空間向量在立體幾何中的應(yīng)用和習(xí)題含答案1

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：(1)直線的方向向量與平面的法向量：如圖，l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，對空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得，其中向量a叫做直線的方向向量由此可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量惟一確定如果直線l平面a ，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面a 的法向量由此可知，給定一點(diǎn)A及一個(gè)向量a，那么經(jīng)過點(diǎn)A以向量a為法向量的平面惟一確定(2)用空間向量刻畫空間中平行與垂直的位置關(guān)系：設(shè)直線l，m的方向向量分別是a，b，平面a ，b 的法向量分別是u，v，則lmabakb，kR；lmaba·b0；la aua

2、3;u0；la auaku，kR；a uvukv，kR；a b uvu·v0(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問題：異面直線所成的角：設(shè)a，b是兩條異面直線，過空間任意一點(diǎn)O作直線aa，bb，則a與b所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角設(shè)異面直線a與b的方向向量分別是v1，v2，a與b的夾角為q ，顯然則直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角設(shè)直線a的方向向量是u，平面a 的法向量是v，直線a與平面a 的夾角為q ，顯然，則二面角及其度量：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角記作a lb 在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩個(gè)

3、半平面內(nèi)分別作射線OAl，OBl，則AOB叫做二面角a lb 的平面角利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB，CD分別是二面角a lb 的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角a lb 的大小就是向量的夾角的大小方法二：如圖，m1，m2分別是二面角的兩個(gè)半平面a ，b 的法向量，則m1，m2與該二面角的大小相等或互補(bǔ)(4)根據(jù)題目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題【例題分析】例1 如圖，在長方體OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，點(diǎn)P在棱AA1上，且AP2PA1，點(diǎn)S在棱BB1上，且B1S2SB，點(diǎn)Q，R分別是O1B1

4、，AE的中點(diǎn)，求證：PQRS 【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)法證明存在實(shí)數(shù)k，使得解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)AP2PA1， 同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，又RPQ，PQRS【評述】1、證明線線平行的步驟：(1)證明兩向量共線；(2)證明其中一個(gè)向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上即可2、本體還可采用綜合法證明，連接PR，QS，證明PQRS是平行四邊形即可，請完成這個(gè)證明例2 已知正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1

5、D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面AMN平面EFBD【分析】要證明面面平行，可以通過線線平行來證明，也可以證明這兩個(gè)平面的法向量平行解法一：設(shè)正方體的棱長為4，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)取MN的中點(diǎn)K，EF的中點(diǎn)G，BD的中點(diǎn)O，則O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)(2，2，0)，(2，2，0)，(1，1，4)，(1，1，4)，MN/EF，AK/OG，MN平面EFBD，AK平面EFBD，平面AMN平面EFBD解法二：設(shè)平面AMN的法向量

6、是a(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是b(b1，b2，b3)由得取a31，得a(2，2，1)由得取b31，得b(2，2，1)ab，平面AMN平面EFBD注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，通過綜合法加以證明，請?jiān)囈辉嚴(yán)? 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N是棱A1B1，B1B的中點(diǎn)，求異面直線AM和CN所成角的余弦值解法一：設(shè)正方體的棱長為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)設(shè)和所成的角為q ，則異面直線AM和CN所成角的余弦值是解法二：取AB的中點(diǎn)P，CC1的中點(diǎn)Q，連接B1P，B1Q，PQ，

7、PC易證明：B1PMA，B1QNC，PB1Q是異面直線AM和CN所成的角設(shè)正方體的棱長為2，易知異面直線AM和CN所成角的余弦值是【評述】空間兩條直線所成的角是不超過90°的角，因此按向量的夾角公式計(jì)算時(shí)，分子的數(shù)量積如果是負(fù)數(shù)，則應(yīng)取其絕對值，使之成為正數(shù)，這樣才能得到異面直線所成的角(銳角)例4 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為，求直線AC1與平面ABB1A1所成角的大小【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)，適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計(jì)算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解解法一：如圖建立空間直角坐

8、標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，取A1B1的中點(diǎn)D，則，連接AD，C1D則DC1平面ABB1A1，C1AD是直線AC1與平面ABB1A1所或的角，直線AC1與平面ABB1A1所成角的大小是30°解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，)，從而設(shè)平面ABB1A1的法向量是a(p，q，r)，由得取p1，得a(1，0，0)設(shè)直線AC1與平面ABB1A1所成的角為【評述】充分利用幾何體的特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，再利用向量的知識求解線面角；解法二給出了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互余轉(zhuǎn)換例5 如圖，三棱錐PABC中

9、，PA底面ABC，ACBC，PAAC1，求二面角APBC的平面角的余弦值 解法二圖解法一：取PB的中點(diǎn)D，連接CD，作AEPB于EPAAC1，PAAC，PCBC，CDPBEAPB， 向量和夾角的大小就是二面角APBC的大小如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，P(1，0，1)，由D是PB的中點(diǎn)，得D由得E是PD的中點(diǎn)，從而 即二面角APBC的平面角的余弦值是解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，設(shè)平面PAB的法向量是a(a1，a2，a3)，平面PBC的法向量是b(b1，b2，b3)由得取a11，得由得取b3

10、1，得b(0，1，1)二面角APBC為銳二面角，二面角APBC的平面角的余弦值是【評述】1、求二面角的大小，可以在兩個(gè)半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩個(gè)向量，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)向量的夾角；應(yīng)注意兩個(gè)向量的始點(diǎn)應(yīng)在二面角的棱上2、當(dāng)用法向量的方法求二面角時(shí)，有時(shí)不易判斷兩個(gè)平面法向量的夾角是二面角的平面角還是其補(bǔ)角，但我們可以借助觀察圖形而得到結(jié)論，這是因?yàn)槎娼鞘卿J二面角還是鈍二面角一般是明顯的練習(xí)一、選擇題：1在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，則二面角EA1D1D的平面角的正切值是( )(A)(B)2(C)(D)2正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AD1與平面A1ACC1所成角的大

11、小是( )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于( )(A)(B)(C)(D)4如圖，a b ，a b l，Aa ，Bb ，A，B到l的距離分別是a和b，AB與a ，b 所成的角分別是q 和，AB在a ，b 內(nèi)的射影分別是m和n，若ab，則下列結(jié)論正確的是( )(A)q ，mn(B)q ，mn(C)q ，mn(D)q ，mn 二、填空題：5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1

12、，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成角的大小是_6已知正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于_7如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為_ 4題圖 7題圖 9題圖8四棱錐PABCD的底面是直角梯形，BAD90°，ADBC，PA底面ABCD，PD與底面ABCD所成的角是30°設(shè)AE與CD所成的角為q ，則cosq _三、解答題：9如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，點(diǎn)E在CC1上，且C1E3EC()證明：A1C平面BED；()求二面角A1DEB平面角的余

13、弦值10如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)()證明：直線MN平面OCD；()求異面直線AB與MD所成角的大小11如圖，已知直二面角a PQb ，APQ，Ba ，Cb ，CACB，BAP45°，直線CA和平面a 所成的角為30°()證明：BCPQ；()求二面角BACP平面角的余弦值練習(xí)答案一、選擇題：1B 2A 3B 4D二、填空題：560° 62 7 8三、解答題： 9題圖 10題圖 11題圖9以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系Dxyz依題設(shè)，B(2，2，0

14、)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)()A1CBD，A1CDE又DBDED，A1C平面DBE()設(shè)向量n(x，y，z)是平面DA1E的法向量，則令y1，得n(4，1，2)二面角A1DEB平面角的余弦值為10作APCD于點(diǎn)P如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系則A(0，0，0)，B(1，0，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，()設(shè)平面OCD的法向量為n(x，y，z)，則即取，得MN平面OCD()設(shè)AB與MD所成的角為q ，即直線AB與MD所成角的大小為11()證明：在平面b 內(nèi)過點(diǎn)C作COPQ于點(diǎn)O，連結(jié)OBa b ，a b PQ，COa 又CACB，OAOBBAO45°，ABO45°，AOB90°，BOPQ，又COPQ，PQ平面