相似圖形講義

1、相似圖形（一）知識(shí)點(diǎn)一 比例線段 1把的值叫做線段的比，若，則稱線段成比例線段。 2，其中分別叫第一、第二、第三、第四比 例項(xiàng)，稱為外項(xiàng)，稱為內(nèi)項(xiàng)；外項(xiàng)的積等于內(nèi)項(xiàng)的積。 3，我們稱為比例尺，進(jìn)行有關(guān)比例尺的計(jì)算時(shí)，要注意統(tǒng)一單位 注意：比例尺的關(guān)鍵點(diǎn)分子為1；單位統(tǒng)一例題1 下列各組中的四條線段成比例的是( )A.a =，b =3，c =2，d = B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =，c=2，d = D.a =2，b =3，c =4，d =1例題2 在比例尺為1500000的地圖上，A、B兩地的距離是64 cm，則這兩地間的實(shí)際 距離是_Km 例題3 在一張地圖

2、上，甲、乙兩地的圖上距離是3 cm,而兩地的實(shí)際距離為1500 m，那 么這張地圖的比例尺為_(kāi).知識(shí)點(diǎn)二 比例的性質(zhì) 1、基本性質(zhì)：； 反比性質(zhì)：； 更比性質(zhì)：； 合比性質(zhì)：； 等比性質(zhì)：，則 比例中項(xiàng)：若，則稱是的比例中項(xiàng)2、 比值K：若，可令,則有： 注意：解題時(shí)扣緊分式的恒等變形，如約分；并靈活應(yīng)用比值K。（一）線段的比1.兩條線段的比的概念：兩條線段的比就是兩條線段長(zhǎng)度的比例：(1)線段a的長(zhǎng)度為3厘米，線段b的長(zhǎng)度為6米，所以兩線段a,b的比為36=12,對(duì)嗎？不對(duì)，因?yàn)閍、b的長(zhǎng)度單位不一致，.注意在量線段時(shí)要選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位. 解： 解：設(shè)x=2k，y=3k，z=4k (二)比

3、例尺=圖上距離實(shí)際距離. 例1. 已知：A、B兩地的實(shí)際距離是80千米，在某地圖上測(cè)得這兩地之間的距離為1cm，則該地圖的比例尺為_(kāi)?，F(xiàn)量得該地圖上太原到北京的距離為6.4cm，則兩地的實(shí)際距離為_(kāi)（用科學(xué)記數(shù)法表示）。相距50千米的C、D兩地在該地圖上的距離為_(kāi)。 解： 答案：1：8000000；5.12×102km；0.625cm（三）比例的基本性質(zhì)：如果，那么ad=bc A. a:b=m:nB. a:m=b:nC. a:m=n:bD. a:n=b:m （四） 合比性質(zhì)、等比性質(zhì)： . 解： 例：已知，且2a+b+3c=21，求a,b,c的值（五）相似多邊形 1. 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)

4、應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。 2. 相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方，對(duì)應(yīng)線段比等于相似比。例. （1）如圖，兩個(gè)矩形是否相似？ 解： （2）下列判斷正確的是（D ） A. 兩個(gè)平行四邊形一定相似B. 兩個(gè)矩形一定相似 C. 兩個(gè)菱形一定相似D. 兩個(gè)正方形一定相似 （3）下列各圖形中，一定相似的是（D ） A. 兩個(gè)平行四邊形B. 兩個(gè)直角三角形 C. 底角相等的兩個(gè)等腰梯形D. 有一個(gè)角為60o的兩個(gè)菱形 106o （5）已知四邊形ABCD四邊形ABCD，且AB：BC：CD：DA=7：6：5：4，若四邊形ABCD周長(zhǎng)為44，則A

5、B=_，BC=_，CD=_，DA=_。 解：四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)的比也為7：6：5：4，分別設(shè)為7x，6x，5x，4x   例10. （2）兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比為4：9，它們的周長(zhǎng)比為_(kāi)，面積比為_(kāi)。 （3）兩個(gè)相似多邊形地塊的相似比為3：4，面積差為28m2，則它們的面積分別為_(kāi)。 解：（1）面積比等于相似比的平方，相似比=1：3 （2）4：9；16：81 （3）面積比為9：16，設(shè)兩個(gè)相似地塊分別為9x，16x （六）相似三角形1、相似三角形,就是形狀相同,但大小不一樣。定義：三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。所有的邊數(shù)相同的正多邊形都相似（正三

6、角形，正方形，正五邊形等等）2、相似三角形的判定方法有（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。 （2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。 （3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。3、相似三角形的性質(zhì)：1. 相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線）的比等于相似比（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做相似比）。2. 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。3. 相似三角形面積的比等于相似比的平方。例11. 解： G、H分別在AC、AB上，BC=15cm，BC邊上的高AD=10cm，求正方形的面積。 （2） 設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x 例題4 若ac=bd，則下列各式一定成立的是( )A.B. C.D.例題5 已

7、知,則下列式子中正確的是（ ）A. ab=c 2d 2 B. ad=cb C. ab=（a+c）（b+d） D. ab=（ad）（bd）例題6 已知，且，求的值。例題7 已知，求的值知識(shí)點(diǎn)三 黃金分割 1、黃金分割點(diǎn)：若點(diǎn)P分線段AB得到較長(zhǎng)線段是較短線段和整條線段的比例中項(xiàng)， 則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)；2、黃金比值： 叫做黃金比值。 注意：記住黃金比值，及其近似值0.618例題8 已知點(diǎn)M將線段AB黃金分割(AMBM)，則下列各式中不正確的是( )AAMBM =ABAM B.AM =AB C.BM =AB D.AM 0.618AB例題9 已知P、Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB10

8、cm，則PQ長(zhǎng)為（ ） A、 B、 C、 D、 課堂練習(xí)1. 已知，設(shè)，那么A、B、C的大小順序?yàn)?（ ） A、A>B>C B、A<B<C C、C>A>B D、A<C<B2若，則下列等式中，不正確的是（ ） A、 B、 C、 D、3若，則（ ） A、1:2 B、1:4 C、1:6 D、1:84若，則的值為（ ） A、-2 B、2 C、3 D、-35已知，且，則（ ） A、11 B、12 C、 D、96若，且，則的值是（ ） A、5 B、-5 C、20 D、-207若，則等于（ ） A、12 B、 C、- D、8已知AB=1，且，則BC的長(zhǎng)為（ ）

9、 A、 B、 C、 D、9已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且，則AB的長(zhǎng)為（ ） A、2 B、 C、2或 D、以上都不對(duì)10若，則等于 11已知，則 12如果，且，那么 13已知，則 14把長(zhǎng)為5的線段進(jìn)行黃金分割，則較短的線段長(zhǎng)是 15若,且2ab+3c=21.則abc = 課后作業(yè)1. 若4x=5y,則xy . 2. 若，則 .3. 已知，則的值為 . 4. 已知，那么 .5.若3，且b+d+f4，則a+c+e .6.若(x+y)y83，則xy . 7. 若，那么 .8. 等腰直角三角形中，一直角邊與斜邊的比是 .9. 如果xyz135，那么 10. 已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn), AC，

10、且ACBC，求線段AB與BC的 長(zhǎng)。比例性質(zhì)及比例線段一、知識(shí)點(diǎn)與方法概述：1、比例的性質(zhì)：基本性質(zhì)：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性質(zhì)：等比性質(zhì)：如果，那么.2、（成）比例線段： 比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比. 那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.設(shè)a、b、c、d為線段，如果a:b=c:d，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng)，a、d叫比例外項(xiàng)，d叫做a、b、c的第四比例項(xiàng)；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中項(xiàng).3、黃金分割： 如圖，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC>BC)，且使AC是A

11、B和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割, 點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn). 注意：1、AC»0.618AB；2、0.618叫做黃金比；3、一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn).4、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的線段對(duì)應(yīng)成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.推論的擴(kuò)展：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.（三角形一邊平行線的性質(zhì)）推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（三角形一

12、邊平行線的判定定理）5、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.根據(jù)被截的兩條直線的位置關(guān)系，可以分五種圖形情況（如圖1-圖5）:推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD中，AB=BC求證：DE=EF推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.已知：在ACF中，AB=BC 求證：AE=EF6、三角形的中位線定理：三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。已知：如圖，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)求證：，

13、7、梯形的中位線定理梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半。已知：梯形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)求證：，.8角平分線定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。逆定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。9.線段垂直平分線定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上。二、典型例題：1. 如圖，CE是DABC的中線，. 若EF=18cm，則BG= cm；若CD=9cm，則AF= cm.2. 如圖，DABC中，E為BC上一點(diǎn)，CD平分交AE于點(diǎn)D，且CDAE，交AB于F。若AF=2cm，則AB= cm.3. 已知：如圖，DABC中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，求DDEF的周長(zhǎng).4. 已知：如圖，DABC中，BD、CE分別是、的平分線，于H，于F，若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的長(zhǎng).5. 已知：如圖，梯形ABCD中，高是h，中位線長(zhǎng)m，求兩底的長(zhǎng).6. 已知：，設(shè)，那么A、B、C的大小順序是 .7. 已知：，則= .8. （2002·天津）已知：是正數(shù)，且，下列四個(gè)點(diǎn)中，在正比例函數(shù)的圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A（1，） B.(