血液采樣論文

1、血樣的分組化驗 摘要本問題所述的情況在醫(yī)學(xué)統(tǒng)計、病毒檢測等諸多問題中是首要解決的問題。進(jìn)行某種疾病的調(diào)查，需要大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計數(shù)據(jù)的取得主要靠實驗的方法，這時候，我們就要考慮如何讓分組使得我們處理問題的效率提高，花銷最少，本文就是以找出最優(yōu)分組為主要目的。首先解決的是在陽性先驗概率p固定情況下建立一個概率模型使化驗次數(shù)最小的問題,我們設(shè)平均每人檢驗次數(shù)的函數(shù)為f(x),然后通過非線性方程數(shù)值解法對其求解，找到是化驗次數(shù)最小的每組人數(shù)；接著要解決的是陽性先驗概率p為多大時，就不應(yīng)該再分組；再接下來，解決二次分組（即陽性組再分組檢驗）的問題，我們采用非線性規(guī)劃模型利用LINGO軟件求使化驗次

2、數(shù)最少的最優(yōu)解；最后通過平均概率模型討論其它類型的血樣分組情況。關(guān)鍵字：概率模型 非線性方程數(shù)值解法 非線性規(guī)劃 平均概率模型一、問題提出要在人群中（數(shù)量很大）找出某種病患者，為減少檢驗次數(shù)，通常采用篩選的辦法。即假設(shè)人群總數(shù)為 n, 將人群分成 m 組，每組的人數(shù)為 k，將每組的 k 份血樣混在一起進(jìn)行化驗，若化驗結(jié)果呈陽性，則需要對該組的每個人重新進(jìn)行化驗，以確定患者；若化驗結(jié)果呈陰性，則表明該組全體成員均為陰性，不需要重新化驗。 （1）已知先驗陽性率為 p,，當(dāng) p 固定時，如何分組可使得化驗次數(shù)最??； （2）找出不必分組的先驗陽性率p的取值范圍； （3）討論兩次分組的情況，即檢測為陽性

3、的組再次分組檢驗的情況；（4）討論其它分組方案，如半分法、三分法，這里我們采用平均概率模型進(jìn)行分組。二、基本假設(shè)血樣的檢驗結(jié)果只存在陰性和陽性兩種結(jié)果, 即陰性與陽性的先驗概率之和為1，即p+q=1；假設(shè)先驗概率是對某個人檢驗一次，結(jié)果呈陽性的概率，并假設(shè)先驗概率在檢驗中保持不變（即假設(shè)該概率只與疾病有關(guān)，而對同一種疾病該值為常量）；用來抽樣的隨機(jī)人群相互獨立（即不考慮是否有遺傳性與病毒的傳染）; 為了簡化模型，假設(shè)能夠平均分配，進(jìn)行再分組的時候，對呈陽性的組進(jìn)行內(nèi)分組。三、 符號說明人群總數(shù)第一次分組的組數(shù)第一次分組每組人數(shù) 第二次分組的組數(shù) 第二次分組每組人數(shù)先驗陽性概率先驗陰性概率為一次

4、分組每人的化驗次數(shù)的最小值第一次分組每人的化驗次數(shù)第二次分組每人的化驗次數(shù)x1第一次分組的平均每個人化驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望第二次分組平均每個人化驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望X1第一次檢驗中化驗為陽性的組數(shù)2第二次分組后的組數(shù)3第二次化驗后得到的陽性組數(shù)的期望值1第一次分組的化驗次數(shù)2第二次分組后第一步化驗的次數(shù)3第二次化驗結(jié)束后的化驗次數(shù)總共需要化驗的次數(shù)四、 問題分析1.問題一分析設(shè)人群總數(shù)為，分為組，每組的人數(shù)為)。設(shè)陽性的先驗概率為 p，則陰性的先驗概率為q=1-p。如果不進(jìn)行分組，則每個人都需要化驗1次。如果分組，當(dāng)某組化驗結(jié)果為陰性時，則不需再進(jìn)行化驗，又因為每個人是否是感染者是相互獨立的，故該組平

5、均每個人的化驗次數(shù)為，概率為qk；若某組化驗結(jié)果是陽性，則需要對該組的每個人進(jìn)行化驗，該組平均每個人的化驗次數(shù)為1+，概率為1-qk。因此，需要分組的條件是第一次分組化驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望小于1。要求化驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望的最小值，就是要求在滿足數(shù)學(xué)期望小于1的情況下的每組人數(shù)。2.問題二的分析不應(yīng)分組的條件就是要求陽性的先驗概率某一范圍內(nèi)，使分組后平均每個人化驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望大于1。3.問題三的分析 在第一次分組化驗的基礎(chǔ)上結(jié)果顯示為陽性的組再次進(jìn)行分組化驗。對于第一次分組化驗為陽性的組，重新分為組，每組人。以二次分組時每個人的平均檢驗次數(shù)為目標(biāo)，建立非線性規(guī)劃模型，取不同的，求出第一次分組的最佳分

6、組人數(shù)和第二次分組的最佳分組人數(shù)。4.問題四的分析我們引入平均概率模型，把血樣檢驗中可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行細(xì)化分析，最后得出，在實際情況當(dāng)中，我們可以近似認(rèn)為當(dāng)血樣檢驗位陽性的人數(shù)等于分組后每一組的人數(shù)時，可以使得我們的模型達(dá)到很好的優(yōu)化。五、模型建立與求解1、模型一的建立與求解（問題一和問題二）1模型的建立由以上分析我們可以得出隨機(jī)變量X 的分布律為:由此可以算出X的數(shù)學(xué)期望為：即一次分組每人的化驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。又因為陽性的先驗概率p是固定的，故而是求當(dāng)k是多少時此期望值為最小值，并且E（X）值不能超過1。2.模型求解（1）、由可知，只要選取適當(dāng)?shù)膋，使得取得最小值，也就能得到到次數(shù)最小的分配

7、方法，數(shù)學(xué)期望可以看成是一個關(guān)于k（k是自變量）的一個函數(shù)，記作：f( x) = 1 qx+ ( x 2, 0 < q < 1)，只要其在定義域內(nèi)連續(xù)且任意階導(dǎo)數(shù)存在，求f ( x)的極值點，只需令f(x)=0即可，即：因為，對P（x）求導(dǎo)可得 由此可以看出，當(dāng)時，函數(shù)P（x）單調(diào)減少，當(dāng)時，函數(shù)P（x）單調(diào)增加，在時取得最大值。畫出P（x）的圖像如下：又因為k是離散的，只能取整數(shù)，故k取3時，P（x）取得最大值P（3）=0.3066故由，也就是只有在p0.3066時，調(diào)整k的值總能滿足。即此時分一次組才比不分組每人平均檢驗次數(shù)少。而對于大于此值的p，并不滿足，因而不分組比分一次組

8、平均每人檢驗次數(shù)少。對 f( x) = 1 qx+ ( x 2, 0 < q < 1)求導(dǎo)可得：如果對于給定的（必須滿足約束條件p0.3066）值，可以通過非線性方程數(shù)值解法求得f（x）最小的xm值。由于本題變量（每組人數(shù)）均為離散變量，故取與最相近的兩個整數(shù)值(上取整和下取整)xa(xaxm),xb(xbxm)，代入，比較兩個值，其中較小的那個值即為只分一次組總次數(shù)最少的k值。下表即為對應(yīng)不同的先驗概率，相應(yīng)的最小檢驗次數(shù)的每組人數(shù)：0.000010.000030.000050.000080.00010.00050.00131718314211210145320.00630.01

9、090.01410.01780.02000.04480.06280.0050.010.020.030.040.050.081511866540.13910.19560.27420.33370.38390.42620.5336p0.100.200.300.3060.30660.3080.443333330.59390.82130.99030.99901.00051.00201.1173由此可以看出當(dāng)p<0.3066時，E（x）<1, 所以分組可以減少檢驗的工作量，并且能夠達(dá)到減小檢驗費用的目的。從上面的E（x）p圖像可以分析出：平均每個人的檢驗次數(shù)隨的增大而增大。因此，當(dāng)陽性的先驗概

10、率增大時，進(jìn)行再次分組可以減小檢驗的次數(shù)，達(dá)到降低檢驗費用的目的。從上面的Kp圖像我們可以看出：從整體上看，最佳分組人數(shù)隨的增大而呈現(xiàn)先急劇減小，后趨于水平的趨勢。當(dāng)時，最佳分組人數(shù)隨著陽性先驗概率的增大而急劇減小，當(dāng)，最佳分組人數(shù)幾乎不變，結(jié)合圖1，當(dāng)增大到一定程度而繼續(xù)增大時，分組反而增加了檢驗費用，故而沒有必要在進(jìn)行分組了。2、二次分組（即陽性組再分組檢驗）的情況1.模型假設(shè)（1）在進(jìn)行第二次分組時，將第一次分組時檢驗為陽性的組的k個人分為m組是隨機(jī)的；（2）第二次分組時，陽性的先驗概率仍然為2.模型建立與求解第一次分組化驗：第一次分組組數(shù)為m，所以化驗需要的化驗次數(shù)為次 ，這m組中，化

11、驗出陽性的組數(shù)應(yīng)為：組。再給陽性組進(jìn)行第二次分組化驗。我們把化驗出為陽性的歸為一類，以前的個人隨機(jī)分為組，每組人，所以有。第二次化驗：通過以上的分組方法，可以得到的總小組數(shù)為：組，故第二次化驗需要的次數(shù)次。第二次分組化驗時，若檢驗出某組為陰性，表明該組全體成員全為陰性，不需要重新化驗，如為陽性，需要對該組的每個人進(jìn)行化驗，以確定誰是病毒感染者。第二次化驗后得到的陽性組數(shù)的期望值為：組，每組的人數(shù)為人。所以再需要的化驗次數(shù)次。所以要進(jìn)行兩次分組，總共需要的化驗次數(shù)y為：又由于總?cè)藬?shù)，所以可得平均每人需要的化驗次數(shù)數(shù)學(xué)模型為： 令E（x）=E(x)可以得出時取K ，代入式子可以得出。由此可見，只要

12、所給的值小于0.2929（而且滿足假設(shè)（4），分兩次組就比分一次組要好。使用LINGO編程（見附件）求出當(dāng)P在（0.00001，0.40）之間變化滿足以上條件的最優(yōu)解,下面給出幾組有代表性、：0.0050.010.020.030.040.050.0842241412101051412765550.05020.08390.13910.18550.22890.2710.38440.10.20.30.3060.3070.3080.4633333333333330.44980.73410.9840.99851.00091.00331.2093根據(jù)上面表分析得：當(dāng),可以進(jìn)行兩次分組，分組能夠減小平均每個

13、人的化驗次數(shù)，當(dāng)，分組反而增加了平均每個人的化驗次數(shù)。3.結(jié)果分析血樣分組檢驗的方式不同，就會導(dǎo)致檢測次數(shù)的不同，在實踐情況當(dāng)中，我們會對檢測的方式進(jìn)行分析，得出最合適的方式。下面我們來分析一次分組檢驗與二次分組檢驗平均檢驗次數(shù)與的關(guān)系：當(dāng)陽性的先驗概率時，不分組每個人一次一次的檢驗可以使總次數(shù)最少；當(dāng)所給時，進(jìn)行一次檢驗比分二次組和不分組均可使總次數(shù)最少；當(dāng)時，分兩次組總次數(shù)比分一次組總次數(shù)要少。由于題給條件是人群數(shù)量很大，基本是健康人，所以可以認(rèn)為先驗概率很小，不分組的情況在實際當(dāng)中可以不予考慮（此時的概率在0.3左右，相當(dāng)大），故而我們可以認(rèn)為當(dāng)時，二次分組更好。綜上所述，當(dāng)時，即一次分

14、組血樣化驗的平均檢驗次數(shù)大于二次分組血樣化驗的平均化驗次數(shù)，因此一次分組化驗的費用比兩次分組化驗的費用要大，在實際的血樣分組化驗過程中，應(yīng)該選擇二次分組化驗；當(dāng)時，即不管是一次分組化驗還是二次分組化驗，平均化驗次數(shù)都大于不分組時平均化驗次數(shù)，反而提高了化驗費用，因此，在實際的血樣分組檢驗中，不需要分組化驗。3.討論其它分組方案-平均概率模型首先我們先給出一個假定陽性血樣的人群有5個小組檢測為陽性，10人患病，求共有多少組情況的MATLAB編程示例。示例：假定陽性血樣的人群有5個小組時的Matlab的程序如下:clear;clc;counter=0;z=input('請輸入病人數(shù)： &#

15、39;)for r1=1:z for r2=r1:z-r1 for r3=r2:z-r1-r2 for r4=r3:z-r1-r2-r3 for r5=r4:z-r1-r2-r3-r4 if r1+r2+r3+r4+r5=z r1,r2,r3,r4,r5 counter=counter+1; end end end end endendcounter輸入z的值為10,輸出計算結(jié)果: z = 10ans = 1 1 1 1 6ans = 1 1 1 2 5ans = 1 1 1 3 4ans = 1 1 2 2 4ans = 1 1 2 3 3ans = 1 2 2 2 3ans = 2 2 2

16、 2 2counter = 7這表示如果有5個組為陽性，有10個人患病的話，可能會有7種分組情況，分組情況如上。假定總?cè)藬?shù)為1000，p=1%時分組情況的討論：1. n=1000,p=1%,分100組,每組10人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗次數(shù)平均檢驗次數(shù)1991P1=1/421102.6192985P2=5/4212014.2863978P3=8/4213024.7624969P4=9/42140305957P5=7/42150256945P6=5/4216019.0487933P7=3/4217012.1438922P8=2/421808.5719911P9=1/421904.5241

17、0901P10=1/422004.762平均檢驗次數(shù):= 145.715個人平均檢驗次數(shù)：E=N/1000= 0.14572. n=1000,p=1%,分125組,每組8人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗次數(shù)平均檢驗次數(shù)1124000021235P1=5/4114117.19531228P2=8/4114929.07341219P3=9/4115734.46351207P4=7/4116528.17161195P5=5/4117321.09871183P6=3/4118113.24481172P7=2/411899.2291161P8=1/411974.805101151P9=1/412055

18、平均檢驗次數(shù):= 162.269個人平均檢驗次數(shù)：E=N/1000= 0.16233. n=1000,p=1%,分50組,每組20人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗次數(shù)平均檢驗次數(shù)1491P1=1/42701.6672485P2=5/429010.7143478P3=8/4211020.9524469P4=9/4213027.8575457P5=7/4215025.0006445P6=5/4217020.2387433P7=3/4219013.5718422P8=2/4221010.0009411P9=1/422305.47610401P10=1/422505.952平均檢驗次數(shù):= 141.

19、427個人平均檢驗次數(shù)：E=N/1000= 0.14144. n=1000,p=1%,分40組,每組25人陽性組陰性組分組可能情況概率檢驗次數(shù)平均檢驗次數(shù)1391P1=1/42751.7857142385P2=5/4210011.904763378P3=8/4212523.809524369P4=9/4215032.142865357P5=7/4217529.166676345P6=5/4220023.809527333P7=3/4222516.071438322P8=2/4225011.904769311P9=1/422756.54761910301P10=1/423007.142857平均

20、檢驗次數(shù):= 164.2857個人平均檢驗次數(shù)：E=N/1000= 0.1643結(jié)果分析根據(jù)上述圖表我們可以知道，總數(shù)為1000人，患病率為1%的群體，選擇每組人數(shù)為10到25之間的分組情況為宜。對于群體總量比較少的檢驗我們可以盡量選取多的如上面所述的模型進(jìn)行計算進(jìn)而得出期望檢驗次數(shù)最少且比較合理的分組方案。但對于數(shù)量比較大的總體應(yīng)該重新考慮。根據(jù)上面各表以及我們對期望檢驗次數(shù)的計算，可以知道每組人數(shù)為10的期望檢驗人數(shù)為145.715，其前即每組分8個人方案的期望檢驗人數(shù)為162.8，而之后到了第組25即期望檢驗人數(shù)為164.2857變化比較小，雖然中間有每組20人的檢驗人數(shù)比其小但為了方便

21、對于數(shù)量比較大的總體每組人數(shù)我們選擇可以選擇np(n代表總量，p代表患病概率)六、模型評價和推廣在實際操作中，由于多次分組需要多次混合血樣，在操作中會帶來很大的麻煩；而且，在混合當(dāng)中可能會造成很大的誤差，特別是當(dāng)多次混合血樣比一次混合或不分組的平均每人檢驗次數(shù)不是少很多的時候，進(jìn)行一次分組或不分組效果可能會更好。本模型可以說在所給定的假設(shè)內(nèi)解決了該問題。假設(shè)（1）在實際當(dāng)中可能不會被作為分組與不分組的判斷標(biāo)準(zhǔn)；假設(shè)（2）與（3）是可以接受的，直觀上可以認(rèn)為以陽性的先驗概率至于不同疾病有關(guān)，而不會與檢驗次數(shù)有關(guān)，同時在沒有遺傳病的情況下，做出假設(shè)（3）也是合理的；假設(shè)（4）在人群數(shù)目較小時是很容易實現(xiàn)的