重要抽樣法在模糊可靠性設(shè)計(jì)中的應(yīng)用_圖文

1、重要抽樣法在模糊可靠性設(shè)計(jì)中的應(yīng)用劉建峰，董玉革，高亮（合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，中國，安徽，合肥，）摘要：本文討論了在模糊可靠性設(shè)計(jì)中已知線性模糊強(qiáng)度和正態(tài)隨機(jī)應(yīng)力時(shí)，通過重要抽樣法來計(jì)算零件可靠度的方法首先把模糊變量轉(zhuǎn)化成當(dāng)量隨機(jī)變量，然后用遺傳算法計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)最后通過建立重要抽樣密度函數(shù)對(duì)（當(dāng)量）隨機(jī)變量重新抽樣來計(jì)算零件的可靠度，并通過算例比較了重要抽樣法和蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了方法的可行性和效率，關(guān)鍵字：模糊變量；模糊可靠度；重要抽樣法；遺傳算法，、（，一）：，：；引言傳統(tǒng)可靠性分析通常需知道強(qiáng)度和應(yīng)力的分布，通過統(tǒng)計(jì)抽樣確定強(qiáng)度與應(yīng)力的分布又需要大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，、而在實(shí)際

2、操作時(shí)往往沒有條件做可靠性實(shí)驗(yàn)（無法進(jìn)行或代價(jià)太大），這時(shí)難以進(jìn)行傳統(tǒng)的可靠性分析。而采用模糊可靠性設(shè)計(jì)方法，可以先從專家基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目）經(jīng)驗(yàn)中提取關(guān)于強(qiáng)度或應(yīng)力的信息，然后對(duì)這些信息進(jìn)行適當(dāng)處理，將其表示為強(qiáng)度或應(yīng)力的隸屬函數(shù)把強(qiáng)度或應(yīng)力用模糊變量來描述，從而用模糊可靠性理論來進(jìn)行可靠性分析【。模糊變量是在變量不能通過足夠?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)得到其概率分布的情況下用來描述不確定信息的，它可由專家經(jīng)驗(yàn)中提取而來。采用隸屬函數(shù)描述不確定信息的模糊變量與采用概率密度函數(shù)描述不確定信息的隨機(jī)變量在形式上是不同的，但它們有可能是采用不同的方式從不同的角度對(duì)同一現(xiàn)象進(jìn)行描述。因此，兩種描述方法存在互

3、相轉(zhuǎn)化的可能性。如果能把模糊變量變換為當(dāng)量隨機(jī)變量，就可用成熟的傳統(tǒng)可靠性理論，如蒙特卡羅方法，來進(jìn)行可靠性分析。模糊變量向當(dāng)量隨機(jī)變量的變換，根據(jù)文獻(xiàn)【】，模糊變量的當(dāng)量隨機(jī)強(qiáng)度，的概率密度函數(shù)（工）的一般表達(dá)式為（）。豢功蘭州式中石。模糊強(qiáng)度舅變換的當(dāng)量隨機(jī)強(qiáng)度。，（工）經(jīng)變換的當(dāng)量隨機(jī)強(qiáng)度。的概率密度函數(shù)。”，（工），（）模糊強(qiáng)度舅的均值、左參照函數(shù)和右參照函數(shù)。五模糊集的閾值。將模糊變量的隸屬函數(shù)變換為當(dāng)量隨機(jī)變量的當(dāng)量概率密度函數(shù)后，模糊變量強(qiáng)度就可按隨機(jī)變量處理，然后可用傳統(tǒng)可靠性理論分析模糊可靠性。隨機(jī)可靠性理論計(jì)算可靠度的方法很多，蒙特卡羅方法是一種比較精確的模擬抽樣法，具有概

4、念明確，方法簡(jiǎn)單，不受極限方程非線性、隨機(jī)變量非正態(tài)的限制等優(yōu)點(diǎn)。但是，因蒙特卡羅法僅僅是對(duì)隨機(jī)變量的分布進(jìn)行簡(jiǎn)單直接的模擬，直接使用往往會(huì)導(dǎo)致很大的計(jì)算量，尤其當(dāng)失效概率小時(shí)，要達(dá)到足夠的精確度就需要驚人的計(jì)算量，這影響了蒙特卡羅法在工程中的實(shí)際應(yīng)用。采用重要抽樣法可使抽樣次數(shù)大為減少。重要抽樣法，基本概念重要抽樣法是一種方差縮減技術(shù)，其基本思想是通過修改抽樣過程，改變隨機(jī)變量的抽樣重心，使對(duì)失效概率貢獻(xiàn)大的抽樣出現(xiàn)的概率增加，抽取的樣本點(diǎn)有更多的機(jī)會(huì)落入失效域內(nèi)，使抽樣點(diǎn)更有效。重要抽樣法的基本概念是：（，）、（）（，），（）一（）一式中，失效概率。卜隨機(jī)向量。（）新選的重要抽樣密度函數(shù)。

5、，）原抽樣密度函數(shù)。）卜一示性函數(shù)。啦器島作為概率密度函數(shù)，（）應(yīng)滿足條件）沁嘲。若以（）對(duì)重新抽樣，則，的模擬均值和方差分別為弓，專姜警（）咿而降刪矧蟛重要抽樣法應(yīng)用的關(guān)鍵是如何選取重要抽樣函數(shù)，即抽樣函數(shù)的類型及其分布參數(shù)。目前關(guān)于重要抽樣函數(shù)類型比較認(rèn)同的是采用以維無關(guān)正態(tài)概率密度函數(shù)，此時(shí)需確定均值和方差。關(guān)于這兩者的選取，文獻(xiàn)】建議以設(shè)計(jì)點(diǎn)（最可幾失效點(diǎn)）為采樣中心，文獻(xiàn)【】建議采用中心按以下方式確定（）（）【）另一種以增加有效抽樣比例為目標(biāo)確定采樣中心的方法由下式表述【】仁姐慨曲，（）（，）一式中，失效區(qū)域。若有必要還可采用自適應(yīng)的重要抽樣法。最早提出，其迭代過程為【】（）拉（“】

6、），】（）、【（“】（），】重要抽樣法與直接抽樣法相比并無本質(zhì)上的區(qū)別，只是改變了抽樣的重心，即將抽樣的重心轉(zhuǎn)移到結(jié)構(gòu)失效概率貢獻(xiàn)較大的區(qū)域。若重要區(qū)域選的不合理，精度則難以保證。在方差選擇上，通常可取原始方差的到倍作為重要抽樣密度函數(shù)中相應(yīng)隨機(jī)變量的方差。設(shè)計(jì)點(diǎn)的計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)是極限狀態(tài)曲面上最大可能失效概率的點(diǎn)。從幾何意義上看，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中，從原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離為可靠度系數(shù)，而對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)曲面上的這一點(diǎn)，即為設(shè)計(jì)點(diǎn)。設(shè)計(jì)點(diǎn)一般可采用改進(jìn)的一次二階矩法，用迭代法進(jìn)行求解。在一般情況下，迭代能夠收斂，但在某種情況下，迭代不一定收斂，即不能保證在所有情況都能夠收斂。此外，迭代過程中

7、需要解非線性方程，特別是當(dāng)方程的非線性程度較高時(shí)，求解方程比較困難；當(dāng)方程有多個(gè)解時(shí)，對(duì)結(jié)果的取舍也難以抉擇。當(dāng)遇上述諸多困難時(shí)，采用改進(jìn)的一次二階矩法是難以勝任的。因此，本文引入遺傳算法來計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)。遺傳算法（）是模擬生物遺傳進(jìn)化機(jī)制而發(fā)展起來的一種算法，簡(jiǎn)單通用，魯棒性好，全局尋優(yōu)，被認(rèn)為是未來關(guān)鍵智能計(jì)算之一。遺傳算法全局尋優(yōu)，避免陷入局部?jī)?yōu)化。一般的優(yōu)化算法通用性不強(qiáng)，計(jì)算量大，遺傳算法可避免上述缺點(diǎn)。而且，遺傳算法尤其適用于可靠性分析中極限狀態(tài)方程比較復(fù)雜的情況。算法步驟本文所述的重要抽樣法提高抽樣效率的算法包括三個(gè)緊密相連的步驟。一是模糊變量向當(dāng)量隨機(jī)變量的變換，二是遺傳算法計(jì)算設(shè)

8、計(jì)點(diǎn)，三是按新抽樣過程進(jìn)行抽樣計(jì)算可靠度。以下文末的算例來簡(jiǎn)要說明算法步驟。簡(jiǎn)單起見，設(shè)極限狀態(tài)函數(shù)為（，），服從（從，吒），概率密度函數(shù)為），的分布參數(shù)為（，巴），概率密度函數(shù)為，（，）。，模糊變量轉(zhuǎn)換成當(dāng)量隨機(jī)變量變換式（）適用于任何模糊變量向其當(dāng)量隨機(jī)變量的變換。線性模糊強(qiáng)度的隸屬函數(shù)（，）一，咒一以）一壺廠（）【，。根據(jù)（）可推得線性模糊強(qiáng)度的當(dāng)量隨機(jī)強(qiáng)度概率密度函數(shù)為一去仁與一口厶吲一籌乎【，當(dāng)量均值為。：。華（）。午【）當(dāng)量標(biāo)準(zhǔn)差為。，俜（）（）。遺傳算法計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)遺傳算法的設(shè)計(jì)涉及到編碼、選擇適應(yīng)度函數(shù)、遺傳算子（選擇算子、交叉算子、變異算手）選擇、群體設(shè)定（群體大小、交叉概率、

9、變異概率、終止條件）、約束處理等方面。本文限于篇幅，只能概述其步驟。（）個(gè)體編碼（）采用二進(jìn)制編碼。二進(jìn)制編碼與實(shí)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系可由下面簡(jiǎn)單的線性關(guān)系求得。設(shè)二進(jìn)制編碼位數(shù)為，。，表示的十進(jìn)制數(shù)的范圍為【，】。若某二進(jìn)制數(shù)直接一對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為而。，則其對(duì)應(yīng)的實(shí)際值為工地皆而（）此算例中，正態(tài)隨機(jī)變量分布參數(shù)若為（從仃），則【，】可認(rèn)為是【，】。（）父代群體初始化（）設(shè)群體規(guī)模為，隨機(jī)變量，（其二迸制編碼位數(shù)分別為和，）。首先，隨機(jī)生成的二進(jìn)制值。，再利用（，）解出，對(duì)應(yīng)編碼為，吃，；，再組合成個(gè)體，吃，此為編碼過程。循環(huán)次即生成初始群體。（）選擇操作（）設(shè)計(jì)點(diǎn)的計(jì)算涉及到最短距離，即目標(biāo)函數(shù)的

10、最小值，而適應(yīng)度函數(shù)是求最大值，且為非負(fù)值。這需要將目標(biāo)函數(shù)的最小值問題轉(zhuǎn)換成適應(yīng)度函數(shù)的最大值問題并保證適應(yīng)度函數(shù)值非負(fù)。經(jīng)過分析和驗(yàn)證，可采用如下的適應(yīng)度函數(shù)，即（，）一以）（一，）（）式中，為事先設(shè)定或動(dòng)態(tài)調(diào)整的上臨界值。動(dòng)態(tài)調(diào)整時(shí)，可使總等于一以）（一所）的最大值。將第個(gè)個(gè)體解碼為變量；和，求（，吒）。求出所有個(gè)體的（，）后，再對(duì)群體按個(gè)體的適應(yīng)度（，）大小進(jìn)行概率選各取。可采用輪盤賭策略例：計(jì)算各個(gè)體，（，）之和（，），再按順序算出個(gè)體在（，巧）中所占累積，比例，即廠（墨，吒），（墨，），接著，隨機(jī)生成【，】上的均勻分布值，則大于的最小。值對(duì)應(yīng)的個(gè)體被選中保留。重復(fù)次，即可完成群體的

11、選擇，一次均未選中的個(gè)體被淘汰?？蓪ⅲǎ┲底畲蟮膫€(gè)體直接保留到下代中。（）交叉操作（）群體中個(gè)體隨機(jī)兩兩組合。設(shè)某兩個(gè)隨機(jī)組合的個(gè)體和，編碼分別為，露和？；吃砰，按交叉概率。（隨機(jī)產(chǎn)生【，】上的均勻數(shù)“，若不大于以，認(rèn)為達(dá)到概率，需交叉重組）隨機(jī)選取交叉點(diǎn)（，一）進(jìn)行交叉重組，生成下代；。吃和；。，七（此處設(shè)神。（）變異操作（）個(gè)體按變異概率。隨機(jī)選取變異點(diǎn)（塘，胛）進(jìn)行變異，將西屯（此處設(shè)易刎中的而位翻轉(zhuǎn)，變?yōu)椋優(yōu)?，變異可保證遺傳算法全局尋優(yōu)。，（演化迭代至群體最優(yōu)（）重復(fù)步驟（）（），直至連續(xù)幾代個(gè)體平均適應(yīng)度的差異小于要求的極小偏差值或迭代次數(shù)達(dá)到某預(yù)定值時(shí)，認(rèn)為群體最優(yōu)，可作為最優(yōu)

12、的設(shè)計(jì)參數(shù)解碼為（，如）輸出。，按新抽樣過程抽樣計(jì)算可靠度設(shè)計(jì)點(diǎn)求出之后，就可進(jìn)行重要抽樣模擬。若設(shè)計(jì)點(diǎn)為（紇，如），再取原隨機(jī)變量的方差的三倍作為新隨機(jī)變量的方差，則新抽樣的隨機(jī)變量服從（，吼）和（如，），密度函數(shù)分別為厶（）和（）。設(shè)，為失效發(fā)生時(shí)的累加變量并使其初值為。（），生成隨機(jī)應(yīng)力和當(dāng)量隨機(jī)強(qiáng)度的樣本點(diǎn)列由于重要抽樣法采用的新抽樣密度函數(shù)為維無關(guān)正態(tài)概率密度函數(shù)，因此這里只需產(chǎn)生服從正態(tài)分布的隨機(jī)點(diǎn)向量。根據(jù)文獻(xiàn)【】，兩個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（，）的隨機(jī)變量，可按照如下過程產(chǎn)生設(shè)阢和鞏是兩個(gè)相互獨(dú)立的（，）均勻分布隨機(jī)變量，則、（），（）；和是兩個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（，）隨機(jī)

13、變量，進(jìn)而可得到任意兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布（以，吒）和，）的隨機(jī)數(shù)：從吒一（），仃一啦“（）一多個(gè)無關(guān)正態(tài)隨機(jī)數(shù)可按上述方法產(chǎn)（）第七飲抽樣得到的隨機(jī)數(shù)記為，毋，代入極限狀態(tài)函數(shù)（，）計(jì)算，若（，諺），計(jì)算季燃，并將結(jié)果力到上，第。七厶（）厶（）。；抽樣結(jié)束；若（，）直接進(jìn)行下次抽束。計(jì)算失效概率為弓峰（，亍竺。；?！?，。抽司幼羆靜艇一川二曝萃“瑚【以。效概率，每次試驗(yàn)的抽樣次數(shù)為，和 ，時(shí)，每次試驗(yàn)估計(jì)的失效概率分別如 礎(chǔ)上，采用重要抽樣法（，），次試 驗(yàn)估計(jì)的失效概率如表。 表 一一 表和表。 ；一 ，的個(gè)估計(jì)值（重要抽樣法，） 表 ，的個(gè)估計(jì)值（蒙特卡羅法，） 【） 一 （） （） 從上

14、述各表中可看出，采用重要抽樣法 在抽樣次數(shù)為，時(shí)，就可以保證每次試 驗(yàn)總有抽樣點(diǎn)在失效區(qū)域，而蒙特卡羅法在 抽樣次數(shù)為，次時(shí)卻不能保證做到這一 點(diǎn)。比較表和表知，重要抽樣法在抽樣 次數(shù)，次時(shí)的估計(jì)值比蒙特卡羅法在抽 表 的個(gè)估計(jì)值（蒙特卡羅法，） 樣次數(shù)，次的估計(jì)值更好，分散性更 小。因此，用重要抽樣法進(jìn)行模糊可靠性分 析可以大大地減小計(jì)算量，明顯地提高計(jì)算 效率。 結(jié)論 本文針對(duì)機(jī)械模糊可靠性分析中蒙特卡 從表可看出，蒙特卡羅法在抽樣次數(shù) 為，次時(shí)，多次試驗(yàn)得到的失效概率為 羅抽樣法在機(jī)械零件失效概率較小時(shí)計(jì)算效 率低的問題，引入了遺傳算法和重要抽樣法， 通過改變抽樣重心，使對(duì)失效概率貢獻(xiàn)大

15、的 樣本出現(xiàn)的概率增加，從而提高抽樣效率。 本文的方法具有一般性。通過遺傳算法 計(jì)算設(shè)計(jì)點(diǎn)，概念明確，操作簡(jiǎn)單，適應(yīng)性 強(qiáng)。重要抽樣法由于采用的重要抽樣密度函 數(shù)服從正態(tài)分布，因此比蒙特卡羅法更適合 。也就是說失效概率比較小，抽樣點(diǎn)不易抽 在失效區(qū)域。當(dāng)模擬次數(shù)達(dá)到，時(shí)， 每次試驗(yàn)總可以保證有抽樣點(diǎn)在失效區(qū)域。 采用遺傳算法，當(dāng)取， ，。，鯽時(shí)，經(jīng)計(jì) 算得到的設(shè)計(jì)點(diǎn)為（，）。在此基 模糊可靠性分析。 【】陳倫軍等機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)遺傳算法川北京： 機(jī)械工業(yè)出版社， 本文的算例表明，重要抽樣法在適當(dāng)?shù)?重新抽樣情況下，可顯著地提高抽樣效率： 【】【楊綸標(biāo)，高英儀模糊數(shù)學(xué)原理及應(yīng)用叫】廣 州：華南理工大學(xué)出版社， 【】呂震宙，馮元生重要抽樣法在工程可靠性分析 問題中的應(yīng)用【刀機(jī)械強(qiáng)度，（） 【 塒 而遺傳算法對(duì)于設(shè)計(jì)點(diǎn)的計(jì)算又有較大優(yōu) 勢(shì)。因此，本文引入的方法在機(jī)械模糊可靠 性設(shè)計(jì)中具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，為解決復(fù)雜 情況下的模糊可靠性提供了有效的途徑。 ，（）， 參考文獻(xiàn) 【】董玉革機(jī)械模糊可靠性設(shè)計(jì)眥】北京：機(jī)械 工業(yè)出版社， 【】董玉革，倪崢，王純賢離散模糊時(shí)模糊可靠性 分析新方法叨北京：中國機(jī)械工程，（）： 作者簡(jiǎn)介； 劉建峰，男，年月生，湖北崇陽人，合肥工 業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院機(jī)械設(shè)計(jì)及理論專業(yè)， 碩士研究生。 聯(lián)系