直線與橢圓位置關(guān)系專題講義

1、直線與橢圓的位置關(guān)系專題講義知識(shí)點(diǎn)1：直線與橢圓位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題：將直線方程（或）代入橢圓方程：，整理得到關(guān)于x（或y）的一個(gè)一元二次方程（或）當(dāng)直線與橢圓相交；當(dāng)直線與橢圓相切；當(dāng)直線與橢圓相離。若直線：與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)公式：或焦點(diǎn)弦：若弦過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)叫焦點(diǎn)弦；通徑：若焦點(diǎn)弦垂直于焦點(diǎn)所在的圓錐曲線的對(duì)稱軸，此時(shí)焦點(diǎn)弦叫通徑。通徑公式為：_ .例1.當(dāng)m為何值時(shí)，直線y=x+m與橢圓相交？相切？相離？練習(xí)、直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m2=（ ）(A) (B) (C) (D) 例2、直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2/9+y2/m=1總有

2、公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ） A、1/2m9 B、9m10 C、1m9 D、1m9練習(xí)、若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 例3、求直線xy1=0被橢圓截得的弦長(zhǎng)練習(xí)、已知橢圓：，右頂點(diǎn)為A，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)及的面積。知識(shí)點(diǎn)2：中點(diǎn)弦問(wèn)題（點(diǎn)差法）例4 橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（2，1），求經(jīng)過(guò)P并且以P為中點(diǎn)的弦所在直線方程。練習(xí)、如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）A. B. C. D.例5、求直線y=x+1被橢圓x2+2y2=4截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)。練習(xí)、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。例6.已知橢圓的

3、右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)。若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為 ( )A.B.C.D.練習(xí)、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。知識(shí)點(diǎn)3：橢圓中的最值問(wèn)題 例7. （1）求x+y的最大值（2）求點(diǎn)P到直線x-y+10=0的距離的最小值。練習(xí)：求橢圓上的點(diǎn)到直線的最小距離知識(shí)點(diǎn)4.直線橢圓綜合問(wèn)題例8（12北京）已知橢圓C：+=1（ab0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A （2,0），離心率為， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N（）求橢圓C的方程（）當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值 練習(xí)【12陜西】已知橢圓，橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率。（1）求橢圓的方

4、程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上，求直線的方程。例9(2013課標(biāo)全國(guó)2)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：(ab0)右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值例10（2014新課標(biāo)2）設(shè)F1 ，F(xiàn)2分別是橢圓C：（ab0）的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N。（I）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（II）若直線MN在y軸上的截距為2且|MN|=5|F1N|，求a，b直線與橢圓的位置關(guān)系專題基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1.已

5、知橢圓C:,過(guò)點(diǎn)與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程是 （ ）（A） x+2=0 （B）x-2=0 （C）y+2=0 （D） y-2=02直線與橢圓的位置關(guān)系為 （ ） （A）相切 （B）相交 （C）相離 （D）不確定3橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是 （ ） （A）3 （B） （C） （D）4.直線被橢圓所截的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ）（A） (, ) （B）(, ) （C）(, ) （D）(, )5.已知橢圓，橢圓內(nèi)一點(diǎn),則以為中點(diǎn)的弦所在的直線的斜率是 （ ） （A） （B） （C）2 （D）26設(shè)定點(diǎn)F1（0，3）、F2（0，3），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是 （ ）A橢圓 B線段 C不存在D橢圓

6、或線段二、填空題7.方程表示橢圓，則m的取值范圍為 8. 橢圓的焦點(diǎn)、，為橢圓上的一點(diǎn)，已知，則的面積為 _ 9稱焦距與短軸長(zhǎng)相等的橢圓為“黃金橢圓”，則黃金橢圓的離心率為 10.（浙江卷13）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn) 若，則= 。11.（海南卷15）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_(kāi)12.經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于 。三、簡(jiǎn)答題13、已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若過(guò)點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求|AB|及的面積14. 已知橢圓及直線（1）當(dāng)

7、為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程15.已知橢圓方程為，內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，求所在的直線的方程及的弦長(zhǎng)。16、已知中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓,，若橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求橢圓的方程。17.橢圓C: 的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且（）求橢圓C的方程；（）若直線過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線的方程.18.已知圓及點(diǎn)，為圓上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。（1）求曲線的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，求

8、的面積；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段被點(diǎn)平分，求直線的方程。直線與橢圓的位置關(guān)系專題能力提高1.設(shè),分別是橢圓E：+=1（0b1）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線L與E相交于A、B兩點(diǎn)，且，成等差數(shù)列。求 若直線L的斜率為1，求b的值。2.橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直角三角形，求的值。3.（2013年高考陜西卷（文）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍. () 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程; () 過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線m的斜率.

9、4橢圓的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率為， 且點(diǎn)（1，）在該橢圓上.（I）求橢圓的方程；（II）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的面積為，求圓心在原點(diǎn)O且與直線相切的圓的方程. 5（2013年高考天津卷（文）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F, 離心率為, 過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. () 求橢圓的方程; () 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn). 若, 求k的值. 6.設(shè)直線與橢圓C：相交于，兩點(diǎn)，且過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求該橢圓C的方程。7.2014全國(guó)新課標(biāo)卷 已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2y28y0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l