泰勒公式的證明及其應(yīng)用2

1、泰勒公式的證明及其應(yīng)用XXX (XX學(xué)校 XX院 09級(jí) XX專(zhuān)業(yè) 2班)摘 要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的一部分重要內(nèi)容。本文論述了泰勒公式的基本內(nèi)容，并著重從7個(gè)方面介紹了泰勒公式在數(shù)學(xué)分析和實(shí)際生活中的一些應(yīng)用：利用泰勒公式證明恒等式和不等式，求極限和中值點(diǎn)的極限，還有應(yīng)用在函數(shù)方程中，除此外，還可用泰勒公式求極值，研究函數(shù)圖形的局部形態(tài)，從而更加清楚地認(rèn)識(shí)泰勒公式的重要性關(guān)鍵詞：泰勒公式；極限；極值；中值點(diǎn)；函數(shù)；應(yīng)用引言泰勒主要是從有限差分出發(fā)，得到格里戈里牛頓插值公式，然后令初始變量為零，項(xiàng)數(shù)為無(wú)窮，但沒(méi)有給出余項(xiàng)的具體表達(dá)式隨著后人的不斷研究與完善，形成今天實(shí)用的泰勒公式現(xiàn)代也有很多

2、期刊和教材對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行了介紹，對(duì)近似計(jì)算上的應(yīng)用介紹也較全面，較系統(tǒng)，但在其它領(lǐng)域的應(yīng)用則顯簡(jiǎn)單，不系統(tǒng)，不全面，為了方便以后的學(xué)習(xí)，有必要對(duì)此部分內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，而泰勒公式是一個(gè)多項(xiàng)式的擬合問(wèn)題，而多項(xiàng)式是一種簡(jiǎn)單函數(shù)，它的研究對(duì)計(jì)算機(jī)編程計(jì)算極為方便1 Taylor公式 首先看第一個(gè)問(wèn)題，為了提高近似的精確程度，可以設(shè)想用一個(gè)的次多項(xiàng)式在附近去逼近，即令 （11）從幾何上看，這表示不滿(mǎn)足在附近用一條直線(xiàn)（曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)）去代替,而是想用一條次拋物線(xiàn)去替代它由此猜想在點(diǎn)附近這兩條曲線(xiàn)可能會(huì)擬合的更好些，那么系數(shù)如何確定呢？假設(shè)本身就是一個(gè)次多項(xiàng)式，顯然，要用一個(gè)次多項(xiàng)式去替代它，最好莫

3、過(guò)它自身了，因此應(yīng)當(dāng)有 于是得：求一次導(dǎo)數(shù)可得： 又求一次導(dǎo)數(shù)可得：這樣進(jìn)行下去可得： 因此當(dāng)是一個(gè)次多項(xiàng)式時(shí)，它就可以表成： （12） 即附近的點(diǎn)處的函數(shù)值可以通過(guò)點(diǎn)的函數(shù)值和各級(jí)導(dǎo)數(shù)去計(jì)算通過(guò)這個(gè)特殊的情形，得到一個(gè)啟示，對(duì)于一般的函數(shù)，只要它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個(gè)次多項(xiàng)式 稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，的各項(xiàng)系數(shù)，稱(chēng)為泰勒系，因而次多項(xiàng)式的次泰勒多項(xiàng)式就是它本身2 泰勒公式的應(yīng)用由于泰勒公式涉及到的是某一定點(diǎn)及處函數(shù)及階導(dǎo)數(shù)值：，以及用這些值表示動(dòng)點(diǎn)處的函數(shù)值，本文研究泰勒公式的具體應(yīng)用，比如證明中值公式，求極限等中的應(yīng)用2.1 應(yīng)用Taylor公式證明等式例1 設(shè)在上三

4、次可導(dǎo)，試證：，使得 證明 （利用待定系數(shù)法） 設(shè)為使下列式子成立的實(shí)數(shù)： （21）這時(shí)，問(wèn)題歸為證明，使得： 令，則根據(jù)羅爾定理，使得，即： 這是關(guān)于的方程，注意到在點(diǎn)處的泰勒公式：其中，比較可得原命題成立例2 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，試證：，使得 （22）證明 記，則在處泰勒公式展開(kāi)式為： （23）對(duì)（23）式兩端同時(shí)取上的積分，注意右端第二項(xiàng)積分為0，對(duì)第三項(xiàng)的積分，由于導(dǎo)數(shù)有介值性，第一積分中值定理成立：，使得 因此原命題成立從上述兩個(gè)例子中得出泰勒公式可以用來(lái)證明一些恒等式，既可以證明微分中值等式，也可以證明積分中值等式，以后在遇到一些等式的證明時(shí)，不妨可以嘗試用泰勒公式來(lái)證明，證明等式后

5、我們?cè)谒伎?，它能否用?lái)證明不等式呢？經(jīng)研究是可以的，下面通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明一下22 應(yīng)用Taylor公式證明不等式例3 設(shè)在上二次可微，試證：，證明 取，將在處展開(kāi) 其中以乘此式兩端，然后個(gè)不等式相加，注意 得： 例4 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，試證：當(dāng)時(shí)， 證明 在處的泰勒展開(kāi)式為： 其中將分別換為可得： （24） （25）所以（24）式減（25） 從而 由上述兩個(gè)例子可以看出泰勒公式還可以用來(lái)證明不等式例3說(shuō)明泰勒公式可以根據(jù)題目的條件來(lái)證明函數(shù)的凹凸性，例4說(shuō)明可以對(duì)某些函數(shù)在一定范圍內(nèi)的界進(jìn)行估計(jì)，證明不等式有很多種方法，而學(xué)習(xí)了泰勒公式后，又增添了一種方法，在以后的學(xué)校中，要會(huì)靈活應(yīng)用

6、，但前提是要滿(mǎn)足應(yīng)用的條件，那就是泰勒公式成立的條件2.3 應(yīng)用Taylor公式求極限例5 設(shè)函數(shù)在上二次連續(xù)可微，如果存在，且在上有界，試證： 證明 要證明，即要證：，當(dāng)時(shí)利用公式， （26）即 （27）記，因有界，所以，使得 ， 故由（27）知 （28），首先可取充分小，使得，然后將固定，因，所以，當(dāng)時(shí) 從而由（28）式即得：，即 例6 判斷下列函數(shù)的曲線(xiàn)是否存在漸近線(xiàn)，若存在的話(huà)，求出漸近線(xiàn)方程 （1）； （2） 解 （1）首先設(shè)所求的漸近線(xiàn)為，并令，則有： 從中解出：。所以有漸近線(xiàn)：（2）設(shè)，則有 從中解出：，所以有漸近線(xiàn)：從上面的例子中我們可以看得出泰勒公式在判斷函數(shù)漸近線(xiàn)時(shí)的作用，

7、因而，在判斷函數(shù)形態(tài)時(shí)可以考慮這個(gè)方法，通過(guò)求極限來(lái)求函數(shù)的漸近線(xiàn)上述兩個(gè)例子都是泰勒公式在求極限的題目上的應(yīng)用，例5是求無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限，第二個(gè)例子是利用極限來(lái)求函數(shù)的漸近線(xiàn)，而求極限的方法多種多樣，但對(duì)于有些復(fù)雜的題目用洛畢達(dá)法則或其它方法很難求出，或者比較復(fù)雜，所以，可以用泰勒公式來(lái)解決2.4 應(yīng)用Taylor公式求中值點(diǎn)的極限 例7 設(shè) （1）在內(nèi)是階連續(xù)可微函數(shù)，此處；（2）當(dāng)時(shí)，有，但是；（3）當(dāng)時(shí)，有 （29）其中，證明： 證明 要求出的極限必須設(shè)法解出，因此將（29）式左邊的及右端的在處展開(kāi)，注意條件（2），知使得 ， （210） ， （211）于是（211）式變?yōu)?，從而 因，

8、利用的連續(xù)性，由此可得 這個(gè)例子可以作為定理來(lái)使用，但前提是要滿(mǎn)足條件，以后只要遇到相關(guān)的題目就可以簡(jiǎn)單應(yīng)用2.5 應(yīng)用Taylor公式求極值定理1 設(shè)在附近有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，（1） 如果為偶數(shù)，則不是的極值點(diǎn)（2） 如果為奇數(shù)，則是的嚴(yán)格極值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，是的嚴(yán)格極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是的嚴(yán)格極大值點(diǎn)證明 將在點(diǎn)處作Taylor展開(kāi)，即 于是 由于 故中，與同號(hào)（1）如果為偶數(shù)，則由在附近變號(hào)知，也變號(hào)，故不是的極值點(diǎn)（2）如果為奇數(shù)，則為偶數(shù)，于是，在附近不變號(hào)，故與同號(hào) 若，則，為的嚴(yán)格極小值點(diǎn)若，則，為的嚴(yán)格極大值點(diǎn)例8 試求函數(shù)的極值解 設(shè)，由于，因此是函數(shù)的三個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，的二階導(dǎo)數(shù)為 ，由

9、此得，及。所以在時(shí)取得極小值求三階導(dǎo)數(shù) ： 有因，則為偶數(shù)，由定理1知在不取極值再求的四階導(dǎo)數(shù)： ，有，因?yàn)椋瑒t為奇數(shù)，由定理1知在處取得極大值 綜上所述，為極大值，為極小值 由上面的例題可知，定理1也是判斷極值的充分條件。2.6 應(yīng)用Taylor公式研究函數(shù)圖形的局部形態(tài)定理2 設(shè)為任一非空集合，函數(shù)在處階可導(dǎo)，且滿(mǎn)足條件： （1）為偶數(shù)，如果，則曲線(xiàn)在點(diǎn)的附近位于曲線(xiàn)過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)的上（下）方 （2）為奇數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)的附近位于該點(diǎn)切線(xiàn)的兩側(cè)，此時(shí)稱(chēng)曲線(xiàn)在點(diǎn)處與該點(diǎn)的切線(xiàn)橫截相交證明 因?yàn)樵谔庪A可導(dǎo)，且，所以在的開(kāi)領(lǐng)域內(nèi)的階公式為 于是 由于 由此可見(jiàn)：，有與同號(hào)（1）當(dāng)為偶數(shù)，如果，則 因

10、此，在點(diǎn)附近，曲線(xiàn)位于切線(xiàn)的下方（2）當(dāng)為奇數(shù)，這時(shí)若，則 ， ，由此知，在的右側(cè)，曲線(xiàn)位于切線(xiàn)的上（下）方；而在的左側(cè)，曲線(xiàn)位于切線(xiàn)的下（上）因此，曲線(xiàn)在點(diǎn)處與該點(diǎn)的切線(xiàn)橫截相交2.7 應(yīng)用Taylor公式研究函數(shù)表達(dá)式例9 設(shè)在定義域內(nèi)有連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足方程： （與無(wú)關(guān)） （212）試證：是一次或二次函數(shù)。證明 要證是一次或二次函數(shù)，就是要證或因此要將（212）式對(duì)求導(dǎo)，注意與無(wú)關(guān)，有 （213）從而 （214）令，對(duì)（213）式兩邊取極限得：，即 若，由此知，為一次函數(shù)；若，則（213）式變成：此式兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，減去，除以，然后取極限，即得，即為二次函數(shù) 實(shí)際上在一定條件下證明某函

11、數(shù)的問(wèn)題，稱(chēng)之為歸零問(wèn)題，因此上例實(shí)際上也是，的歸零問(wèn)題參考文獻(xiàn)1 吳文俊世界著名科學(xué)家傳記M 北京：科學(xué)出版社，19922 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上）M高等教育出版社，20013 裴禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M高等教育出版社，20064 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室高等數(shù)學(xué)M高等教育出版社，19935 楊萬(wàn)利數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)M中國(guó)水利水電出版社，20056 劉玉漣，傅沛仁數(shù)學(xué)分析講義M高等教育出版社，19927 陳紀(jì)修，徐惠平數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解指南M高等教育出版社，20058 孫清華，孫昊數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧M華中科技大學(xué)出版社，20039 徐森林，薛春華數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）M清華大學(xué)出版社

12、，2005The Provetion and Application of Taylors FormulaLiao Xiaohui（Second Class of Grad 2009,major:Maths and Application Maths of College of Maths and Statistics, Chongqing Three Gorges University, 404000）Abstract Taylors formula is important knomledge in the mathematical analysis. This paper discuss

13、es some contents about the Taylors formula. In this paper,we discuss its applications in the mathematicalsis and reality life from 7 facets in general: we can use the Taylorsformula to prove the equation and the inequality, solve the limit and the value limit. There are some applications in the functional equations near interpolation, besides we may use it search the e