第四部份不完全資訊動(dòng)態(tài)賽局

1、第四部份：不完全資訊動(dòng)態(tài)賽局第八章：不完全資訊動(dòng)態(tài)賽局第一節(jié)：信念與信念一致性本書第五章定義行動(dòng)有先後順序的詳盡式賽局以及SPNE概念。但是對(duì)於有些詳盡式賽局，SPNE概念還是無法幫助我們求解，現(xiàn)以下例說明之。再回到緊臨校園的獨(dú)佔(zhàn)飲食店與潛在競(jìng)爭(zhēng)廠商的賽局。假設(shè)排骨大王M廠商是原來的獨(dú)佔(zhàn)廠商，而另外有兩家可能進(jìn)入的潛在競(jìng)爭(zhēng)者，其中PH廠商的專長(zhǎng)是50元匹薩，BN廠商的專長(zhǎng)是牛肉麵。在賽局的一開始，PH廠商有三種選擇：自行開店賣匹薩 下畫線的粗體字表示策略。、不進(jìn)入市場(chǎng)、以及邀約BN廠商結(jié)盟一起進(jìn)入市場(chǎng)。不論P(yáng)H廠商是否進(jìn)入，BN廠商也要選擇在校園旁開店賣牛肉麵，或是不進(jìn)入市場(chǎng)；而如果收到PH廠

2、商的邀約，BN廠商可以選擇同意參加結(jié)盟或是拒絕。在上述況組合中，原來獨(dú)佔(zhàn)的M廠商可以區(qū)分出以下可能情況：沒有對(duì)手進(jìn)入，校園旁有兩家新店快要開張，或是校園旁只有一家新店快要開張。事實(shí)上，一家新店又有三種可能：是牛肉麵店、是牛肉麵與披薩結(jié)盟店，或是披薩店。其中單獨(dú)一家披薩店又有兩種可能性：是PH店一開始就選擇自行進(jìn)入；或是PH店邀約BN店結(jié)盟並遭到拒絕後再?zèng)Q定自行進(jìn)入。不論如何，只要有新店開張，M廠商就必須要決定是採(cǎi)取積極的市場(chǎng)策略反擊對(duì)手（例如展開價(jià)格戰(zhàn)、增加商品的種類，贈(zèng)送積點(diǎn)折扣券等），還是要和平共存，容忍對(duì)手的存在。以上互動(dòng)情況可以表達(dá)為下列動(dòng)態(tài)不完全資訊賽局。練習(xí)：請(qǐng)寫出下列賽局中PH、

3、BN、和M三名參賽者的單純策略集合，試為每位參賽者寫出一個(gè)混合策略。 PH 披薩 不進(jìn)入 結(jié)盟BN BN BN 牛肉麵 不進(jìn)入 牛肉麵 不進(jìn)入 結(jié)盟 拒絕 0 PH 0 8 披薩 不進(jìn)入 0 M M M M M 08 反擊 容忍 反擊 容忍 反擊 容忍 反擊 容忍 反擊 容忍 1 4 2 4 0 0 3 6 1 22 2 0 0 1 5 1 3 0 01 1 1 4 4 3 2 1 4 3 圖此賽局沒有適當(dāng)子賽局proper subgame，因此無法求解SPNE子賽局完美均衡。賽局中M廠商有兩個(gè)資訊集合，寫成，我們將第二個(gè)資訊集合所包含的四點(diǎn)寫做，其中a點(diǎn)是PH店一開始就自行進(jìn)入，b點(diǎn)是只有B

4、N牛肉麵店進(jìn)入，c點(diǎn)則是PH和BN結(jié)盟一起進(jìn)入，d點(diǎn)則是PH提出結(jié)盟邀約遭到BN拒絕後，PH仍然單獨(dú)進(jìn)入開設(shè)披薩店。本書前面只講到包含四點(diǎn)表示M廠商無法區(qū)別a、b、c、d四點(diǎn)所代表的狀況?，F(xiàn)在我們進(jìn)一步定義M廠商在資訊集合上的信念belief 信念也可以稱為是參賽者的想法、判斷。 就是一個(gè)機(jī)率分配，例如表示M廠商認(rèn)為自己置身於a、b、c、d定義：令為詳盡式賽局中的任一個(gè)資訊集合，則是定義在上的信念表示對(duì)所有，並且。機(jī)率分配表示M廠商判斷他在資訊集合上的可能位置，M廠商也用來計(jì)算他在資訊集合選擇不同行動(dòng)所能得到的預(yù)期報(bào)酬，寫成，表示當(dāng)?shù)竭_(dá)資訊集合，對(duì)內(nèi)各點(diǎn)的判斷是時(shí)，M選擇“反擊”會(huì)得到的預(yù)期報(bào)

5、酬，同理可算出。但是的信念是否合理？賽局理論認(rèn)為參賽者應(yīng)該根據(jù)事前機(jī)率、對(duì)手的策略再運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的貝氏法則(Bayes rule)來計(jì)算一致信念(consistent belief)。在說明計(jì)算一致性信念之前，我們先定義參賽者的行為策略。在詳盡式賽局中，混合策略的概念太複雜，難以應(yīng)用。上例中BN廠商的單純策略集合包含8個(gè)元素，而BN廠商的一個(gè)混合策略則是一組機(jī)率分配，。我們一般不用如此複雜的混合策略，而行為策略則是考慮參賽者在他的每一個(gè)資訊集合隨機(jī)選擇行動(dòng)。例如圖的賽局中BN廠商有三個(gè)資訊集合，。行為策略說明BN廠商在選擇的機(jī)率分別是，在選擇的機(jī)率是，在選擇的機(jī)率是。再假設(shè)PH廠商的行為策略說明

6、是他在選擇的機(jī)率是，在選擇的機(jī)率是。 PH 披薩 不進(jìn)入 結(jié)盟 0.1 0.1 0.8BN BN BN 0.4 0.6 0.9 0.1 0.7 0.3牛肉麵 不進(jìn)入 牛肉麵 不進(jìn)入 結(jié)盟 拒絕 0 PH 0 8 披薩 不進(jìn)入 0.8 0.2 0 M a b c d 08 反擊 容忍 反擊 容忍 反擊 容忍 反擊 容忍 反擊 容忍 1 4 2 4 0 0 3 6 1 22 2 0 0 1 5 1 3 0 01 1 1 4 4 3 2 1 4 3 圖為了便於解釋一致性信念的計(jì)算方式，我們將行為策略及標(biāo)明於賽局樹上得到圖及後，a、b、c及d各點(diǎn)發(fā)生的機(jī)率是節(jié)點(diǎn)發(fā)生機(jī)率A0.1×0.6=0.

7、06B0.1×0.9=0.09C0.8×0.7=0.56D0.8×0.3×0.8=0.192資訊集合0.060.090.560.1920.902 表資訊集合是由a、b、c、d四點(diǎn)組成，所以資訊集合發(fā)生的機(jī)率就是四點(diǎn)發(fā)生機(jī)率的總和。由上表就可算出a、b、c、d四點(diǎn)在資訊集合中所佔(zhàn)的比重，這些根據(jù)、策略，再用貝氏法則所算出的條件機(jī)率也就是M廠商的一致性信念。事件條件機(jī)率A在中發(fā)生B在中發(fā)生C在中發(fā)生D在中發(fā)生表現(xiàn)在用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆?hào)表達(dá)以上分析。首先我們將對(duì)手的行為策略寫成。代表策略賽局會(huì)進(jìn)行到a點(diǎn)的機(jī)率，也就是表中所計(jì)算的機(jī)率。代表在策略下賽局會(huì)進(jìn)行到時(shí)，M廠商

8、位於a點(diǎn)的機(jī)率是：這也就是在策略下，a點(diǎn)在中發(fā)生的機(jī)率。同理可寫出b、c、d點(diǎn)的機(jī)率是：，。故利用貝氏法則，我們算出與策略一致的信念是第二節(jié)：弱完美貝氏均衡Weak Perfect Bayesian Equilibrium (WPBE) 本書以前所定義的均衡都是由策略組態(tài)構(gòu)成，弱完美貝氏均衡（以下簡(jiǎn)稱WPBE）則包含兩部份：策略組態(tài)描述參賽者在各個(gè)情況如何做選擇，信念則說明參賽者在處境不明時(shí)如何做判斷。定義：WPBE是一組策略組態(tài)及信念，滿足下列條件：(一) 序列理性sequential rationality： 給定及，每一位參賽者所選擇的都是對(duì)他自己最好的，也就是能使的預(yù)期報(bào)酬達(dá)到極大。(

9、二) 信念一致性belief consistency：參賽者的信念是根據(jù)事前機(jī)率、策略組態(tài)並使用貝氏法則計(jì)算得出?，F(xiàn)在求解圖賽局的WPBE：步驟一. 先分析BN廠商在他第二和第三個(gè)資訊集合的選擇。在：BN選牛肉麵得1或5，選不進(jìn)入得0，故BN會(huì)選牛肉麵。在：BN選結(jié)盟得1或3，選不進(jìn)入得0，故BN會(huì)選結(jié)盟。步驟二. 回溯分析PH廠商在賽局一開始的行動(dòng)。1. PH選披薩時(shí)M廠商反擊則PH得1或2，M廠商容忍則PH得4。2. PH選不進(jìn)入得0。3. PH選結(jié)盟時(shí)由步驟一知BN也會(huì)選結(jié)盟，故M廠商反擊則PH得3，M廠商容忍則PH得6。比較之後PH廠商會(huì)選擇結(jié)盟。步驟三. 步驟一、二告訴我們PH廠商一

10、開始會(huì)選結(jié)盟，之後BN也會(huì)選結(jié)盟，故在資訊集合中，M廠商一定是落在c點(diǎn)。也就是說與步驟一、二一致的信念是。步驟四. 因?yàn)镸廠商相信自己一定在c點(diǎn)，故M廠商選反擊得2，選容忍得1。比較之下，M廠商會(huì)選擇容忍。步驟五. 再分析M廠商在他第一個(gè)資訊集合的選擇。在：M廠商選反擊得1，選容忍得2。比較之下，M廠商會(huì)選擇容忍。步驟六. 再分析BN廠商在他第一個(gè)資訊集合的選擇。在：BN選牛肉麵M廠商會(huì)容忍，BN得2；BN選不進(jìn)入得0，比較之下BN會(huì)選牛肉麵。步驟七. 再分析PH廠商在他第二個(gè)資訊集合的選擇。在：PH選披薩就到資訊集合，而M廠商會(huì)容忍，故PH選披薩得2；PH選不進(jìn)入得0，比較之下PH會(huì)選披薩。

11、我們所求出的WPBE = ，其中，, ，, 練習(xí)PH、BN及M的單純策略集合分別是：，和。PH的混合策略是，其中，。練習(xí)題2 P1 0.8 0.2 P2 P2 0.9 0.1 0.7 0.3 P3 x y z上圖中P3的第二個(gè)資訊集合是，P1和P2的行為策略標(biāo)於圖中，請(qǐng)計(jì)算P3在的一致性信念。練習(xí)題3 P1 0.8 0.2 P2 P2 0.9 0.1 0.7 0.3 P3 P3 x y上圖中P3的第三個(gè)資訊集合是，P1和P2的行為策略標(biāo)於圖中，請(qǐng)計(jì)算P3在的一致性信念。練習(xí)題4 P1 1 0 P2 P2 0.9 0.1 0.7 0.3 P3 P3 x y上圖中P3的第三個(gè)資訊集合是，P1和P2的行為策略標(biāo)於圖中，請(qǐng)計(jì)算P3在的一致性信念。請(qǐng)注意，依照貝氏法則的公式計(jì)