江蘇高考圓錐曲線專題

1、第10講 圓錐曲線歷年高考分析：回顧20092013年的高考題，在填空題中主要考查了橢圓的離心率和定義的運用，在解答題中2010、2011、2012年連續(xù)三年考查了直線與橢圓的綜合問題，難度較高在近四年的圓錐曲線的考查中拋物線和雙曲線的考查較少且難度很小，這與考試說明中A級要求相符合預測在2014年的高考題中：(1)填空題依然是以考查圓錐曲線的幾何性質為主，三種圓錐曲線都有可能涉及(2)在解答題中可能會出現(xiàn)圓、直線、橢圓的綜合問題，難度較高，還有可能涉及簡單的軌跡方程的求解題型分類： (1)圓錐曲線的幾何性質，如a，b，c，p的幾何性質以及離心率的值或范圍的求解； (2)解答題中簡單的直線與橢

2、圓位置關系問題； (3)以橢圓為背景考查直線方程、圓的方程以及直線和圓的幾何特征的綜合問題； (4)綜合出現(xiàn)多字母等式的化簡，這類問題難度較高例1：若橢圓1的離心率e，則m的值是_解析：當m>5時，解得m；當m<5時，解得m3. 答案：3或例2：若拋物線y22x上的一點M到坐標原點O的距離為，則M到該拋物線焦點的距離為_解析：設M的坐標為(x，±)(x>0)，則x22x3，解得x1，所求距離為1.例3：雙曲線2x2y260上一個點P到一個焦點的距離為4，則它到另一個焦點的距離為_解析：雙曲線方程化為1.設P到另一焦點的距離為d，則由|4d|2得d42，或d42(舍去

3、)例4：(2012·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_解析：由題意得m0，a，b，c，由e得5，解得m2.例5：已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4，則橢圓的方程為 例6：在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為、，其中也是拋物線的焦點，點為和在第一象限的交點，且,則的方程為 例7：(2011·重慶)設雙曲線的左準線與兩條漸近線交于A，B兩點，左焦點在以AB為直徑的圓內，則該雙曲線的離心率的取值范圍為_例8：(2013南京二模)在平面直角坐標系中，已知雙曲線C：設過點M(0,1)的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若，則

4、直線的斜率為_例9：已知橢圓G：1(a>b>0)的離心率為，右焦點為(2，0)，斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3,2)(1)求橢圓G的方程；(2)求PAB的面積解：(1) 由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以橢圓G的方程為1.(2) 設直線l的方程為yxm.由得4x26mx3m2120.設A、B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點為E(x0，y0)，則x0，y0x0m；因為AB是等腰PAB的底邊，所以PEAB.所以PE的斜率k1.解得m2.此時方程為4x212x0.解得x13，x20.所以

5、y11，y22.所以|AB|3.此時，點P(3,2)到直線AB：xy20的距離d，所以PAB的面積S|AB|·d.例10：(2011南京一模)直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點(2，1)到兩焦點的距離之和為4.(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A、B兩點，其中點A在x軸下方，且3.求過O、A、B三點的圓的方程解：(1) 由題意，設橢圓C：1(ab0)，則2a4，a2.因為點(2，1)在橢圓1上，所以1，解得b，故所求橢圓方程為1.(2) 如圖設A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)點F的坐標為F(3,0)由3

6、，得即 又A、B在橢圓C上，所以解得所以B，代入得A點坐標為(2，)因為·0，所以OAAB.所以過O、A、B三點的圓就是以OB為直徑的圓，其方程為x2y2xy0.典例1：(1)在平面直角坐標系中，雙曲線的左頂點為，過雙曲線的右焦點作與實軸垂直的直線交雙曲線于，兩點， 若為直角三角形，則雙曲線的離心率為 (2)已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得e，則該橢圓離心率e的取值范圍是_解析：(1)2 (2)e，PF1ePF2e(2aPF1)，PF1.又acPF1ac，acac，a(1e)a(1e)，1e1e，解得e1.又0<

7、;e<1，1e1. 答案：1,1)演練1：設分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓 相交于、兩點，直線的傾斜角為，到直線的距離為.如果,則橢圓的方程為 典例2：(1)(2012·四川高考)橢圓1的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于點A、B.當FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積是_(2)(2011·福建高考)設圓錐曲線的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2.若曲線上存在點P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線的離心率等于_解析(1)法一：依題意得知，點F(1,0)，不妨設點A(2cos ，sin )(sin >0)，則有B(2cos ，sin )，|FA|FB|2cos

8、 ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|42cos 2sin 44sin，當2k，kZ，即2k，kZ，2cos 1，sin 時，F(xiàn)AB的周長最大，此時FAB的面積等于×(11)×33.法二：橢圓右焦點為F(1,0)由橢圓定義|AF|AF|BF|BF|2a.則FAB的周長l|AF|BF|AB|4a(|FA|FB|)|AB|4a|FA|FB|AB|4a.所以FAB周長最大時，直線xm經過F(1,0)，這時|AB|3，此時SFAB×2×33.(2)由題意可設：|PF1|4m，|F1F2|3m，|PF2|2m，當圓錐曲線是橢圓時，長軸長為2a|PF1|PF2

9、|4m2m6m，焦距為2c|F1F2|3m，離心率e；當圓錐曲線是雙曲線時，實軸長為2a|PF1|PF2|4m2m2m，焦距為2c|F1F2|3m，離心率e.答案(1)3(2)或解決圓錐曲線上的點與焦點的距離問題，一般考慮用定義，在橢圓和雙曲線的方程中要注意a，b，c之間關系的區(qū)別演練2：(1)已知雙曲線1的一個焦點坐標為(，0)，則其漸近線方程為_；(2)已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_解析：(1)由a23，可得a1，雙曲線方程為x21，其漸近線方程為x±0，即y±x.(2)由y24x可知l2：

10、x1是拋物線的準線，所以P到l2的距離等于P到拋物線的焦點F(1,0)的距離動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值即為點F(1,0)到直線l1：4x3y60的距離d2.答案：(1)y±x(2)2典例3：(2012·北京高考)已知橢圓C：1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當AMN的面積為時，求k的值解(1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得 (12k2)x24k2x2k240.設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2

11、k(x21)，x1x2，x1x2，所以MN .又因為點A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為SMN·d.由，化簡得7k42k250，解得k±1.本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質及直線與橢圓的位置關系解決直線與圓錐曲線的位置關系的相關問題，一般是聯(lián)立方程消元后轉化為二次方程的問題演練3：已知過拋物線y22px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且AB9.求該拋物線的方程解：直線AB的方程是y2，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20，所以x1x2.由拋物線定義得ABx1x2p9

12、，所以p4，從而拋物線方程是y28x.典例4：已知點P(4,4)，圓C：(xm)2y25(m<3)與橢圓E：1(a>b>0)有一個公共點A(3,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切(1) 求m的值與橢圓E的方程；(2) 設Q為橢圓E上的一個動點，求·的取值范圍解：(1) 點A坐標代入圓C方程，得(3m)215. m3， m1.圓C：(x1)2y25.設直線PF1的斜率為k，則PF1：yk(x4)4，即kxy4k40. 直線PF1與圓C相切， .解得k或k. 當k時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去當k時，直線PF1與x軸的交點橫

13、坐標為4， c4，F(xiàn)1(4,0)，F(xiàn)2(4,0). 2aAF1AF256，a3，a218，b22.橢圓E的方程為：1.(2) (1,3)，設Q(x，y)，(x3，y1)，·(x3)3(y1)x3y6. 1，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|·|3y|， 3xy3.則(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范圍是0,36. x3y的取值范圍是6,6 ·x3y6的取值范圍是12,0. (注：本題第二問若使用橢圓的參數(shù)方程或線性規(guī)劃等知識也可解決)典例5：(2012·南師大信息卷)已知雙曲線x21，橢圓與該雙曲線共焦點，且經過點(2,3)(

14、1)求橢圓方程；(2)設橢圓的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準線，N為l上的一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M.若AMMN，求AMB的余弦值；設過A，F(xiàn)，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，當線段PQ的中點為(0,9)時，求這個圓的方程解(1)雙曲線焦點為(±2,0)，設橢圓方程為1(ab0)則解得a216，b212.故橢圓方程為1.(2)由已知，A(4,0)，B(4,0)，F(xiàn)(2,0)，直線l的方程為x8.設N(8，t)(t>0)AMMN，M.由點M在橢圓上，得t6.故點M的坐標為M(2,3)所以(6，3)，(2，3)，·1293.cos

15、 AMB.設圓的方程為x2y2DxEyF0，將A，F(xiàn)，N三點坐標代入，得得圓的方程為x2y22xy80，令x0，得y2y80.設P(0，y1)，Q(0，y2)，由線段PQ的中點為(0,9)，得y1y2t18.此時，所求圓的方程為x2y22x18y80.本題是直線、雙曲線、橢圓、圓的綜合問題，主要考查待定系數(shù)法求曲線方程演練5：如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線xy20相切(1)求橢圓C的方程；(2)已知點P(0,1)，Q(0,2)設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T求證：點

16、T在橢圓C上解：(1)由題意知橢圓C的短半軸長為圓心到切線的距離，即b.因為離心率e，所以 ，解得a2.所以橢圓C的方程為1.(2)證明：由題意可設M，N的坐標分別為(x0，y0)，(x0，y0)，則直線PM的方程為yx1，直線QN的方程為yx2. 設T點的坐標為(x，y)聯(lián)立解得x0，y0.因為1，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以點T的坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上典例6：已知拋物線D的頂點是橢圓C：1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合(1)求拋物線D的方程；(2)過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點若直線l的斜率為1，求MN的長；是否存

17、在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由解(1)由題意，可設拋物線方程為y22px(p>0)由a2b216151，得c1.拋物線的焦點為(1,0)，p2.拋物線D的方程為y24x.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)直線l的方程為：yx4，聯(lián)立整理得x212x160，則x1x212，x1x216，所以MN 4.設存在直線m：xa滿足題意，則圓心E，過E作直線xa的垂線，垂足為H，設直線m與圓E的一個交點為G.可得GH2EG2EH2，即GH2EA2EH22ya(x14)a2x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2.

18、當a3時，GH23，此時直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長恒為定值2.因此存在直線m：x3滿足題意 以探究“是否存在”為目標的開放性問題，是高考的一個熱點，解決此類問題的方法類似于反證法，即先假設存在并設出參數(shù)建立方程，若有符合題意的解，則說明存在，否則說明不存在演練6：已知橢圓C的離心率e，一條準線方程為x4，P為準線上一動點，直線PF1、PF2分別與以原點為圓心、橢圓的焦距F1F2為直徑的圓O交于點M、N.(1)求橢圓的標準方程；(2)探究是否存在一定點恒在直線MN上？若存在，求出該點坐標；若不存在，請說明理由解：(1)由題意得，4，解得c2，a2，則b2a2c24，所以橢圓的標準方程

19、為1.(2)由(1)易知F1F24，所以圓O的方程為x2y24.設P(4，t)，則直線PF1方程為y(x2)，由得(t236)x24t2x4(t236)0，解得x12，x2，所以M，同理可得N.若MNx軸，則，解得t212，此時點M，N的橫坐標都為1，故直線MN過定點(1,0)；若MN與x軸不垂直，即t212，此時kMN，所以直線MN的方程為y，即y(x1)，所以直線MN過定點(1,0)綜上，直線MN過定點(1,0)專題技法歸納：(1)求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法而對于雙曲線和橢圓在不明確焦點坐標的情況下可以統(tǒng)一設成mx2ny21(mn0)，這樣可以避免對參數(shù)的討論

20、(2)求橢圓、雙曲線的離心率，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系，然后把b用a，c代換，求的值(3)在雙曲線中由于e21，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關課后練習(十)1已知方程1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_；若該方程表示雙曲線，則m的取值范圍是_解析：若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則解得1<m<；若方程表示雙曲線，則(m1)(2m)<0，解得m<1或m>2.答案：(，1)(2，)2點P為橢圓1(a>b>0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，如果PF1F275°，PF2F115°，則橢圓的離心率為_解析：由題意得

21、F1PF290°，PF12c cos 75°，PF22c sin 75°，所以2c(sin 75°cos 75°)2a，e.3已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為_解析：直線AB的方程為yx，即xy，代入y22px得，y22pyp20.則yAyB2p4，p2，準線方程為x1.4(2011·天津高考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是yx，它的一個焦點在拋物線y224x的準線上，則雙曲線的方程為_解析：由題設可得

22、雙曲線方程滿足3x2y2(>0)，即1.于是c2.又拋物線y224x的準線方程為x6，因為雙曲線的一個焦點在拋物線y224x的準線上，則c236，于是27.所以雙曲線的方程1.5已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且2，則C的離心率為_解析：不妨設橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，B點為橢圓的上頂點，F(xiàn)(c,0)(c0)為右焦點，則由2，得D點到右準線的距離是B點到右準線距離的一半，則D點橫坐標xD，由2 知，c2，得3c2a2，e.6(2011·江西高考)若橢圓1的焦點在x軸上，過點作圓x2y21的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過

23、橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是_ _解析：由題可設斜率存在的切線的方程為yk(x1)(k為切線的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圓x2y21的一條切線方程為3x4y50，求得切點A，易知另一切點B(1,0)，則直線AB的方程為y2x2.令y0得右焦點為(1,0)，令x0得上頂點為(0,2)a2b2c25，故得所求橢圓方程為1.7已知雙曲線1(a>0，b>0)和橢圓1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為_ _解析：由題意知，橢圓的焦點坐標是(±，0)，離心率是.故在雙曲線中c，e，故a2，b2c2a23，故所求雙曲線的方程是

24、1.8已知雙曲線C:的右頂點、右焦點分別為A、F,它的左準線與軸的交點為B，若A是線段BF的中點，則雙曲線C的離心率為 .9設P點在圓x2(y2)21上移動，點Q在橢圓y21上移動，則PQ的最大值是_解析：圓心C(0,2)，PQPCCQ1CQ，于是只要求CQ的最大值設Q(x，y)，CQ ，1y1，當y時，CQmax ，PQmax1.10(2012·遼寧高考)已知雙曲線x2y21，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_解析：不妨設點P在雙曲線的右支上，因為PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因為|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|·|PF2|4，則(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.11(2011·四川高考)過點C(0,1)的橢