柱坐標(biāo)系含內(nèi)熱源一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題211e22

1、2.11解：對(duì)于該一維有熱源的非定常熱傳導(dǎo)問(wèn)題,設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)有初始條件邊界條件為即其中為熱擴(kuò)散率或熱擴(kuò)散系數(shù)（thermal diffusivity），過(guò)余溫度，則令，并使其中滿足原方程及邊界條件不妨設(shè)，顯然其滿足原方程，現(xiàn)用邊界條件待定其中系數(shù)故代入原方程及邊界條件中有代入初始條件中有即其中現(xiàn)用分離變量法進(jìn)行求解令帶入中泛定方程中有即由邊界條件知由初始條件有現(xiàn)對(duì)的值進(jìn)行討論1 當(dāng)時(shí)，將其帶入式中有代入邊界條件中有顯然不符合題意舍去2 當(dāng)時(shí)，對(duì)于式令有注意到當(dāng)時(shí)即最終的溫度，這在實(shí)際情況下是不可能的，故該種情況應(yīng)當(dāng)舍去。3 當(dāng)時(shí)，對(duì)于式令有其中第二式為零階貝塞爾方程帶入邊界條件得顯然滿足方

2、程根有無(wú)窮多個(gè)。用下面符號(hào)表示其無(wú)窮多個(gè)正根則代入初始條件有將展開(kāi)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)其中此處過(guò)于復(fù)雜，但該積分可積，這里就不帶入里面進(jìn)行進(jìn)一步運(yùn)算了，如有興趣可繼續(xù)計(jì)算?，F(xiàn)給出進(jìn)行下一步積分的參考公式，對(duì)比系數(shù)得其中故綜上所述：最終結(jié)果為其中為滿足方程的無(wú)窮多個(gè)正根并按從小到大排列。解：以板中心為原點(diǎn)，x軸垂直于板，建立坐標(biāo)系，則該問(wèn)題可簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題取該板上長(zhǎng)為微段為控制體，由能量守恒有即其中，為過(guò)余溫度考慮到邊界條件和初始條件有即令，并使其中滿足原方程及邊界條件不妨設(shè)，顯然其滿足原方程，現(xiàn)用邊界條件待定其中系數(shù)故代入原方程及邊界條件中有其中為熱擴(kuò)散率或熱擴(kuò)散系數(shù)（thermal diffusivity）代入初始條件中有即其中現(xiàn)用分離變量法進(jìn)行求解設(shè)，代入上面的方程可得由邊界條件知現(xiàn)對(duì)的值進(jìn)行討論1 當(dāng)時(shí)帶入邊界條件得顯然不符合題意，舍去2 當(dāng)時(shí)帶入邊界條件得也符合題意，舍去3 當(dāng)時(shí)帶入邊界條件得顯然滿足方程根有無(wú)窮多個(gè)。用下面符號(hào)表示其無(wú)窮多個(gè)正根及相應(yīng)的特征函數(shù)再由方程， 可得，從而我們得到滿足邊界條件的一組解所以下面由初始條件求待定系數(shù)由初始條件有由廣義傅里葉級(jí)數(shù)，對(duì)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)