate and the application in mathematics.Key words：convex function；definition； properties；discriminant.目錄引言凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的的概念最早見于jensen1905著述中。它在純粹數(shù)學和應用數(shù)學的眾多領域中具有廣泛的應用，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃、對策論、數(shù)理經濟學、變分學和最優(yōu)控制等學科的理論基礎和有力工具。為了理論

4、上的突破，加強它們在實踐中的應用，產生了廣義凸函數(shù)。對于凸函數(shù)的研究，在數(shù)學分析的多個分支都有用處，特別是在函數(shù)圖形的描繪和不等式的證明推導方面，凸函數(shù)起著十分重要的作用凸函數(shù)有其良好而獨特的性質，由于凸函數(shù)理論的廣泛性及其在數(shù)學各個領域都有廣泛的應用，因此還應該對凸函數(shù)的理論作進一步的探討，本文在已有的研究基礎之上，總結了凸函數(shù)常用的定義及其等價關系，而后給出其一些很好的性質，利用這些性質將有助于我們解決許多不等式問題，在本文的第三部分將會詳述。1.凸函數(shù)的等價刻劃1.1凸函數(shù)的定義定義1設在區(qū)間I上有定義,在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當且僅當:,有上式中“”改成“”則是嚴格凸函數(shù)的定義.（1905

5、年丹麥數(shù)學家jensen首次給出如下定義）定義2 ：設在區(qū)間I上有定義, 在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當且僅當:有定義3 設在區(qū)間I上有定義, 在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當且僅當：,有 引理1 定義2與定義3等價。證明 定義3定義2只需取即可，定義2定義3用數(shù)學歸納法（1） 由定義2，時定義3顯然成立，而時，有： 即對于也成立，對于任意自然數(shù)，將定義2中式子應用到n次，有：，即定義3對于成立（2） 設當時，定義3中式子成立即，令，則，則，由于定義3中式子對于成立，故不等式兩端同乘，再減去，再除以，得到：，則定義3中式子對于一切自然數(shù)成立。引理2 若連續(xù),則定義1，2，3等價證明 （1）定義1定義2，在定義1

6、中令，可得： （2）定義2定義1 ，為任意實數(shù).若為有理數(shù)，設（為自然數(shù)）若為無理數(shù)，則存在有理數(shù)列，使，由的連續(xù)性即定義1中式子對任意成立。由引理1可知定義2與定義3等價，故定義1、2、3等價。事實上函數(shù)如果為凸函數(shù)我們可以斷定此函數(shù)一定連續(xù)，下面我們給出一定理對此進行闡釋。定理 1若函數(shù)在I上有定義且是凸的，則函數(shù)是I上的連續(xù)函數(shù)。證明：在區(qū)間上任取一點，總存在一個閉區(qū)間，且。從而在有界，即，滿足。取點的鄰域，且該鄰域含于內，不妨設，且令，則。當時，有，且。由凸函數(shù)的性質得：即有： （1）及 即有： （2）由（1）（2）式可知：當時，有。故在處右連續(xù)。當時，同樣可證在處左連續(xù)。 證畢1.2

7、連續(xù)條件下凸函數(shù)的等價刻劃定理2 設函數(shù)在區(qū)間內有定義，在連續(xù)：，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)。1.3一階導數(shù)存在下凸函數(shù)的等價刻劃定理3 在區(qū)間I上有定義,當且僅當曲線的切線恒保持在曲線以下,則成為凸函數(shù).若除切點之外,切線嚴格保持在曲線下方,則稱曲線為嚴格凸的。定理4（判定定理） 設在區(qū)間I上有導數(shù)，則在I上為凸函數(shù)的充要條件是遞增. 證明 （充分性）,不妨設及記，則,或 (1)由于 (1)式等價于 (2) 應用定理，使得，但,.故（2）式左端=按已知條件遞增，得知,從而上式0,(2)式獲證（必要性）由定理1的推論4,在內為遞增的，因存在，故亦在內為遞增的，若I有右端點b,按照已知條件f在b點有左

8、導數(shù)，易知:同理，若I有左端點a,則即在I上為遞增的。1.4二階導數(shù)存在下凸函數(shù)的等價刻劃定理5（判定定理） 若在區(qū)間I上有二階導數(shù)，則在I上為凸函數(shù)的充要條件是：。證明：（必要性）在內的充要條件是在內為遞增，由定理4即證得。 （充分性）若在內，知是內的不減函數(shù)，再由定理4即得證。1.5補充定理引理3 區(qū)間上的函數(shù)是一個凸函數(shù)的充分必要條件為：對于區(qū)間上的任意三點，當時，有： 證明：此式子即為性質2.1中式子的變式。2.凸函數(shù)的性質性質2.1 設在區(qū)間I上有定義,則以下條件等價（其中各不等式要求對任意, 保持成立）：（i）在I上為凸函數(shù) （1） （ii） （2）(iii) （3）(iv) （4

9、）推論1若在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則I上任意三點，有。推論2 若在區(qū)間I上的凸函數(shù)，則過的弦的斜率 是x的增函數(shù)（若為嚴格凸的,則嚴格增）。推論3 若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則I上任意四點stuv有。推論4 若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對I上的任一內點x,單側導數(shù)皆存在，皆為增函數(shù)，且 這里表示的全體內點組成之集合.（若為嚴格凸的，則與為嚴格遞增的）。證明 因為內點,故使得,從而（利用推論2）,.再由推論2所述,當遞增時,也遞增.故由單調有界原理知,如下極限存在且(x)= .同理,在此式中，令時,可知存在,且.最后由推論3中的不等式重新取相應的極限,可知與皆為增函數(shù)。推論5 若在區(qū)間I上為凸的，則在任一內

10、點上連續(xù).事實上由推論4知與存在，所以在處左右都連續(xù)。性質2.2 設函數(shù)在區(qū)間上有定義，則為凸函數(shù)的充要條件是：，使得,有 。證明 （必要性）因為凸函數(shù)，由上面的推論4知，存在且. 由此任取一則時有.因,所以對任一:恒有. (充分性)設是區(qū)間I上的任意三點，由已知條件,由此令和，可以得到,由定理1可知為凸的。性質2.3（不等式）若為上的凸函數(shù)，則 , ，有。證明 應用數(shù)學歸納法.當時，由定義1命題顯然成立.設時命題成立,即對任何 與都有現(xiàn)設及（i=1,2,k+1）,.令i=1,2,k,則.由數(shù)學歸納法假設可推得= = 即對任何正整數(shù),上述不等式成立.推論 設在區(qū)間I上是凸函數(shù),則對于任意的和

11、都有 性質2.4 若是區(qū)間上的凸函數(shù)（下凸函數(shù)）則及正數(shù)且有 性質2.5 若與均為區(qū)間上的凸函數(shù)，則也是此區(qū)間上的凸函數(shù)。 若為區(qū)間上的凸函數(shù)，則對于有也是此區(qū)間上的凸函數(shù)。 設與均為區(qū)間上的非負單調遞增的凸函數(shù)，則也是此區(qū)間上的凸函數(shù)。 設是單調遞增的凸函數(shù)，也是凸函數(shù)，則復合函數(shù)也是凸函數(shù)。證明：因為與均為凸函數(shù)，和由定義一可得： 兩式相加便得：由定義知也是凸函數(shù)。 由于是上的凸函數(shù)，和有上式兩端均乘以k可得：，由凸函數(shù)的定義知也為凸函數(shù)。 且和因為和在此區(qū)間上單調遞增故：又因為和為區(qū)間上的凸函數(shù)，故有：由，將上面兩式相乘得：故由凸函數(shù)的定義有也是凸函數(shù)。 因為是單調遞增函數(shù)和是凸函數(shù)故

12、故 顯然，所以也是凸函數(shù)。以上已給出凸函數(shù)的兩個判定定理，即性質3及其推論，現(xiàn)再給出三條判定定理：判定定理 設定義于，且在上可導，為凸函數(shù)的充要條件是： ，有 設定義于上的可導函數(shù)，則為凸函數(shù)的充要條件為： 若和，且則為凸函數(shù)的充要條件為：3. 凸函數(shù)的應用3.1在微分學中的應用我們討論了凸函數(shù)的有界性，左右函數(shù)極限和性質。例1 設函數(shù)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，試證：在I上的任一閉子區(qū)間上有界。證明 設為任一閉子區(qū)間:（證明在上有上界）取.為凸函數(shù)，所以 其中. 故在上有上界；（證明在上有下界）記為的中點，則，有關于的對稱點，因為凸函數(shù)，所以 , 從而 ， 即為在上的下界例2 設為區(qū)間內的凸函數(shù)，試

13、證：在I上的任一內閉區(qū)間上滿足條件。證明 要證明在區(qū)間上滿足條件，即要證明：使得有 (1)因為，故可取充分小，使得與此若取.由凸性，（其中分別表示在上的上下界）,從而 (2)若 可取由的凸性，有， 從而 由此可得(2)式成立.若，則（2）式明顯成立.這就證明了（2）式對一切皆成立.因此（2）式當與互換位置也成立，故有，令則（1）式也獲證.例3 設為區(qū)間內的凸函數(shù),并且有界,試證極限 與存在.證明 設時為內任意三點，根據(jù)的凸性,當x遞增時也遞增.又因為,根據(jù)單調有界原理,有極限 從而 亦存在3.2凸函數(shù)的積分性質將凸性與函數(shù)的連續(xù)性（甚至單側連續(xù)性）、單調性等聯(lián)系起來,應用到積分學中可以得到許多

14、好的結論,我們舉例如下:例4 設是區(qū)間a,b上的凸函數(shù)，則。證明 設是上的凸函數(shù)，故有意義，當x時，a+b-x，故 =即 又因 = ，令 x=a+b-u得 =-=.故 = =（b-a）從而 作變換 t=，則有 =（b-a） =.從而 綜上知 .例5 設函數(shù)在上遞增,試證 函數(shù)為凸函數(shù).證明 因 遞增,積分有意義.且故由性質1知為凸函數(shù)。例6 設為上的凸函數(shù),證明 有 （1）證明 因為凸函數(shù), 由性質1推論4 ，存在且遞增（當）.故(1)中的積分有意義.對任作一分劃 有 參看性質2，我們有 于是由.(1)式知 .將分劃無限分細,令 同理有 例7 設 是上的一個凸函數(shù)，則對于，時有 . （a）證明

15、 不妨設，當時，（a）顯然成立，當時，設 ，那么由已知性質，函數(shù)F任是上的凸函數(shù)，而由引理3得.即 再注意到既得所證不等式。3.3利用凸函數(shù)的性質證明不等式利用凸函數(shù)證明不等式已經有了許多結果,我們所做的就是由性質4證明了不等式，并且利用不等式證明了幾個復雜的不等式.例8 設 證明 證明 由于函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，由凸函數(shù)的性質，即性質4有 由于不可能同時相等，從而有例 9 設函數(shù)是區(qū)間上的凸函數(shù)，對于 則 證 明 由于,則由性質1中（4）式，有 即令,對上式兩邊求和，有 即例 10 設及則有(赫爾德)不等式成立： 當且僅當與成正比例時等號成立.證明 取=，因為，所以在上為凸函數(shù),由性質4得:

16、 即 ， 亦即 令 則有，于是有 令 ，則有 當與成正比例時，即 (為正常數(shù)，)當與不成正比例時，不全相等，又因為在為嚴格凸函數(shù)，故嚴格不等式成立。例11 設和 是兩組正數(shù)， .證明 。 證明 要證原不等式即要證明 。 令,則由于，所以為凹函數(shù)，由不等式 即得所證。例12 證明證明 設，則 （用不等式） 所以 由于不等式中等號成立的條件是均為常數(shù),而，這實際上是不可能的，所以上式中的等號不成立。例 13 證明不等式，其中均為正數(shù).證 明 設,由可見在時為嚴格凸函數(shù).由不等式有,從而.即又因 , 所以 。例14 應用不等式證明：設，有 證明 取函數(shù), . 因為是區(qū)間上嚴格凹函數(shù)，則對及1. ，則

17、上式等號成立 ; 2.若不全相等，則由不等式 即即因為在上單調遞增,綜合結論得，命題成立。3.4用凸函數(shù)的性質分析高考題在高中數(shù)學學習中，我們會經常見到凸函數(shù)，最后我們來看看在高考中利用凸函數(shù)的性質證明不等式的例子。例15 求證：對于任意，函數(shù)，都有.（2009揚州高考模擬真題）證明 由定義一欲證，只要證在是凸函數(shù). ，當時，.則由凸函數(shù)的性質是凸函數(shù)，則有.例16 （2005高考數(shù)學全國卷理科第22題） （）設函數(shù)log+log。求得最小值。（）設正數(shù)滿足，證明log+log+log（）解 構造函數(shù)log，那么log，其中，則.由于log+，.由定義知道在區(qū)間為凸函數(shù)。由定義2可得 ，即 即

18、最小值為（）證明 因為正數(shù)滿足，根據(jù)性質5有，即，所以即 log+log+log 參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析第三版，高等教育出版社,2001年.2 郭素霞，關于凸函數(shù)定義的討論A.衡水師范?？茖W校2000,1008-0049-04.3 狄雷，凸函數(shù)的性質及其應用（2），A.南京曉莊學院，1672-7894（2009）03-272-02.4 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題和方法,高等教育出版社,1988年.5 徐利治等.大學數(shù)學解題法詮釋第一版,安徽教育出版社，1999年.6 李明生.高等數(shù)學下的函數(shù)與不等式高考試題分析J.黃岡師范學院學報2009，（6）:21-24.7 趙思林.研究高考數(shù)學試題的幾種視角J.中學數(shù)學教學參考，2009，（4）:57-60.8 張從軍. 數(shù)學分析,安徽大學出版社，2000年.9 孫本旺，汪