極限教學的處理技巧

1、極限教學的處理技巧極限是微積分理論的基礎，也是人類認知無限的工具。因此，搞好極限理論的教學尤其重要，本文就多年的教學中積累的經驗談一些自己的體會。 數列極限語言定義的引入設有一數列，我們通常說當趨于無窮大時以為極限是指：當無限增大時，與一個固定的常數無限接近。但這種定性的描述并不能揭示極限的本質（內涵），因此它并不能作為極限的定義。為此，必須引入能刻畫極限本質的定量化的定義。為了學生更清晰的弄清楚極限語言定義來歷及確切的含義，我們可以直接對學生腦子已有的極限的定性描述加以分析可知：所謂“與常數無限接近，實質上就是可以無限小，而可以無限小亦即可以小于任何一個事先給定的正數；但又并不是一開始就可以

2、小于任何一個事先給定的正數的。那可以小于任何一個事先給定的正數的前提是什么呢？上述定性的描述中說得清楚，前提就是無限增大時，也就是當充分大之后，換句話說就是當大到比某個正整數還要大之后。也就是說：所謂以為極限是指：對于任何一個事先給定的正數，當大到比某個正整數還要大之后，可以小于這個正數。這樣，我們通過上述分析，可以很自然而又清晰地得到數列極限的定義：“設為一數列，為一個固定的常數。若對于任何一個事先給定的正數，都存在正整數，使得當時，有成立，則稱數列以為極限（或數列收斂于）。并記作：得到極限的定義之后，很多人自然想到立即用極限的定義去求極限。但通過對極限的定義分析可以發(fā)現(xiàn)，數列極限的定義是非

3、構造性的定義，換句話說，極限定義中的并不能通過給定的數列通過我們已經熟知的運算（加、減、乘、除、乘方、開方等等）計算等到。因此，教師不能在此時舉求極限的例子而錯誤的引導學生。那么，我們如何解決數列極限的求法呢？事實上，通過分析我們以前所學的所有數學概念（運算），即使是很簡單的構造性的概念（運算），如果人們僅以定義去計算，問題也會變的十分煩瑣。比如乘法運算，如果由定義去計算，有，這是十分簡單的，但如果要我們用定義去計算兩個很大的數的乘法就行不通了。那么，人們又是如何解決任意兩個數之間的乘法運算的呢？分析發(fā)現(xiàn)，數學在解決這類問題時的方法都是一致的：先通過定義證明一些常用的公式，再建立起該類運算性質

4、及運算法則,然后就可以運用這些基本的運算公式及運算法則解決這類問題的計算了。類似的，我們要解決極限問題的計算，也要遵循這樣的規(guī)則。也就是我們先要根據極限的定義證明一些常用的極限公式，再建立起極限的性質及運算法則。這樣極限的計算問題也就迎刃而解了。為此，在引入極限的定義后，可先用定義證明一些常用的極限公式(僅列部分數列極限公式)：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 (后證) 如何用定義證明極限由極限的定義分析可知要證，只要對，我們都存在正整數（不一定要求是正整數），使得當時，有即可。那么我們對，如何去找到滿足上述條件的呢？由于這樣的（如果存在的話）不是唯一的，而定義又只要求存在這樣的數即可

5、，所以我們不一定去找滿足條件的最小的事實上，對，要找這樣的，我們只需直接去解不等式。解的過程可能出現(xiàn)以下兩種情況：10） 如果解的結果為某個數（關于的表達式），則這個數就是我們要找的數。公式得證。如果解的結果為某個數（關于的表達式），則數列不以為極限。這種情況當然不會讓我們證明20）如果不等式比較繁瑣，從中不易解出上面的結果，則我們可將表達式作適當的放大，比如讓，然后再從中能解出某個數（關于的表達式），則這個數也可作為我們要找的數。這個過程的難點就在將作適當的放大，那么何謂適當放大呢？事實上，只要有，放大就是適當的！由此可見，極限的證明步驟幾乎是模版化的格式。以下就是證明的格式模版： 證明極限

6、：證：對，要使 這里是解的過程，得結果某個數（關于的表達式）；或當比較繁瑣不易解得，則在這里將作適當的放大，使，然后從中解得某個數取某個數（關于的表達式）或某個數（關于的表達式），則當時，有成立，所以 函數極限定義的處理方法在解決了數列極限的上述問題后，函數極限都可以做類似的處理。這里只談談函數極限定義的歸一化處理方法。對函數極限而言，自變量的變化過程有，等方式，而函數值的變化趨勢有，等方式，因此函數極限分種不同的情況引入了定義。但我們只要對上述定義作質的分析可知，只要我們與有限點一樣引入的鄰域（去心鄰域）登記號（概念）后,種函數極限的定義便可做歸一化的處理，并且學生能從這歸一化的定義中清晰的

7、理解極限的本質。點的鄰域：點的左鄰域：點的右鄰域：點的去心鄰域：點的左去心鄰域：點的右去心鄰域：的鄰域（也稱為的去心鄰域）：的鄰域（也稱為的去心鄰域）：的鄰域（也稱為的去心鄰域）：在引入了上述記號后，我們用記號表示，中的某一種情況，而用常數，中的某一種情況，則極限式的定義如下。定義：設在的某去心鄰域內有定義，若對任意的的鄰域，總存在的去心鄰域，使得當，有。則稱當時，以為極限，記為（定義中的與為任意的正數，這里加*表示主要是為了強調當代表有限的常數時刻畫的是任意小的正數，而當代表的是，（或，）時刻畫的是任意達的正數，而事實上與只要為任意的正數即可）由該定義可以看到，所謂時，以為極限就是指當與充分

8、接近（落在的充分小的去心鄰域）時，與無限接近（落在充分小鄰域內），這樣學生便能更加清晰地理解極限定義的本質：就是當自變量在某點作“微小”的變化時，函數值也在某個值附近作“微小”的變化。從而對極限理論有更深刻和清晰地認識。同時，當我們把極限的定義作了這樣的歸一化處理后，以后許多關于極限的性質及運算法則的證明也都可以做歸一化的描述和歸一化的證明。本文僅舉一例說明這種歸一化的描述和歸一化的證明方法。比如，對于復合函數的極限運算法則，幾乎所有課本上都是類似這樣敘述的：設函數是由與復合而成，在點的某去心鄰域內有定義，若，且存在，當時，有，又，則然后書中會有注解說明在該定理中，把換成或而把換成，可得類似的

9、定理。而事實上，當我們有了上述關于各類極限趨勢的歸一化處理后，所有這些類似的定理（甚至可包含更多的情形）都可以歸一化的敘述成這樣的定理：設函數是由與復合而成，在點的某去心鄰域內有定義，若，且存在，當時，有，又，則其中，該定理中表示，中的某一種情況，而表示常數，中的某一種情況，表示常數，中的某一種情況，這樣該定理就能描述復合函數的極限運算法則的96種情形，或者，如果要求復合函數的極限存在的話，也能描述24種不同的情形。（事實上對或，顯然有，所以對這幾種情形當時，有可省略）該定理中的歸一化證明如下：證 ，由于，所以，當，有又由于，所以對上述，當，有。由假設當時，有，取，這兩個去心鄰域中較小的那個記

10、為，則當時，從而：當時，有即：。證畢。 如何利用兩個重要的極限公式求極限在完成了極限的定義、極限公式的證明、極限的性質、極限的運算法則等方面的教學后，我們自然要回到開始的問題，那就是如何秋熟列（函數）的極限呢？對于一般的極限，里利用我們提到的那些常用的極限公式再運用極限的運算法則一般都很容易求得結果。但對一些、等未定式的極限（此時學生還未學到洛必達法則）學生還往往不知如何入手。特別是在學完兩個重要的極限公式后，學生往往不知如何應用。下面我主要談談如何利用兩個重要的極限公式求極限。41 如何利用解決某些型未定式的極限411 在求極限時，學生往往會問：那種類型的極限可用來求呢？一般來說，可以讓學生

11、從以下兩個方面來判斷：10）如果所求的極限式子為型（或可化為型），20）在這個型式子的分子或分母中含有關于變量三角函數或反三角函數表達式，如果要求的極限式子同時滿足以上兩個條件，則這個極限可考慮用該公式來求。412 在得知所求的極限可考慮用該公式來求后，剩下的當然是怎樣利用該公式來求極限呢？一般來說，就是將含有變量三角函數表達式的分子或分母通過各類三角變換（比如和差化積等）化成（或，如果極限過程為的話）與其他式子的乘積形式；或者就是將含有變量反三角函數表達式的分子或分母通過變量替換變成與其他式子的乘積形式(其中)即可。例1：例2：求42 如何利用解決型未定式的極限421那種類型的極限可用來求呢？一般來說，可以讓學生從以下兩個方面來判斷：10）如果所求的極限式子為20）當時，為型，如果要求的極限式子同時滿足以上兩個條件，則這個極限可用該公式來求。422怎樣利用該公式來求極限呢？一般來說，就是將表達式化成（其中）的形式，則當（常數）時，。例1： 由于所以，原式=例2： （其中為常數，）解：通過上面的分析，學生在遇到類似的求極限問題時，就不會感到措手無策了。我們再舉一個在教學中學生每次都要問到的一個極限題為例，學生每次遇