由遞推公式求通項公式的方法

1、由遞推公式求通項公式的方法已知數列的遞推公式，求取其通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便于學生學習和老師的教學，不涉及具體某一題目的獨特解法與技巧。一、型數列，（其中不是常值函數) 此類數列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項變形為，從而就有 將上述個式子累加，變成，進而求解。例1. 在數列中,解：依題意有逐項累加有，從而。注：在運用累加法時,要特別注意項數,計算時項數容易出錯.變式練習：已知滿足,求的通

2、項公式。二、型數列，（其中不是常值函數)此類數列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項變形為，從而就有將上述個式子累乘，變成，進而求解。例2. 已知數列中，求數列的通項公式。解：當時，將這個式子累乘，得到，從而，當時，所以。注：在運用累乘法時,還是要特別注意項數,計算時項數容易出錯.變式練習：在數列中, >0,求.提示：依題意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型數列此類數列解決的辦法是將其構造成一個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解，構造的辦法有兩種，一是待定系數法構造，設，展開整理，比較系數有，所以，所以是等比數列，公比為，首項為。二是用作差法直接構造，,，兩式相減有，所

3、以是公比為的等比數列。例3. 在數列中，當時，有，求的通項公式。解法1：設，即有對比，得，于是得，即所以數列是以為首項，以3為公比的等比數列則。解法2：由已知遞推式，得， 上述兩式相減，得，即因此，數列是以為首項，以3為公比的等比數列。所以，即，所以。變式練習：已知數列滿足求數列的通項公式.注：根據題設特征恰當地構造輔助數列,利用基本數列可簡捷地求出通項公式.四、型數列（p為常數）此類數列可變形為，則可用累加法求出，由此求得.例4已知數列滿足,求. 解:將已知遞推式兩邊同除以得,設,故有，,從而.注：通過變形,構造輔助數列,轉化為基本數列的問題,是我們求解陌生的遞推關系式的常用方法.若為的一次函數,則加上關于的一次函數構成一個等比數列; 若為的二次函數, 則加上關于的二次函數構成一個等比數列.這時我們用待定系數法來求解.例5已知數列滿足解:作,則,代入已知遞推式中得:.令這時且顯然,所以.注：通過引入一些待定系數來轉化命題結構,經過變形和比較,把問題轉化成基本數列,從而使問題得以解決.變式練習：（1）已知滿足，求。 （2）已知數列，表示其前項和，若滿足，求數列 的通項公式。提示：（2）中利用，把已知條件轉化成遞推式。五、型數列（為非零常數）這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數,把數列的倒數看成是一個新數列,便可順利地轉化為型數列。例6已知數列滿足,求.解:兩邊取倒數得:,